(t) i - Phychim

Évolution de la décharge d’un condensateur sous tension constante
Étude qualitative
Étude expérimentale
Exploitation des mesures
• Étude de la tension aux bornes du condensateur
• Étude de l’intensité du courant électrique
• Étude de la somme des tensions aux bornes de R et C
Mise en équation du système
Lancer le diaporama
F5
• ETUDE QUALITATIVE •
Un condensateur C est chargé à l’aide d’une source de tension .
C
18 V
12 V
9 V
1
0
3 V
• Le condensateur se charge instantanément •
Le condensateur chargé C est branché en série avec une résistance R.
R
C
• La
brillance
de la lampe se
permet
l’intensité
du courant
Lorsque
l’interrupteur
fermed’évaluer
la lampe qualitativement
brille vivement et
instantanément
• avec le temps •
Le condensateur C est branché en série avec une résistance R.
R
C
• Lorsque l’interrupteur se ferme la lampe brille vivement et instantanément •
Après quelque secondes la lampe brille moins.
R
C
• L’intensité du courant électrique diminue progressivement •
Puis la lampe s’éteint.
R
C
• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •
Sommaire
La lampe s’éteint au bout de quelques secondes.
R
C
• L’intensité du courant électrique est pratiquement nulle •
Sommaire
• ETUDE EXPERIMENTALE •
Le condensateur C est relié à une source de tension .
0.00
C
9 V
5 V
3 V
1
0
1 V
• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •
V
Le condensateur C est chargé par l’intermédiaire d’une source de tension .
0.00
C
9 V
5 V
3 V
1
0
1 V
• Lorsque l’interrupteur est ouvert,
uc (t), la tension aux bornes du condensateur est nulle •
V
Le condensateur C se charge instantanément lorsque l’interrupteur se ferme .
5.00
C
V
9 V
5 V
3 V
1
0
1 V
• Lorsque l’interrupteur se ferme,
uc (t), la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension délivrée par la source de tension •
Le condensateur C est chargé.
5.00
C
V
• La tension aux bornes du condensateur est égale à 5 volts •
Un ampèremètre est placé dans le circuit électrique.
0.00
R
i (t)
A
C
• L’ampèremètre mesure i (t), l’intensité du courant dans le circuit électrique •
• Le sens du courant électrique est le même que celui de la charge du condensateur •
• Le branchement de l’ampèremètre est le même que celui de la charge du condensateur •
Un voltmètre est placé aux bornes du condensateur.
0.00
R
i (t)
A
5.00
C
V
• Le voltmètre mesure uc (t), la tension aux bornes du condensateur •
• Le branchement du voltmètre est le même que celui de la charge du condensateur •
Un voltmètre est placé aux bornes de la résistance.
0.00
V
0.00
R
i (t)
A
5.00
C
V
• Le voltmètre mesure uR (t), la tension aux bornes de la résistance •
• Le branchement du voltmètre est le même que celui de la charge du condensateur •
Un chronomètre donne le temps entre deux mesures.
0.00
00:00
min:sec
V
0.00
R
i (t)
A
5.00
C
• L’évolution des grandeurs i (t), uc (t) et uR (t) est donnée en fonction du temps t •
V
L’interrupteur se ferme à l’instant « t = O ».
0.00
00:00
min:sec
V
0.00
R
i (t)
A
5.00
C
• On relève toutes les grandeurs proposées, elles seront placées dans un tableau.
