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FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs » , Ed. Radio J. Auvray : « Electronique des signaux analogiques » , Dunod W.M. Siebert : « Circuits, signals and systems » , Mc Graw Hill J.F. Gazin : « Filtres actifs » , Manuel d’applications CIL P. Bildstein : « Filtres à capacités commutées » , Techniques de l’ingénieur Martin Hasler & Jacques Neirynck : IV - Réseaux de Kirchoff VIII - Electronique : circuits XIX - Filtres électriques EPFL Traité d’électricité éditions (aussi Dunod) Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE I - Définition d’un filtre Les filtres sont destinés à sélectionner certaines bandes de fréquence d’un signal. Ils modifient l’amplitude et/ou la phase des composantes spectrales du signal. Ce sont généralement des circuits linéaires, dans la mesure où ils n’introduisent aucune nouvelle fréquence. Les filtres sont très utilisés dans de nombreux domaines des techniques électroniques. Citons par exemple : • Radiocommunications ou télécommunications : pour délimiter le plus parfaitement possible certaines bandes de fréquences et rejeter certaines autres. Ils servent également en détection • Traitement du signal : utilisation en analyse du signal (en particulier pour extraire du bruit) • Electronique analogique : circuits oscillants stables et très sélectifs • Asservissement électronique : systèmes bouclés à bande étroite Filtrage - Modulation 2 FILTRAGE Les filtres électroniques sont des circuits qui peuvent atteindre une grande complexité. Réalisés en technologie analogique, ils nécessitent, en général, l’emploi de composants de valeur très précise et très stable en fonction de la température et du temps. Une précision meilleure que 1% et une stabilité meilleure que 50.10-6/K sont souvent requises. Même avec de telles performances, un réglage final est souvent nécessaire pour satisfaire les exigences du gabarit (cahier des charges - spécifications). De telles contraintes apparaissent a priori incompatibles avec une réalisation en circuits intégrés, privant ce type de circuits des abaissements de coût dans les réalisations de très grandes séries. Fin des années 70, la numérisation des réseaux téléphoniques rendit urgente cette intégration sous peine de rendre prohibitif le coût d’un poste téléphonique numérique d’abonné. Une intense compétition s’engagea dès lors pour parvenir à résoudre ce problème. Filtrage - Modulation 3 FILTRAGE Trois solutions furent explorés : les filtres numériques les filtres intégrés à transfert de charge les filtres à capacités commutées Filtres numériques : très performants, nécessitent des circuits complexes, donc «relativement» chers. Filtres à transfert de charges : très prometteurs à l’origine, se sont montrés en définitive peu aptes à fournir des filtres très sélectifs. Filtres à capacités commutés : a priori les moins bien placés tant les difficultés pratiques à résoudre semblaient au premier abord nombreuses et insurmontables. Mais … cette fameuse loi de Moore! Filtrage - Modulation 4 FILTRAGE II - Généralités Relation de Bayard-Bode Une fonction réelle causale est entièrement déterminée par sa partie paire (ou impaire) : f ( x) f P ( x) f I ( x) f ( x) f ( x) f ( x ) P 2 f ( x) f ( x) f I ( x) 2 Si f est causale alors f(x)=0 pour x<0 f P ( x) f ( x) f I ( x) 2 pour x>O et f(x)=2fP(x)=2fI(x) F est donc déterminée par Re[F(jw)] ou Im[F(jw)] Filtrage - Modulation 5 FILTRAGE f(x) Avec F (jw) = R(w) + jI(w) R(w ) f ( x) cos wx dx et 0 I (w ) 0 f ( x) sin wx dx En inverse, on obtient : f ( x) 0 R(w ) cos wx dw 20 I (w ) sin wx dw On montre que : R(w ) 2 0 y I ( y) dy w 2 y2 I (w ) 2w 0 R( y ) dy w 2 y2 Relation de Bayard-Bode (R et I sont les transformées de Hilbert) Même type de relation entre le module et la phase pour un système à phase minimale. Filtrage - Modulation 6 FILTRAGE Un filtre est donc totalement caractérisé par son gabarit (module)! Problème : Synthèse d’un filtre En fonction d’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit), comment construire le circuit électronique qui réalise cette fonction? 1- Circuits LC passifs Encombrants et coûteux, mais peu sensibles aux variations des valeurs des composants 2- Utilisation d’éléments actifs Permet d’éliminer les selfs, mais très sensibles aux variations des valeurs des composants - Simulation de L : INIC, gyrateurs, ... 3- Autres : Filtres céramiques, SAW, Filtres à capacités commutées, filtres numériques, ... Filtrage - Modulation 7 FILTRAGE Définition générale : Filtre est défini par sa fonction de transfert H ( p) S ( p) E ( p) H ( jw ) S ( jw ) H ( jw ) e j (w ) E ( jw ) En terme de tension entrée-sortie, on parle de gain (G=Vs/Ve) ou d’affaiblissement (ou d’atténuation) (A=Ve/Vs) En dB : A(w) = - G(w) = -20log|H(jw)| En général : H(jw) est une fraction rationnelle = rapport de deux polynômes à coefficients réels : • pôles et zéros de H(jw) sont réels ou par paires conjuguées • pôles à gauche de l’axe imaginaire (axe jw exclu) pour stabilité • degré du numérateur ≤ degré du dénominateur (filtres physiques) • relation de Bayard-Bode valable (causal et réel) En raison de ces propriétés, il n’est pas possible de passer d’une façon discontinue de la bande passante à la bande coupée. Il y a aura une transition Filtrage - Modulation 8 FILTRAGE III - Filtre idéal La réalisation d’un filtre nécessite la connaissance du spectre de fréquences constituant le signal utile. Le filtre idéal serait alors celui qui transmettrait toutes ces composantes sans atténuation ni déphasage, tout en éliminant les autres. Un tel filtre transmettrait le signal utile sans déformation ni retard, tout en éliminant complètement les signaux indésirables. Pour chaque filtre à réaliser, il convient de définir certains domaines de fréquences transmises sans atténuation appelées « bandes passantes » et d’autres pour lesquelles l’atténuation serait infinie (ou tout au moins très élevée), appelées « bandes coupées ». On distingue ainsi 4 types de filtre de base : - Passe bas - Passe haut - Passe bande - Coupe bande Filtrage - Modulation 9 FILTRAGE A(dB) A(dB) 0 dB f fC 0 dB fC Filtre Passe bas Filtre Passe haut A(dB) 0 dB f A(dB) - fC + fC Filtre Passe