Cercle et droite d`Euler. Segments proportionnels.

Généralités sur les constructions
(1)
• Dans un théorème, on donne, par
hypothèse une figure satisfaisant à
certaines conditions et on demande de
prouver qu’elle possède telle ou telle
propriété.
• Dans un problème ou construction
géométrique, on donne par hypothèse
certaines conditions ou propriétés et on
demande de construire une figure
satisfaisant à ces conditions.
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Généralités sur les constructions
(2)
• Les conditions ou propriétés d’un problème
ou un théorème sont générales si les
positions des objets impliqués ne vérifient
pas des propriétés autres que celles
spécifiées dans l’énoncé du problème ou du
théorème ou celle qui en découlent par un
raisonnement logique. Sinon les conditions
sont particulières ou spéciales. Le
problème ou le théorème doit être résolu
pour les conditions générales (cas général).
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Généralités sur les constructions
(3)
• Problèmes déterminés – ceux qui ont un
nombre limité de solutions dans le cas
général.
• Problèmes impossibles – ceux qui
n’admettent aucune solution dans le cas
général. D’habitude les conditions de
l’énoncé sont trop restrictives.
• Problèmes indéterminés – ceux qui
admettent un nombre infini de solutions
dans le cas général. D’habitude les
conditions de l’énoncé sont trop larges.
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Généralités sur les constructions
(4)
• Problème. Mener par un point A une
tangente à une circonférence O, de
rayon R
• Discussion. Il y a autant de
solutions que de points communs aux
deux circonférences
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Tangentes communes
• Problème. Mener une tangente
commune à deux circonférences O et
O’ de rayons R et r
1er cas – tangente extérieure
2e cas – tangente intérieure
5
Les milieux des cordes. Cercle
d’Euler
•
•
Problème. Le lieu du milieu des cordes d’une
circonférence donnée de centre O, lorsque ces cordes
passent par un même point C, est la circonférence
décrite sur OC comme diamètre.
Cercle d’Euler.
• Le cercle qui passe par les pieds des trois médianes
d’un triangle passe aussi par les pieds des trois
hauteurs.
• Ce cercle divise en deux parties égales les segments
des hauteurs compris entre le point de concours des
hauteurs et chaque sommet
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtcercleeuler.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtfeuerbach.html
6
Le droite d’Euler
•
Le centre de gravité G,
l’orthocentre H et le
centre O du cercle
circonscrit sont alignés
sur une droite appelée
droite d’Euler du
triangle. En plus, le
segment GH est 2 fois
plus long que OG.
http://home.nordnet.fr/~rdassonva
l/ddteuler.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/j
ava/Geometry/eulerline.html
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Segments proportionnels.
• Théorème. Les parallèles qui
déterminent des segments égaux sur
une sécante donnée, déterminent
aussi des segments égaux sur toute
autre sécante
• Problème. Diviser un segment AB en
un nombre quelconque de parties
égales.
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Segments proportionnels.
• Le rapport de deux segments est égal au
rapport des nombres qui les mesurent avec
le même unité.
• Deux segments sont proportionnels à
deux autres segments lorsque le rapport
des deux premiers est égal au rapport des
deux derniers.
• Noter que le rapport des sommes ou celui
des différences des segments respectifs
restent les mêmes.
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Le nombre d’or
• Supposons qu’un rectangle donné X a
été partagé en carré et un autre
rectangle Y. Si le rapport des côtés de
rectangle X est égal au rapport des
côtés de rectangle Y alors ce rapport
est égal au nombre d’or (et X est un
rectangle d’or)
• Construction du nombre d’or
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Division de segment de droite dans
un rapport donné.
• Problème. Étant donné deux points fixes A
et B sur une droite indéfinie, et un point
mobile C sur cette droite, étudier suivant
les diverses positions du point C comment
varie le rapport |CA| / |CB|
• Étant donné deux points fixes A et B sur
une droite indéfinie, il existe deux points et
deux seulement tels que le rapport
|CA|/|CB| soit égal au nombre donné k
• Problème. Diviser un segment donné en
partie dont le rapport est égal au rapport
de deux autres segments donnés
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Longueurs proportionnels.
• Théorème. Deux droites parallèles
découpent deux sécantes
quelconques en segments
proportionnels.
• Corollaire. Toute à un côté d’un
triangle détermine sur les deux
autres côtés des segments
proportionnels.
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Bissectrices d’un triangle.
• Théorème. Dans tout triangle, la
bissectrice d’un angle intérieur ou
extérieur partage le côté opposé dans
le rapport des côtés adjacents.
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Triangles semblables.
• On dit que deux triangles sont semblables
quand leur angles sont respectivement
égaux, et que leurs côtés homologues sont
proportionnels.
• On appelle
•
•
•
Angles homologues, les angles
respectivement égaux;
Côtés homologues, les côtés opposés à des
angles égaux;
Rapport de similitude, le rapport constant de
deux côtés homologues.
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Triangles semblables.
• Théorème. Dans tout triangle, la
bissectrice d’un angle intérieur ou
extérieur partage le côté opposé dans
le rapport des côtés adjacents.
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Triangles semblables. Théorème de
Thalès.
• Théorème. Toute parallèle menée à
un côté d’un triangle détermine un
second triangle semblable au premier.
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