V
• Pour t = 0 s
uR (t) = - 5 V
- 5.00
00:00
i (t) = - 0,22 mA
V
min:sec
- 0.22
R
i (t)
A
uC (t) = 5 V
5.00
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 10 s
uR (t) = - 4,17 V
- 4.17
00:10
i (t) = - 0,19 mA
V
min:sec
- 0.19
R
i (t)
A
uC (t) = 4,17 V
4.17
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 20 s
uR (t) = -3,48 V
- 3.48
00:20
i (t) = - 0,16 mA
V
min:sec
- 0.16
R
i (t)
A
uC (t) = 3,48 V
3.48
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 60 s
uR (t) = - 1,68 V
- 1.68
01:00
i (t) = - 0,08 mA
V
min:sec
- 0.08
R
i (t)
A
uC (t) = 1,68 V
1.68
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 120 s
uR (t) = - 0,56 V
- 0.56
02:00
i (t) = - 0,03 mA
V
min:sec
- 0.03
R
i (t)
A
uC (t) = 0,56 V
0.56
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 180 s
uR (t) = - 019 V
- 0.19
03:00
i (t) = - 0,01 mA
V
min:sec
- 0.01
R
i (t)
A
uC (t) = 0,19 V
0.19
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
• Pour t = 240 s
uR (t) = - 0,06 V
- 0.06
04:00
i (t) = - 0,003 mA
V
min:sec
- 0.003
R
i (t)
A
uC (t) = 0,06 V
0.06
C
Intensité du courant dans le circuit
Grandeurs mesurées
Tension aux bornes du condensateur
Tension aux bornes de la résistance
V
L’ensemble de toutes les valeurs relevées sont rassemblées dans un tableau
t [s]
uc (t) [V]
i (t) [mA]
uR (t) [V]
0
5
- 0,22
-5
10
4,17
- 0,19
- 4,17
20
3,48
- 0,16
- 3,48
30
2,9
- 0,13
- 2,9
40
2,42
- 0,11
- 2,42
50
2,01
- 0,09
- 2,01
60
1,68
- 0,08
- 1,68
70
1,4
- 0,06
- 1,4
80
1,17
- 0,05
- 1,17
90
0,97
- 0,04
- 0,97
120
0,56
- 0,03
- 0,56
150
0,33
- 0,02
- 0,33
180
0,19
- 0,01
- 0,19
210
0,11
- 0,005
- 0,11
240
0,06
- 0,003
- 0,06
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 1 •
• Évolution de la tension aux bornes du condensateur
uC (t) = f (t)
Toutes les valeurs des mesures de la tension aux bornes du condensateur
sont consignées dans un tableau
t [s]
uc (t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
Tracé de l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• Chaque couple (temps;tension) correspond à un point précis repéré par une croix sur le graphique.
t [s]
L’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps
uc(t) [V]
t [s]
uc(t) [V]
0
5
10
4,17
20
3,48
30
2,9
40
2,42
50
2,01
60
1,68
70
1,4
80
1,17
90
0,97
120
0,56
150
0,33
180
0,19
210
0,11
240
0,06
5
4
3
2
1
0,5
0
10
50
100
150
200
250
• L’ensemble de ces croix permet de traduire l’évolution de la tension aux bornes du condensateur.
t [s]
La courbe de décharge d’un condensateur soumis à un échelon de tension est la suivante
uc(t) [V]
5
4
3
2
1
0
50
100
150
200
250
t [s]
uc (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 2 •
• Évolution de l’intensité du courant dans le circuit électrique
i (t) = f (t)
Toutes les valeurs des mesures de l’intensité du courant électrique
sont consignées dans un tableau
t [s]
i (t) [mA]
0
- 0,22
10
- 0,19
20
- 0,16
30
- 0,13
40
- 0,11
50
- 0,09
60
- 0,08
70
- 0,06
80
- 0,05
90
- 0,04
120
- 0,03
150
- 0,02
180
- 0,01
210
- 0,005
240
- 0,003
Nous allons tracer la courbe de cette évolution en fonction du temps.
L’évolution de l’intensité du courant électrique en fonction du temps
i(t) [mA]
t [s]
i(t) [mA]
0
0,22
10
0,19
20
0,16
30
0,13
40
0,11
50
0,09
60
0,08
70
0,06
80
0,05
90
0,04
120
0,03
150
0,02
180
0,01
210
0,005
240
0,003
0
10
50
100
150
200
-0,045
-0,090
-0,135
-0,180
-0,225
• L’évolution de l’intensité du courant électrique est tracée comme précédemment.