bande f 0 dB - fC + fC f Filtre Coupe bande Filtrage - Modulation 10 FILTRAGE Attention : Forme plus générale = modifier le contenu fréquentiel d’un signal, pas uniquement en terme de suppression-conservation! Remarque sur le passe bas idéal : H(jw) A(dB) 1 0 dB fC f wC wC w Rappel : Phase minimale = phase nulle x(t-t0) X(jw)e-jw t0=| X(jw) |e j((w)-w t0) Phase : (w)-w t0 Variation linéaire de phase Remarque : retard de groupe : C ste w Filtrage - Modulation 11 FILTRAGE Retard physique variation linéaire de phase : C ste w H(jw) Arg[H(jw)] 1 w wC wC w w w t Réponse impulsionnelle du filtre passe bas idéal : h(t ) C sin C h(t) wC i(t) 1,09 1 t 1/2 wC 2 wC Filtrage - Modulation t 12 FILTRAGE Problème : Réponse impulsionnelle, h(t), non causale, durée infinie Transition brusque bande coupée - bande passante Irréalisable analogiquement! Un des buts du filtrage est d’approximer au mieux le filtre idéal Les oscillations parasites peuvent être gênantes Les besoins réels ne sont pas toujours aussi draconiens Filtrage - Modulation 13 FILTRAGE IV - Filtre réel En pratique, il est donc seulement possible d’approcher plus ou moins bien le filtre idéal. Les circuits réalisables présentent les imperfections suivantes : L’atténuation en bande passante n’est pas nulle, elle sera seulement inférieure à une valeur limite notée AMax L’atténuation en bande coupée présente une valeur finie, elle sera supérieure à une valeur limite notée AMin La transition entre la bande passante et la bande coupée ne se fait pas de façon discontinue mais de manière progressive dans une bande de transition dont les fréquences frontières seront, pour un filtre passe bas : - fa « première » fréquence coupée (atténuée) - fp « dernière » fréquence passante Filtrage - Modulation 14 FILTRAGE Gabarit d’un filtre Plus un filtre réel se rapproche d’un filtre idéal, plus les bandes de transitions sont étroites, AMax est faible et AMin est élevée. Mais plus il devient complexe et donc coûteux! La recherche d’un compromis entre des performances satisfaisantes et un coût acceptable conduit à définir un gabarit à l’intérieur duquel la courbe d’affaiblissement (atténuation) doit se situer pour résoudre le problème donné. Par exemple, un gabarit de filtre passe bas ou passe haut, sera entièrement défini à partir des 4 grandeurs : AMin, AMax, fa et fp. On notera qu’il est intéressant d’introduire une autre grandeur, appelée sélectivité et notée K, qui se déduit des grandeurs précédentes et qui exprime la raideur de la transition : Pour un filtre passe bas : K fp fa 1 Filtrage - Modulation 15 FILTRAGE A(dB) A(dB) AMin AMin AMax AMax 0 dB f fp fa 0 dB fa fp Filtre Passe bas Filtre Passe haut A(dB) A(dB) AMin AMin AMax AMax 0 dB - + fa fp f0 fp fa+ Filtre Passe bande f f 0 dB - + fp fa f0 fa fp+ f Filtre Coupe bande Filtrage - Modulation 16 FILTRAGE Sélectivité Pour un filtre passe bas : K Pour un filtre passe haut : K fp fa 1 fa 1 fp Pour un filtre passe bande : K f p f p f a f a Plus le filtre réel se rapproche du filtre idéal, plus k est voisin de 1 f p f a 1 Largeur de bande relative : B f p f p f0 f p f0 1 B est faible (B < 0,1) Filtre à bande étroite Pour un filtre coupe bande : f a f a f a 1 B f0 f0 f a f a f a K 1 f p f p f p B > 0,5 Filtre à large bande Filtrage - Modulation 17 FILTRAGE Remarque : dans le cas des filtres passe bande et coupe bande, on se restreint généralement à l’étude des filtres symétriques, c’est à dire qu’ils vérifient la relation suivante : f a . f a f p . f p f 02 Temps de propagation de groupe d’un filtre Filtre Atténuation des différentes composantes spectrales du signal Mais également un déphasage à chacune de ces composantes Déphasage pouvant être variable en fonction de la fréquence Ce déphasage inégal qu’il fait subir aux différentes composantes spectrales comprises dans la bande passante peut entraîner une déformation gênante du signal utile. Filtrage - Modulation 18 FILTRAGE Pour qu’un réseau électrique transmette un signal sans déformation il suffit qu’il lui fasse subir un retard constant t0 Pour une composante de pulsation w de ce signal, ce retard se traduit par un déphasage : f=wt Condition suffisante pour un filtre passe bande : Phase linéaire : f=wt+K De manière générale, pour qu’un filtre transmette un signal sans déformation il suffit que dans toute la bande passante : d C ste t dw : temps de propagation de groupe La régularité du temps de propagation de groupe dans la bande passante reflète l’aptitude d’un filtre à transmettre les signaux transitoires sans les déformer (filtres non dispersifs). Dans la pratique, on choisit la caractéristique (entre atténuation et temps de propagation) à respecter en fonction du problème posé! Filtrage - Modulation 19 FILTRAGE V - Filtre prototype La connaissance du problème à résoudre permet de définir la gabarit à l’intérieur duquel doit s’inscrire la courbe de réponse du filtre à construire. On doit maintenant introduire 2 importantes simplification qui permettent de ramener la réalisation de n’importe quel filtre à la réalisation : - d’un filtre passe bas - de fréquence de coupure unité appelé «filtre prototype» filtre passe bas normalisé Ces simplifications sont : - Normalisation des fréquences et des impédances - Transposition en fréquence Réponse en fréquence : H(p) : 1er degré (réseaux du premier ordre) 2ème degré (fonction biquadratique) Composition de formes précédentes Filtrage - Modulation 20 FILTRAGE Normalisation en fréquence Cela consiste à choisir une fréquence particulière : fu Pour les filtres passe bas et passe haut : fu = fp Pour les filtres passe bande et coupe bande : fu = f0 = f a . f a f p . f p f fu 2f w 2f u wu Fréquence normalisée : F Pulsation normalisée : Variable de Laplace normalisée : s p wu Fonction de transfert biquadratique normalisée : Définition : d=1/Q=2z p P w u as 2 bs c H ( s) 2 s ds 1 Q : facteur de qualité z (ou ) : facteur d’amortissement Filtrage - Modulation 21 FILTRAGE Fonction de transfert biquadratique normalisée : as 2 bs c H ( s) 2 s ds 1 Différentes configurations possibles : a b c Nature du filtre 0 0 1 Passe bas 1 0 0 Passe haut 0 1 0 Passe bande 1 0 1 Coupe bande (passe bas et passe haut) Exemple : Passe bas H ( s) 1 s 2 ds 1 