Application des nombres complexes à l`éléctricité

Application des nombres complexes à l’éléctricité
Soit un courant alternatif sinusoïdal dont l’expression en fonction
du temps est :
i = I 2 sin (t + )
I : valeur efficace (en A)
 : pulsation (en rad/s)
 : phase à l’origine (en rad)
A cette grandeur sinusoïdale, nous associons un vecteur
de Fresnel noté I .
I
O

x
Nous pouvons aussi associer à i un nombre complexe :
I
= [ I,  ] ou
I
= I (cos  + j sin  )
Il en est de même pour la tension u :
u = U sin (t)
et
U
= [ U, 0 ]
U : valeur efficace (en V)
 : pulsation (en rad/s)
Le module correspond à la valeur efficace et l’argument au déphasage.
Exemple :

Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 2 sin (314t + )
6
quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ).
Valeurs réelles
Valeurs complexes
U
= [ 220; 0 ] =220(cos 0 + j sin 0) = 220
I
U = 220 V


= [ 2 2 ,  ] = 2 2 (cos + j sin )
6
6
6
I=2 2 A
=2 2 (
 = 314 rad/s
=

6
3
2
+j
1
)=
2
6
+j 2
Impédance complexe d’un dipôle
Soit un dipôle d’impédance Z, soumis à une tension alternative sinusoïdale
u et parcouru par un courant d’intensité i, on appelle impédance complexe
du dipôle, le nombre complexe :
Z
où
U
U
I
et I sont les grandeurs complexes associées à u et i.
Exemple :

Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 2 sin (314t + )
6
quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ).
Valeurs complexes
U
= 220
I
= 6+ j 2
L’impédance complexe Z est donc :
Z

U
220


I
6j 2
220 6  j 220 2
 6   j 2 
2
2



220  6  j 2
6j 2 6j 2

220 6  j 220 2
 27,5 6  j 27,5 2  67,4  j 38,9
62


Impédance complexe des récepteurs élémentaires
Résistance pure : R
Inductance pure : L
Capacité pure : C
Résistance pure : R
Schéma du circuit
i
R
u
Représentation
de Fresnel
Z
R
i
u
Impédance
complexe
Déphasage
ZR  R
0
Inductance pure : L
Schéma du circuit
Représentation
de Fresnel
Impédance
complexe
Déphasage
u L
L
i
u


2
i
ZL  j L


2
Capacité pure : C
Schéma du circuit
Représentation
de Fresnel
C
Déphasage
i
i

u
Impédance
complexe
1
C
u


2
1
ZC   j
C


2
Impédance dans un circuit en série
Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en série alors l’impédance du
récepteur équivalent est Z avec
Z  Z1  Z 2
Impédance dans un circuit en dérivation
Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en parallèle alors l’impédance du
récepteur équivalent est Z avec
Z
Z1 .Z 2
Z1  Z 2
Exemple
On considère un circuit RLC alimenté sous une tension alternative sinusoïdale de
fréquence 50 Hz.
On donne R = 30 , L = 0,2 H et C = 100 F.
1- Calculer la pulsation .
2- Calculer l’impédance complexe du résistor.
3- Calculer l’impédance complexe de la bobine.
4- Calculer l’impédance complexe du condensateur.
5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.
1- Calculer la pulsation .
  2 f  2  50  100   314 rad / s
2- Calculer l’impédance complexe du résistor.
Z R  R  30
3- Calculer l’impédance complexe de la bobine.
ZL  j L   j  0,2  314  62,8 j
4- Calculer l’impédance complexe du condensateur.
ZC   j 
1
j
j



 31,8 j
6
C
0,0314
100.10  314
5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série.
Z  ZR  Z L  ZC  30  62,8 j  31,8 j  30  31j