250
t [s]
La courbe de l’intensité du courant lors de la décharge d’un condensateur
dans un circuit résistif est la suivante
i(t) [mA]
0
10
50
100
150
200
250
t [s]
-0,045
-0,090
-0,135
-0,180
-0,225
i (t) = f (t)
Sommaire
• EXPLOITATION DES MESURES •
• ETUDE N ° 3 •
• Évaluation de la somme des tensions aux bornes des composants
uC (t) + uR (t)
Toutes les valeurs des mesures des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
sont consignées dans un même tableau
t [s]
uc (t) [V]
uR (t) [V]
0
5
-5
10
4,17
- 4,17
20
3,48
- 3,48
30
2,9
- 2,9
40
2,42
- 2,42
50
2,01
- 2,01
60
1,68
- 1,68
70
1,4
- 1,4
80
1,17
- 1,17
90
0,97
- 0,97
120
0,56
- 0,56
150
0,33
- 0,33
180
0,19
- 0,19
210
0,11
- 0,11
240
0,06
- 0,06
Tracé des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
5
uc(t) [V]
0
10
50
100
150
200
250
uR(t) [V]
-5
• Les deux courbes sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
t [s]
La somme des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance
R
C
uC (t)
Nous venons de vérifier expérimentalement la loi additive des tensions
uC (t) + uR (t) = O
Sommaire
• ETUDE MATHEMATIQUE •
Le montage à étudier est le suivant
uR (t)
R
i (t)
R
C
Le montage réel
q (t)
C
uC (t)
Le montage équivalent électrique
Les grandeurs électriques utilisées sont les suivantes
uC (t)
Quelques définitions :
Les éléments du circuit électrique
R
La valeur de la résistance en ohms [W]
C
La capacité du condensateur en farads [F]
• Dans l’étude expérimentale :
•
R = 22 kW
•
C = 2 5OO mF
Quelques définitions :
L’intensité du courant dans le circuit électrique
i (t)
La valeur instantanée de l’intensité du courant électrique en ampères [A]
Les deux composants R et C du circuit électrique sont en série
Ils sont donc traversés par la même intensité du courant électrique.
Quelques définitions :
Les tensions aux bornes des composants R et C
uC (t)
La valeur instantanée de la tension aux bornes du condensateur en volts [V]
uR (t)
La valeur instantanée de la tension aux bornes de la résistance en volts [V]
Quelques définitions :
La charge instantanée dans le condensateur C
q (t)
La valeur instantanée de la charge dans le condensateur en coulombs [C]
Lorsque le courant i (t) circule dans le circuit, le condensateur se décharge
Les électrons portés par l’armature chargée négativement se déplacent vers
l’armature chargée positivement à l’extérieur du condensateur.
La charge rend compte de l’état électrique de cette charge
La charge q (t) rend compte de l’état électrique de cette charge.
Appliquons la loi des mailles sur ce circuit
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
Suivant le sens de parcours donné :
uC (t)
-uR (t) - uC (t) = O
Nous obtenons donc la relation :
uR (t) + uC (t) = O
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
La loi d’Ohm aux bornes de la résistance :
uR (t) = R.i (t)
uC (t)
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
La charge du condensateur :
q (t) = C.uC (t)
uC (t)
Quelques relations utiles :
uR (t)
i (t)
R
q (t)
C
L’intensité du courant électrique :
i (t) =
dq (t)
dt
uC (t)
uR (t)
i (t)
R
uR (t) + uC (t) = O
uR (t) = R.i (t)
q (t)
q (t) = C.uC (t)
uC (t)
C
i (t) =
uR (t) + uC (t) = RC
duc (t)
+ uC (t) = O
dt
L’équation différentielle à résoudre est donc
RC
duc (t)
+ uC (t) = O
dt
dq (t)
duc (t)
= C
dt
dt
1ère étape
Rappel mathématique
L’équation est de la forme
La solution s’écrit donc
dy
dt
:
:
y
= a.y + b
= K.e
a.t
-
b
a
Pour K, a et b  
Ici
:
1
duc (t)
= 
u (t)
dt
RC C
La tension uc (t) s’écrit donc :
uC (t) = K.e
t
 RC
2ème étape
Étude des conditions initiales
Le condensateur est chargé sous une tension égale à la valeur E
La tension aux bornes du condensateur est donc définie à l’instant initiale
uC (O) = E
donc
uC (t) =
K+E=O
t
 RC
E.e
Étude de l’intensité du courant i (t)
i (t) =
duc (t)
dq (t)
= C.
dt
dt
t
 RC
uC (t) est de la forme
uC (t) = E.e
duc (t)
est donc de la forme
dt
duc (t)
E
=.e
dt
RC
E 
i (t) = e
R
t
 RC
)
t
RC
Sommaire