H () 1 1 2 jd Filtrage - Modulation 22 FILTRAGE H () d H ( ) d M 1 |H|dB 4 2 d 2 2 1 HM 0 maximum HM pour = M 1 1 2Q 2 et HM M 1 Log() Q 1 1 4Q 2 maximum existe si Q Remarque si Q >> 1 M # 1 1 2 >> 1 Asymptote à -40 dB/dec Q 1 2 M = 0 courbe plate : Réponse de Butterworth H ( ) 1 4 1 Filtrage - Modulation 23 FILTRAGE Normalisation des unités d’impédance On prend comme unité d’impédance une valeur particulière de R0 ou de C0 compatible avec le mode de réalisation du filtre et avec des valeurs réalistes des composants compte tenu de la fréquence de normalisation. Par exemple, dans le cas d’un filtre passe haut du premier ordre : Ve C R VS H ( p) VS RCp Ve 1 RCp On choisira dans ce cas particulier : f u 1 2RC La fonction de transfert devient alors : H ( s ) s 1 s On fixe alors une valeur R0 de R et on en déduit 1 C0 2R0 f u Ve 1 Filtrage - Modulation 1 VS 24 FILTRAGE Transposition en fréquence Le but de cette opération est de ramener l’étude de tous les types de filtre à l ’étude d’un filtre passe bas normalisé. Transformation de base : 1 • Passe bas Passe haut : s s 1 1 s B s B s 1 s s • Passe bas Passe bande : s • Passe bas Coupe bande : B f p f0 Ces transformations peuvent s’appliquer soit aux gabarits, soit aux fonctions de transfert, soit aux éléments du réseau du filtre. Les résistances et les coefficients d’amplification sont inchangés, une capacité se transformera en une inductance (ou inductance en série, ou parallèle avec une capacité!) transformation du gabarit et de la fonction de transfert. Filtrage - Modulation 25 FILTRAGE Transposition Passe bas Passe haut H ( s) 1 1 s s 1 s H ( s) 1 1 1 s s 1 s j H ( ) 1 j Le gabarit du filtre passe bas se transforme en un gabarit passe haut, mais les trois grandeurs caractéristiques sont inchangés : K, AMin et AMax. AMin AMin AMax AMax Fp=1 Fa =1/K F Filtrage - Modulation K 1 F 26 FILTRAGE Transposition Passe bas Passe bande H ( s) 1 1 s s 1 1 s B s H ( s) 1 Bs 1 1 1 Bs s 2 1 s B s Comment une valeur ’ de la pulsation du gabarit du filtre passe bande est obtenue à partir d’une valeur de la pulsation du gabarit du filtre passe bas : 1 1 '2 1 j j' jB B j ' ' • =0 ’=1 racine positive! donc ’=1 La fréquence nulle du passe bas est la fréquence centrale du passe bande • quelconque et ’<1 B '1 2 B 2 2 1 4 • quelconque et ’>1 B '2 2 Filtrage - Modulation B 22 1 4 27 FILTRAGE A chaque fréquence du filtre passe bas correspond deux fréquences du passe bande dont le produit vaut 1 géométriquement symétriques par rapport à la fréquence centrale normalisée du passe bande où f0=1. F' F F 1 F ' 1 / F p p AMin AMin AMax AMax 1 1/K F ' Fa 1 F K F ' 1 / Fa B B2 F 1 2 4 1 B B2 Fp 1 Fp 2 4 p F a F B 2K K' + + + + 1/Fa 1/Fp 1 Fp Fa F B2 1 4K 2 Fp Fp Fa Fa K : Même sélectivité! Filtrage - Modulation 28 FILTRAGE Transposition Passe bas Coupe bande 1 H (s) 1 s s B 1 s s 1 s2 1 Bs s 2 1 H ( s) 1 B s 1 s Cette transformation est tout à fait analogue à la précédente. AMin AMin AMax AMax 1 1/K F Filtrage - Modulation + f0 Fa F+p F 29 FILTRAGE VI - Fonctions d’approximation Nous avons montré que la réalisation de tout filtre se ramène à un filtre passe bas normalisé. Le problème est donc de trouver, pour un gabarit donné, une fonction de transfert satisfaisante, c’est à dire de construire un réseau dont la courbe de réponse s’inscrit à l’intérieur du gabarit! On cherche une fonction mathématique, A() où est la pulsation normalisée, exprimant l’affaiblissement du filtre à réaliser. A() est la fonction d’approximation. Cependant pour que la solution aboutisse à un réseau physiquement réalisable, A() doit satisfaire un certain nombre de contraintes. Contraintes imposées par la structure du filtre La fonction de transfert d’un filtre s’exprime sous la forme : H ( p) S ( p) E ( p) Stabilité du filtre Les racines de E(p) sont dans D- Filtrage - Modulation 30 FILTRAGE Stabilité du filtre Les racines de E(p) (pôles de H(p) sont à partie réelle négatives (dans D-) (Polynômes de HURWITZ) Filtre physique degré de S(p) degré de E(p) On peut montrer que : 1 2 H ( ) H ( j).H ( j) 2 A() a0 a1 ( j) a2 ( j) 2 ... a0 a1 ( j) a2 ( j) 2 ... H ( j).H ( j) . b0 b1 ( j) b2 ( j) 2 ... b0 b1 ( j) b2 ( j) 2 ... Dans ce produit, les termes impairs s’éliminent! On pose Ai=ai2 et Bi=bi2. A0 A1 2 A2 4 ... N ( 2 ) 1 2 H ( j).H ( j) G ( ) B0 B1 2 B2 4 ... D( 2 ) A()2 En conclusion, [A()]2 est : Fraction rationnelle Fonction du carré de la fréquence Degré 2n en si H(j) est de degré n en j Filtrage - Modulation 31 FILTRAGE Contraintes imposées par le gabarit Pour que le graphe de la fonction A() s’inscrive à l’intérieur du gabarit passe bas, l’amplitude de A() doit répondre aux caractéristiques suivantes : Pour les fréquences f<fp (F<1), A() doit être voisin de 1, atténuation faible en bande passante (proche de 0 dB) Pour les fréquences f>fa (F>1/K), A() doit être très élevée, ce qui veut dire que l’atténuation doit être très importante en bande coupée Pour des valeurs de f comprises entre fp et fa, A() doit augmenter rapidement depuis 1 jusqu’à une valeur élevée Dans tous les cas, A()1 A()2 1 K ( 2 ) A() 1 K ( 2 ) K(2) est la fonction caractéristique du filtre, elle varie autour de 0 en bande passante Filtrage - Modulation 32 FILTRAGE Propriétés des fonctions caractéristiques En bande passante, l’atténuation, exprimée en dB, doit être inférieure à Amax : 20 log A 1 K 2 max 10 K 2 Amax 10 1 2 En bande coupée, l’atténuation, exprimée en dB, doit être supérieure à Amin : 20 log A 1 K 2 min 10 K 2 Amin 10 1 L2 En conclusion, la fonction caractéristique d’un filtre passe bas doit satisfaire les propriétés suivantes : Fonction paire de la fréquence (c’est à dire fonction de 2) Fraction rationnelle en 2(dont le dénominateur est un carré) Avoir une faible valeur en bande passante < 2 Avoir une valeur élevée en bande coupée > L2 Filtrage - Modulation 33 FILTRAGE Approximation de Butterworth Les filtres de Butterworth ont la propriété d’avoir la courbe de réponse la plus plate possible à l’origine : H j 2 1 1 2n A 2 1 2n n : ordre du filtre Pour un filtre passe bas idéal, on a les caractéristiques suivantes : |H(jw)| Arg[H(jw)] 1 wC w wC w L’atténuation est nulle (en dB) en bande passante, infinie en bande coupée, la phase est linéaire en bande passante, aléatoire en bande coupée. Filtrage - Modulation 34 FILTRAGE La fonction de transfert Hi(j) est donc de la forme : e jk H i j 0 si 0 1 si 1 Comment faire pour approcher au mieux cette fonction de transfert? On désire que la courbe de réponse réelle soit la plus plate possible au voisinage de =0 et Fi(0)=1. H ( j) 2 N ( 2 ) H ( j).H ( j) G( ) D(2 ) 2 On résoudra le problème d’approximation en choisissant les coefficients de G(2) tels que : G(0)=1 et les n premières dérivées de G(2) par rapport à 2 soient nulles. On a vu que : A0 A1 2 A2 4 ... N ( 2 ) G ( ) D ( 2 ) B0 B1 2 B2 4 ... 2 Filtrage - Modulation 35 FILTRAGE G (0) AO 1 B0 A0 B0 Choix possible : A0=B0=1 La dérivée de G(2) par rapport à 2 : G ' ( 2 ) G ' (0) A1 B1 0 2 B0 A1 B1 N ' D D' N D2 Choix possible : A1=B1=0 De même pour la dérivée seconde : G' ' (0) 0 A2 B2 On peut également choisir : A2=B2=0 On peut réitérer jusqu’à l’ordre n (n premières dérivées nulles ) : - Ai=Bi=0 i<n D’où : N ( 2 ) 1 An n An 1 n 1 ... G ( ) D( 2 ) 1 Bn n Bn 1 n 1 ... 2 Tous les coefficients qui restent peuvent être choisis arbitrairement, le choix habituel est : - Ai=0 pour in - Bi=0 pour i>n Filtrage - Modulation 36 FILTRAGE 1 1 A() 1 B 1 B G ( ) Le coefficient Bn est déterminé par la valeur de l’atténuation souhaitée à n 2 =1(w=wc) : w 2 2 2n 2n Finalement : G ( ) 2 2 2n 2n n 2 n A(w ) A(w c ) 1 Bnw c 2 wc 1 Bnw c2 n 3dB On en déduit : A(w ) Finalement : A() 2 2 Bn 2 2n w 1 Bnw c 2 wc A(w c ) 1 Bnw c 1 w c2 n n A(w ) 2 w2 1 2 wc n 1 2n Les polynômes de Butterworth permettent d’approximer un filtre passe bas idéal, si l’on admet un affaiblissement de 3dB à la fréquence de coupure, wc=wp=wu et Amax=3dB. Filtrage - Modulation 37 FILTRAGE 2 Résumé : Butterworth H () Propriétés : 1 A() 2 1 1 2n - module=1 (0dB) pour =0 - module=1/2 (-3dB) pour =1 - monotone décroissante 20n dB/dec - plate au voisinage de =0 - n Passe Bas idéal (meilleure approximation) Filtrage - Modulation 38 FILTRAGE Butterworth : H () 2 1 H ( j) H * ( j) 1 2n Réponse réelle H * ( j) H ( j) On pose j =s : variable de Laplace réduite 1 H ( s) H ( s) 1 s 2n Pôles : sk j 1 sk e X X 2 n X 1 k entier n=2 X 3 4 X X n=1 2 k 1 X X X j 1 2n X X X n=3 Filtrage - Modulation 39 FILTRAGE Les pôles de H(s)H(-s) apparaissent en paire symétrique par rapport à l’axe vertical répartir les pôles entre H(s) et H(-s) H(s) doit être stable (et causal) les pôles de H(s) sont à gauche (D-) n2 H ( s) 1 1 s 2 pôles : e H ( s) j 3 4 e j s e 4 pôle : 1 j X 4 et 1 j s e 4 e j 5 4 1 e j 4 1 2s s 2 Filtrage - Modulation X n 1 X 40 FILTRAGE n3 1 2 j j3 3 pôles : e e 3 4 j j3 e 3 e H ( s) n4 X X X 1 j s 1 s e 3 H ( s) j s e 3 1 s 1 s 2 s 1 1 s 2 0,7654s 1 s 2 1,8478s 1 Remarque : Les pôles sont réels négatifs ou en paires conjuguées et racines nième de l’unité. Filtrage - Modulation 41 FILTRAGE Choix de l’ordre du filtre de Butterworth : On désire réaliser le filtre ayant le gabarit ci-contre : Avec w2=2 w1=2.104 rd/s 0,95 1 3dB 1 1 2 10 log( 1 12 n ) 0,44dB 2n 10 log( 1 (21 ) ) 20dB w1 w2 1 2 0,95 2 H (1 ) 2n 1 1 1 2 H ( ) 0,12 2 2n 1 2 w2 2 2 1 wp AMin=20dB AMax=0,44dB w 0 0,1 F n 4,92#5 1 # 0,8 Filtrage - Modulation 42 FILTRAGE H 5 () 2 1 2 1 1 10 H 5 ( jw ) w1 0,8 wp 2 1 w 1 4 1,256.10 10 w p 1,256.104 rd / s w2 2 #1,6 w p 1,256 Filtrage - Modulation 43 FILTRAGE Approximation de Tchebychev Les filtres de Butterworth sont optimaux dans le sens où leur réponse est la plus plate possible à l’origine : A() 1 2 n Les filtres de Tchebychev sont optimisés de manière à ce que l’atténuation en bande passante oscille le plus grand nombre de fois possible entre 0 et AMax L’imperfection que constitue l’atténuation résiduelle en bande passante est ainsi répartie sur toute cette bande! A() 1 2Tn2 () 1 1- Tn() : Polynôme de Tchebychev d’ordre n 0 Filtrage - Modulation 1 44 FILTRAGE Polynômes de Tchebychev Soit h(x) l’écart en amplitude entre une fonction f(x) et une fonction fi(x)=1 Comment choisir f(x) pour que |h(x)|L pour -1 x 1 ? Prenons pour h(x) un polynôme de degré n, de sorte que pour -1 x 1, h(x) atteigne (n-1) fois la valeur extrémale ±L (h(x) atteint (n+1) fois la valeur extrémale ±L si on compte les extrémités de l’intervalle) L2-h2(x) aura des zéros pour tous les extremums à l’intérieur de l’intervalle (-1,1) et ces zéros seront doubles puisque la fonction et sa dérivée s’annulent De plus, les points x= ±1 sont également des zéros de L2-h2(x) : dh L h ( x ) K (1 x ) dx 2 Soit 2 2 dy 1 y2 2 dx 1 x2 2 Soit h( x ) y L 2 dy 2 1 y dx 1 x2 2 Arc cos y Arc cos x Filtrage - Modulation 45 FILTRAGE Finalement on obtient : h( x) L cos Arc cos x h(x) L -1 1 -L x Si on désigne par n le nombre , h(x) oscillera n fois entre les valeurs ±L pour -1 x 1 Soit : h( x) L cosn Arc cos x Cette fonction correspond à un polynôme car il est possible d’exprimer cos n sous la forme d’un polynôme en cos Les polynômes h(x) répondant à la question sont ainsi les polynômes de Tchebychev : Tn ( x) cosn Arccos x Les polynômes de Tchebychev sont : n 0 T0 ( x) 1 n 1 T1 ( x) x n 2 T2 ( x) 2 x 2 1 n 3 n 4 T4 ( x) 8 x 4 8 x 2 1 T3 ( x) 4 x 3 3 x Filtrage - Modulation 46 FILTRAGE Tn(x) vérifie la formule de récurrence : Tn ( x) 2 xTn1 ( x) Tn2 ( x) Soit : T2 n () 2Tn () 1 cos2nx 2 cos 2 nx 1 Application aux filtres ER (Equal Ripple) : Soit A() 1 T () 1 2 2 2 n 2 2 2 2 A() 1 2Tn2 () Tn () Ainsi l’atténuation variera entre 1 et 1+2 lorsque 0 1 20 log A() 10 log 1 2Tn2 () Lorsque 0 1 Tn() varie entre -1 et 1, donc Tn2() varie entre 0 et 1 0 20 log A() 10 log 1 2 0 20 log A( 0) 10 log 1 2 20 log A() 10 log 1 2 si n est impair 20 log A() 0 dB si n est pair Filtrage - Modulation 47 FILTRAGE Soit AMax l’atténuation maximale en bande passante (exprimée en dB) 0 1 0 A() AMax avec AMax =10log(1+2) D' où 10 A Ma x 1 Ainsi les fonctions d’approximation dépendent du paramètre , elles sont tabulées pour différentes valeurs de correspondant à des affaiblissements AMax de 0,1 ; 0,5 ; 1,0 ; … dB en bande passante : • AMax = 0,1 dB =0,15262 A AMa x • AMax = 0,5 dB =0,34931 • AMax = 1,0 dB =0,50884 Courbes de Tchebychev en bande passante AMax=1dB Filtrage - Modulation 48 FILTRAGE Détermination des fonctions de transfert des filtres de Tchebychev Elles s’obtiennent comme précédemment en recherchant les racines de A(), c’est à dire les racines de l’expression 1+2Tn2() : Soit 1 2 cos 2 n Arccos 0 Si Pk (P=j ) sont les racines recherchées, on a : cos n Arccos En posant U k jVk Arccos Soit D' où Pk j cosnU k jnVk cos nU k .ch nVk j sin U k .sh nVk cos nU k .ch nVk 0 sin U .sh nV 1 k k Pk j j j j cos nU k 0 sh nV 1 k Filtrage - Modulation ch x 0 x 49 FILTRAGE On en déduit : nU ( 2 k 1 ) k 2 1 sh nVk Il convient d’en déduire l’expression des pôles : Pk j. cosnU k jnVk 1 1 ( 2k 1) Pk j. cos j Arg sh k jw k 2n n On peut alors montrer que k et wk vérifient : k2 1 1 sh Arg sh n 2 w k2 1 1 ch Arg sh n 1 2 C’est l’équation d’une ellipse! Filtrage - Modulation 50 FILTRAGE Remarques sur les filtres de Tchebychev Tchebychev : A() 1 2Tn2 () Pour avoir une fréquence de normalisation à -3dB, prenons =1. Tchebychev d’ordre 3 (Taux d’ondulation 3dB) : A() 1 (43 3) 2 Butterworth d’ordre 3 : A() 1 6 2 10 A() A() Tcheb Tcheb 30dB 72dB A() A() Butte Butte 18dB 60dB Les filtres de Tchebychev présentent un grand intérêt pratique car de tous les filtres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plus raide. Toutefois, ils n’ont pas une très bonne régularité du temps de propagation de groupe en bande passante et leur comportement en transitoire n’est pas aussi bon que celui des filtres de Butterworth. Filtrage - Modulation 51 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux Filtres de Legendre (Papoulis) : A() 1 Ln () Ln polynôme de Legendre d’ordre n Les filtres de Legendre correspondent à une tentative permettant de concilier l’aspect non ondulé en bande passante des filtres de Butterworth, et la rapidité d’atténuation en bande coupée des filtres de Tchebychev. Ainsi, ces filtres présentent comme les filtres de Butterworth une courbe d’atténuation croissante monotone, mais au lieu d’être la plus plate possible à l’origine, elle a une pente la plus forte possible à la fréquence de coupure. * L1 2 * L2 4 * L3 36 3 4 2 * L4 68 86 3 4 Les fonctions de transfert des filtres de Legendre s’obtiennent selon la méthode utilisée pour Butterworth et Tchebychev. Filtrage - Modulation 52 FILTRAGE Autres types de filtres polynomiaux Filtres de Bessel (Thomson) : Ce sont des filtres polynomiaux ceux pour lesquels le critère d’optimisation est la régularité du temps de propagation de groupe en bande passante. La fonction de transfert d’un filtre ayant un temps de propagation de groupe de t=1s s’écrit : 1 tp p H ( p) e En posant : On obtient : e ch p sh p p2 p4 p3 p5 ch p 1 ... et sh p p ... 2! 4! 3! 5! 1 H ( p) 3 p 6 p 2 15 p 15 Le dénominateur, ainsi obtenu, est un polynôme de Bessel d’ordre n * B1 1 p * B2 p 2 3 p 3 * Bn (2n 1) Bn 1 p 2 Bn 2 Filtrage - Modulation 53 FILTRAGE * B1 1 p * B2 p 2 3 p 3 * Bn (2n 1) Bn 1 p 2 Bn 2 Ces polynômes ont été calculés en prenant t=1s, donc pour les courbes de réponse en amplitude, l’atténuation à =1 sera quelconque. En fait, les fonctions de transfert sont tabulées en prenant une atténuation de 3 dB à =1. Par exemple, pour n=5, t est constant jusqu’à 1,5 fois la fréquence de coupure à 3dB. Mais à cette fréquence l’atténuation n’est que de 7,5 dB Filtrage - Modulation 54 FILTRAGE Filtres non polynomiaux Filtres elliptiques : Filtres de Cauer Les filtres polynomiaux, étudies précédemment, ont tous une fonction caractéristique qui est un polynôme en 2 (Dénominateur D(2)=1). Par conséquent, pour une valeur finie de la fréquence, l’atténuation présente une valeur finie. Si on utilise une fonction caractéristique pour laquelle le dénominateur est un polynôme en 2, on introduit des fréquences d’atténuation infinie ou zéros de transmission (racines de D(2)=0). L’introduction de ces zéros de transmission présente les avantages suivants : Supprimer les fréquences particulièrement indésirables, comme par exemple la porteuse dans un filtre de démodulation. Rendre la coupure d’un filtre beaucoup plus raide en plaçant un zéro de transmission immédiatement après la fréquence de coupure, sans augmenter l’ordre du filtre. Filtrage - Modulation 55 FILTRAGE Les principaux filtres, ayant des zéros de transmission, sont les filtres de Cauer, dont les principales caractéristiques sont les suivantes : Ils possèdent la plus grand nombre possible de zéros de transmission pour un ordre n donné (n/2 zéros si n est pair, (n-2)/1 si n est impair). Ils ont une atténuation uniformément répartie aussi bien en bande passante qu’en bande coupée, de sorte que leur comportement se rapproche de celui d’un filtre de Tchebychev. |A|dB 1 1-1 AMin 2 0 AMax 1 0 w01 w1= w02 w2 = w0k wk =Cste Filtrage - Modulation w w01 w02 wp w1 wa w2 56 FILTRAGE Filtres de Cauer : A( j) 2 N ( 2 ) 1 K ( ) 1 D ( 2 ) 2 Les fréquences wi sont les racines de l’équation D(2)=0 Les fréquences w0i sont les racines de l’équation N(2)=0 Toutes ces racines sont des racines doubles : 2 (w 2 w O2 1 ) 2 (w 2 w O2 2 ) 2 ...(w 2 w Ok )2 N (w 2 ) K (w ) D(w 2 ) (w 2 w 2 1 ) 2 (w 2 w 2 2 ) 2 ...(w 2 w 2 k ) 2 2 n si n est pair 2 2 w 2 (w 2 w O2 1 ) 2 (w 2 w O2 2 ) 2 ...(w 2 w Ok )2 N (w 2 ) 2 K (w ) D(w 2 ) (w 2 w 2 1 ) 2 (w 2 w 2 2 ) 2 ...(w 2 w 2 k ) 2 avec k avec k n 1 si n est impair 2 Ces relations montrent que la connaissance des w0i et wi définit entièrement la fonction caractéristique, donc le filtre de Cauer. Rappel : w01 w1= w02 w2 = … = w0k wk =Cste Filtrage - Modulation 57 FILTRAGE Fonctions de transfert des filtres de Cauer : Atténuation : A() 1 2 K ( 2 ) est déterminé pour que l’atténuation soit égale à AMax pour =1et la normalisation du passe bas est effectuée par rapport à la fréquence fp limite de la bande passante à un taux d’ondulation donné (comme Tchebychev) : AMax 10 log 1 2 K (1) AMa x 10 10 1 K (1) Contrairement aux filtres polynomiaux, il est difficile de donner des tables de fonctions de transfert car elles dépendent de 3 paramètres : n, AMax et K, ou n, AMax et AMin (K : sélectivité). Il existe donc une infinité de filtres de Cauer d’ordre n ayant une ondulation en bande passante <AMax Pour chacun de ces filtres, AMin aura une valeur différente! Filtrage - Modulation 58 FILTRAGE VI - Circuits fondamentaux pour la synthèse de filtres actifs Lorsque l’on utilise des montages à base d’amplificateurs opérationnels, au vue des valeurs des composants discrets, on peut considérer ces A.Op. comme parfaits (Ze , Zs 0 et AV ) Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op. Structure à contre réaction simple : C.R. en courant On peut montrer que : Ve H ( p) [Y2] [Y1] VS ( p ) Y ) 21 1 Ve ( p ) Y21 ) 2 + Av VS Le problème devient alors, comment calculer des quadripôles ayant les valeurs de Y21 permettant d’obtenir la fonction de transfert désirée? Filtrage - Modulation 59 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op. Y4 Y5 Structure à contre réaction multiple ou Structure de Rauch : Y3 Y1 Y2 Ve + Av H ( p) VS H ( p) VS ( p ) Ve ( p ) Y1Y3 Y3Y4 Y5 (Y1 Y2 Y3 Y4 ) Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ». Filtrage - Modulation 60 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op. Structure de Sallen & Key : C’est la structure de base des filtres polynomiaux. Sa fonction de transfert est donnée par : Z2 Ve Z1 K Z3 H ( p) Z4 VS H ( p) VS ( p ) Ve ( p ) Z2Z4 Z1 Z 3 Z 4 (1 K ) Z 2 ( Z1 Z 3 Z 4 ) Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et au dénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert au second ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera donc impossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ». Filtrage - Modulation 61 FILTRAGE Z2 Ve Cas où K=1 : K Z3 Z1 Z4 VS H ( p) Z2Z4 Z1 Z 3 Z 2 ( Z1 Z 3 Z 4 ) Remarque : Amplificateur K (source commandée) R2 K 1 R1 Ve VS + R K 1 2 R1 Ve Filtrage - Modulation + VS 62 FILTRAGE Convertisseur d’impédance négative : NIC C’est une forme de transformateur idéal : -kZL NIC ZL 1 ZL k NIC ZL Les caractéristiques du convertisseur d’impédance négative sont définies par la matrice de transfert : Ve A i e C B Vs i D s ie Ve is NIC ZL Vs Ve=AVs-Bis or Vs=-ZLis Ve=-(AZL+B)is Ve AZ L B kZL De même ie=-(CZL+D)is ie CZ L D Filtrage - Modulation 63 FILTRAGE Ve AZ L B kZL ie CZ L D Pour satisfaire cette équation (avec k>0), il suffit de prendre B=C=0 et A=-kD On peut envisager toutes les formes de convertisseur d’impédance négative suivant les valeurs respectives de A et D. On s’intéressera aux 2 types de convertisseurs suivants : Convertisseur d’impédance négative en tension : VNIC Dans ce cas : ie=is et VeVs (d ’où la conversion de tension) : Ve K i e 0 0 Vs i 1 s Convertisseur d’impédance négative en courant : INIC Dans ce cas : ie is et Ve=Vs : 1 Ve i 0 e Filtrage - Modulation 0 V s 1 i s k 64 FILTRAGE Le schéma suivant réalise un montage INIC : ie is R1 R2 Ve on peut écrire : or Ve Vs Vs V0 Soit ie 1 Ve i 0 e Ve V0 R1ie Vs V0 R2is is R 1 k ie R2 0 R2 R1 V s is is RL R2 Ve R1 Impédance négative : V0 Vs Ve Vs RLis kRLie Ze Ve R kRL 1 RL ie R2 Filtrage - Modulation 65 FILTRAGE Stabilité d’un montage INIC : RL R2 Ve Ve V0 RG R1 ie is R1 RG ie Vs Soit V0 RG R1 Ve 1 kRL RG G 1 R2 RL GH et V0 GH R2 RG 1 R1 RL e kRLie Ve RG ie V0 R kRL 1 Ve kRL RG R2 RG R1 RL R2 R 1 RL RG Ve V0 RG R1 Ve RG kRL R2 G RL R R 1 GH 1 2 G R1 RL 1 Instable si 1+GH<0 (pôle dans D+) si R1 R2 Filtrage - Modulation RG RL 66 FILTRAGE Stabilité d’un montage INIC : Remarque 1 R2 R 1 1 RL RG RG RL RL R2 RG R1 RL R2 R1 RG e V0 RL V0 RL R2 et e RG V0 RG R1 Stable si contre réaction sur l’entrée > contre réaction sur l’entrée plus e e RG RL RL R2 RG R1 Filtrage - Modulation 67 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un INIC Méthode de Linvill : Cette méthode utilise un INIC placé entre 2 quadripôles caractérisés par leurs matrices impédances : Le second quadripôle is i’ ie i étant à vide, son [Zb] Ve [Za] V INIC k V Vs impédance d’entrée vaut Z11b (V=- Z11bi’) Par conséquent, l’impédance d’entrée du montage INIC vaut -kZ11b ie Ve i [Za] V -kZ11b V Z 21a ie Z 22a i kZ11b Z 21a V V kZ11bi ie kZ11b Z 22a Filtrage - Modulation 68 FILTRAGE Le second quadripôle étant à vide : V=- Z11bi’ et Vs=- Z21bi’ La fonction de transfert de transimpédance est donc : kZ11b Z 21a V ie kZ11b Z 22a Z ( p) Vs kZ21a Z 21b ie kZ11b Z 22a Méthode de YANAGISAWA : Cette méthode utilise la structure ci-dessous : Si on ne tient pas compte du quadripôle Yb on obtient : [Yb] ie Ve [Ya] INIC k Vs Ve Filtrage - Modulation [Ya] i i’ V INIC k V 69 FILTRAGE ie Si on ne tient pas compte du quadripôle Yb on obtient : Ve On peut donc écrire : [Ya] i i’ V INIC k V ie Y11aVe Y12aV ie Y11aVe Y12aV i Y V Y V i ' 21a e 22 a i ' kY21aVe kY22aV k Y 11a On en déduit la matrice admittance équivalente : kY 21a Y12a kY22a La fonction de transfert du système complet s’écrit donc : H ( p) Vs Y kY21a Y 21T 21b Ve Y22T Y22b kY22a Cette relation est plus simple que celle obtenue pour la structure de Linvill Filtrage - Modulation 70 FILTRAGE Structure de Yanagisawa simplifié : Y1a Ve Y1b Y2a INIC k Y2b Vs On obtient : - Y21a=-Y1a - Y22a=Y1a +Y2a - Y21b=-Y1b - Y22b=Y1b +Y2b La fonction de transfert s’écrit alors : H ( p) Vs Y1b kY1a Ve Y1b kY1a Y2 b kY2 a Filtrage - Modulation 71 FILTRAGE Gyrateurs C’est un élément actif non réciproque qui a la propriété de présenter une impédance d’entrée proportionnelle à l’inverse de l’impédance de charge ie Rg is Rg V s Ve ZL La matrice de transfert s’écrit : Or Ve Rg2 ZL ie Rg2 Ve Ze ie ZL Ve ZL Vs Ve A i e C B Vs i D s et Vs Z Lis On en déduit la relation suivante : AZ L2 BZ L CZ L Rg2 DRg2 Filtrage - Modulation 72 FILTRAGE Cette relation est vraie : Z L AZ L2 B Z L C Z L Rg2 D Rg2 On en déduit : A=0, D=0 et B=CRg2 On obtient ainsi : Ve 0 i e 1 / R g Rg Vs i 0 s 1 i Vs e Rg 1 is Ve R g Le courant d’un port est proportionnel à la tension de l’autre port Réalisation d’un gyrateur : Rg ie Ve D’où : INIC k -Rg Rg L’impédance de charge de l’INIC : is ZL Vs Rg Rg2 Ve Ze k ie ZL Filtrage - Modulation 1 1 1 Rg Z L Rg Rg2 ZL 73 FILTRAGE Réalisation d’un gyrateur, pour réaliser la résistance -Rg, on utilise un INIC avec k=1 (R1=R2) : Rg Rg R R R Ve Vs Rg R Pour réaliser un gyrateur, on peut également utiliser le montage suivant : Rg -Rg 1 -(Rg//ZL) Impédance d’entrée : Rg Filtrage - Modulation 1 Rg Z L Rg Z L 1 Rg Rg2 ZL 74 FILTRAGE Réalisation du gyrateur : Rg -(Rg//ZL) -Rg Rg R R Vs ZL R Rg Rg Ve R Filtrage - Modulation 75 FILTRAGE Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un gyrateur Les méthodes proposées s’appuient sur un circuit constitué d’un gyrateur placé entre 2 quadripôles RC, le premier est caractérisé par ses paramètres admittance, le second par ses paramètres impédance : ie Ve i [Ya] V Rg i’ is V’ [Zb] Vs Pour calculer la fonction de transfert : Le second quadripôle est en circuit ouvert, son impédance d’entrée est donc Z11b. Cette impédance correspond à la charge du gyrateur, par conséquent l’impédance de charge du premier quadripôle est donc Rg2/ Z11b. Rg2 V i On peut donc écrire : Z 11b Filtrage - Modulation 76 FILTRAGE ie Ve i [Ya] Rg i’ V’ V Or -i=Y21aVe+ Y22aV is [Zb] V Vs Rg2 Z11b i Y21a Rg2 V Ve Z11b Y22a Rg2 D’autre part la matrice impédance du gyrateur, déduite de sa matrice de transfert nous donne : V 0 V ' Rg Rg i i' 0 V ' Rg i ' Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : V’=-Z11bi’ Soit : V ' Z11b V Rg V ' Z11bY21a Rg Z11b Y22a Rg2 Filtrage - Modulation Ve 77 FILTRAGE ie Ve i [Ya] Soit : V ' Rg V’ V Z11b V Rg i’ V ' is [Zb] Z11bY21a Rg Z11b Y22a Rg2 Vs Ve Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : Z11bVe=Z21bV’ Finalement, la fonction de transfert du système complet s’écrit : H ( p) Z 21bY21a Rg Vs Ve Z11b Y22a Rg2 Filtrage - Modulation 78 FILTRAGE VII - Synthèse en cascade d’un filtre actif Le principe de la méthode consiste à réaliser un certain nombre de filtres actifs élémentaires très simples dont la mise en cascade permettra d’obtenir n’importe quel filtre. Décomposition de la fonction de transfert Passe Bas Si on considère la fonction de transfert des filtres passe bas polynomiaux, le numérateur est égal à 1. De plus, les racines du dénominateur de la fonction de transfert (pôles) se situent sur une courbe continue dans D- : demi cercle unité pour Butterworth, demi-ellipse pour Tchebychev. Ces racines sont toutes imaginaires conjuguées (si n est pair, si n est impair il existe une racine réelle négative -p0) On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées pour donner un un polynôme du second ordre : p1=-1+jw1 et p1*=-1-jw1 Filtrage - Modulation 79 FILTRAGE On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées : p1et p1* p p1 p p1* p 2 2 1 p 12 w12 p 2 1 12 w12 L’expression de la fonction de transfert d’un filtre polynomial peut donc se mettre sous la forme : H ( p) p 2 k H ( p) 2 1 p p12 n 2 p k K p 2 2 2 p p22 p 2 2 k p pk2 ( n pair ) p0 p 2 2 1 p p12 n 1 2 K p 2 2 2 p p22 p 2 2 k p pk2 ( n impair ) Cette fonction de transfert nécessite donc la mise en cascade de 2 types de filtres élémentaires Filtrage - Modulation 80 FILTRAGE Mise en cascade de deux types de filtres élémentaires : • Un ou plusieurs filtres du second ordre : H ( p) K p 2 2 i p pi2 • Un filtre du premier ordre, si n est impair : H ( p) 1 p p0 Comme il s’agit de filtres passe bas H(j w)=1 pour w =0, on écrira donc les fonctions de transfert élémentaires sous la forme : H ( p) 1 1 2 i p2 ap 2 bp 1 p 1 pi2 pi et Filtrage - Modulation H ( p) 1 p 1 p0 1 ap 1 81 FILTRAGE Signification physique de la décomposition des fonctions de transfert Prenons comme exemple la réalisation d’un filtre passe bas de Tchebychev d’ordre 7, avec un taux d’ondulation de 1 dB dans la bande passante et une fréquence de coupure f0=1kHz Prenons comme cellule de base la structure de Sallen et Key : q1C0 Ve R0 R0 1 VS m1 C 0 H ( p) La fonction de transfert de cette cellule s’écrit : 1 1 2m1 R0C0 p m1q1 RO2 C02 p 2 La pulsation caractéristique de cette cellule est : w1 Filtrage - Modulation 1 R0C0 m1q1 82 FILTRAGE La fonction de transfert normalisée de cette cellule : H ( p) 1 21 1 p w1 p avec 2 w1 w 1 R0C0 m1q1 et 1 m1 q1 2 1 La pulsation de normalisation du filtre de Tchebychev d’ordre 7 (pour l ’ensemble des cellules) : 1 w 0 2f 0 Normalisation en fréquence : p jw R0C0 s p w0 jw w0 La pulsation caractéristique de la première cellule devient : w1 1 R0C0 m1q1 s1 w1 w0 Filtrage - Modulation 1 m1q1 83 FILTRAGE La fonction de transfert de la première cellule devient : H ( s) 1 2 1 2m1s m1q1s 1 1 s s2 1 b1s a1s 2 1 21 2 s1 s1 Par identification, on obtient : m1 s1 Rappel : Vm b1 2 w1 f 1 w0 f0 1 2 1 2 1 a1 q1 a1 a 2 1 m1 b1 1 b1 b1 s1 2 2 a1 Fm f p 1 2 2 Les abaques donnent pour la première cellule : 4,3393 p 2 1,6061 p 1 Il faut traduire par : 4,3393s 2 1,6061s 1 a1s 2 b1s 1 Filtrage - Modulation 84 FILTRAGE Première cellule : a1 = 4,3393 et b1 = 1,6061 On en déduit : m1 = 0,803 et q1 = 5,403 s1 = 0,480 (f1 = 480 Hz) et 1 = 0,3855 V m1 2 F f m1 1 1 1 2 1,406 1 1 2 402 Hz (0,402) 2 1 1 D’un point de vue pratique, il est important de vérifier chaque cellule avant de les cascader. Il est important de placer les cellules dans l’ordre croissant du coefficient de surtension. Ces filtres étant très sensibles aux dispersions sur les valeurs des composants, il est plus aisé de calibrer chaque cellule : Vm, Fm et fi (caractéristiques fondamentales) 1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 Vm1=1,40 2ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+1 Vm2=3,19 Filtrage - Modulation 85 FILTRAGE Réalisation de la première cellule : 1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 m1 = 0,803 et q1 = 5,403 q1C0 Ve R0 R0 1 VS m1 C 0 Pour calculer les différents éléments, on fixe R0 (1k R0 100k) Prenons R0 = 10k. On en déduit : C0 1 15,92nF 2f 0 R0 m C 12,78nF 1 0 q1C0 86,02nF Filtrage - Modulation 86 FILTRAGE Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB : 1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 2ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+1 3ème cellule : 1,0073s2+0,0920s+1 4ème cellule : 4,868s+1 On en déduit : 1ère cellule : m1=0,803 2ème cellule : m2=0,196 3ème cellule : m3=0,046 4ème cellule : m4=0,046 1 = 0,3855 f1= 480 Hz Vm1= 1,40 q1=5,403 q2=7,808 q3=21,878 2 = 0,1585 f2= 808 Hz Vm2= 3,19 3 = 0,046 f3= 996 Hz Vm3= 10,91 Filtrage - Modulation 87 FILTRAGE Réalisation de la dernière cellule : Ve 4ème cellule : 4,868s+1 m4 = 0, 046 R0 VS m4 C 0 H ( p) 1 m4 R0C0 1 H ( s) 1 1 1 s 4,868s 1 a4 s 1 1 s4 H ( s) On en déduit que m4 = a4 et s4 1 m4 s 1 1 w 4 0,673 a4 w0 Finalement f4 =s4f0 =673 Hz Filtrage - Modulation 88 FILTRAGE Réalisation d’un filtre de Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB, f0=1kHz : m1C0 12,78nF m2C0 2,48nF m3C0 0,732nF m4C0 77,5nF q C 86 , 02 nF q C 123 , 3 nF q C 348 , 3 nF 1 0 2 0 3 0 Ve 86,02nF 124,3nF 348,3nF - - - + + 10k 10k 10k 10k 12,78nF 2,48nF 10k VS + 10k 10k -1dB 0,73nF 77,5nF log f Allure de la réponse Filtrage - Modulation 89 FILTRAGE VIII - Sensibilité des filtres actifs Les circuits élémentaires du second ordre réalisés à partir de différents éléments actifs : A.OP., convertisseurs d’impédance, gyrateurs, permettent de réaliser des filtres d’ordre élevé par mise en cascade. La question se pose de savoir quel type de circuit conviendra le mieux à réaliser Hormis les questions de coût, les critères de choix porteront essentiellement sur les facilités de réglage du filtre et sur la stabilité de ses performances lorsque l’un ou l’autre des éléments qui le constituent varie. En effet, en raison de l’importance des coefficients de surtension mis en jeu, une légère variation de l’un des composants peut entraîner une variation considérable de la courbe de réponse. Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de l’A.OP. : stabilité par rapport à ses caractéristiques Filtrage - Modulation 90 FILTRAGE Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif Les études de stabilité portent sur les points suivants : - Effet de l’élément actif : stabilité par rapport aux caractéristiques de l’A.OP. et stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’A.OP. pour réaliser l’élément actif - Effet des éléments passifs : stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’élément actif pour réaliser le filtre • Grandeurs caractéristiques des filtres du second ordre : La courbe de réponse d’un filtre passe Vm’ bas du second ordre est représentée sur Vm la figure ci-contre. Une variation de l’un des composants peut entraîner une légère fm fm’ variation de la fréquence de résonance (peu d’influence), mais une grande variation sur de la valeur de surtension. Filtrage - Modulation 91 FILTRAGE La variation de l’amplitude maximale sera d’autant plus importante que le coefficient de surtension sera élevé (Q=1/2) En conclusion, la sensibilité d’un filtre élémentaire d’ordre 2 à une variation d’un élément est d’autant plus importante que son coefficient de surtension est élevé. • Définition de la sensibilité : La fonction de transfert d’un filtre passe bas normalisée s’écrit : H ( p) Vs Ve 1 2 1 p w0 p2 w 02 1 1 p p2 1 Q w 0 w 02 S’il y a surtension (fréquence de résonance) : Vm Vs Ve m Q 1 1 4Q 2 et wm w0 1 Filtrage - Modulation 1 2Q 2 92 FILTRAGE Dès que Q dépasse quelques unités, on aura : Vm#Q et wm# w0 On aura une bonne estimation de la sensibilité d’un tel filtre en fonction de la variation de l’un de ses composants X en mesurant quelle variation de Q est provoquée par une variation de X. D’où la définition de la sensibilité : S XQ Q Q X X : Sensibilité du coefficient de surtension à la variation d’un élément X (grandeur indépendante des unités) w 0 0 Sw X w0 X X w m # wm X X : Sensibilité de w0 (wm dès que Q dépasse qq. unités) à la variation d’un élément X Filtrage - Modulation 93 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments actifs Les grandeurs caractéristiques de l’élément actif susceptible de varier sont : - le gain K des sources commandées - le gain K des convertisseurs d’impédance négative - la résistance de gyration Rg pour les gyrateurs - le gain A des A.OP. En pratique, il peut naître une variation d’amplitude et de phase, en particulier si la température varie. Nous ne nous intéresserons qu’aux variations d’amplitude qui donnent une bonne idée de la sensibilité du montage. Toutefois il est difficile de comparer par exemple SKQ et SRgQ. Cependant, tous les éléments actifs étant constitués à l’aide d’A.Op. il est possible d’établir une comparaison valable en calculant les sensibilités par rapport à une variation du gain en boucle ouverte A du ou des A.OP. Filtrage - Modulation 94 FILTRAGE Si l’élément actif est réalisé par des A.Op. associés à des éléments passifs, une variation de ces derniers se traduira par une variation de l’élément actif. Par exemple pour un INIC où k=R2/R1, si R1 et/ou R2 varient alors k varie! Il convient alors de considérer 2 sensibilités par rapport aux variations de l’élément actif. • Calcul de la sensibilité d’un filtre à source commandée à gain positif La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : C1 Ve R K R C2 On définit : w0 VS H ( p) 1 R C1C2 et K 1 R2C2 1 K C1 p R 2C1C2 p 2 Q C1C2 2C2 1 K C1 Filtrage - Modulation 95 FILTRAGE On définit : S KQ Soit : S KQ C1 C1C2 Q K K 2C2 1 K C1 2 K Q 2C2 1 K C1 C1C2 KC1 C1 KQ 2C2 1 K C1 C2 Dans le cas d’un ampli de gain unité : Q 1 2 C1 C2 S KQ 2Q 2 Cette valeur peut paraître énorme, mais il faut tenir compte du gain de boucle ouverte, A, de l ’A.Op. et étudier : Q Q Q K SA Dans le cas d’un montage suiveur : S K A K A 1 1 # A K A 1 A S 1 K 1 Q A 1 A S A SK S A A A 1 2Q 2 A Filtrage - Modulation 96 FILTRAGE On obtient : S Q A 2Q 2 A Pour utiliser ce montage, il convient de vérifier : A>>2Q2 De même : w 0 1 R C1C2 0 Sw 0 A Si K1, montage non inverseur avec R1 et R2 : K R1 R2 R1 Il faut alors calculer : S RQ 1 S RQ1 S KQ S RK1 KQ On en déduit : S Q R1 et C1 K SR C2 1 1 K Q S RQ2 S RK1 R2 1 K R1 R2 K C S C 1 Q R2 2 Par exemple si Q=50 avec K=2 alors S RQ 2500 1 Si R1 varie de 0,01% alors l ’amplitude de résonance, Q, variera de 25%! Filtrage - Modulation 97 FILTRAGE • Filtre utilisant un A.Op. Ve R La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : C2 R R C1 + A VS H ( p) 1 1 3RC 2 p R 2C1C2 p 2 Si on tient compte du gain A de l’A.Op., on obtient : H ( p) Avec : 1 2 1 C 1 1 R 3C2 1 1 p R 2C1C2 1 p 2 A A A A Q C1C2 (1 A)( 2 A) 3C2 1 A C1 2C1C2 3 AC1C2 A2C1C2 3 AC2 3C2 C1 Filtrage - Modulation 98 FILTRAGE Or A est très élevé (gain en boucle ouverte d’un A.Op.) : Q# On définit : S Q A A2C1C2 1 3 AC2 3 C1 C2 Q A 1 1 3Q 2 # A Q 1 3 A C2 3 A C2 A C1 C1 2 1 A # De même : w 0 1 R C1C2 1 A 1 1 2w 0 w 0 Soit : w 02 2 A R C1C2 2 1 1 1 1 1 A A A # R C1C2 R C1C2 1 A R 2C1C2 A2 Filtrage - Modulation 99 FILTRAGE A 2 A w 0 w 0 # A A2 On obtient : 2w 0 w 0 # w 02 On définit de même : S wA w 0 A 1 #0 A w 0 2A 0 • Filtre utilisant un INIC R2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : H ( p) Avec : Q Ve R1 C1 INIC k C2 Vs 1 R1 kR2 C1 p 1 R1 kR2 C1 R2C2 p R1 R2C1C2 p 2 R1 R2C1C2 R2C2 ( R1 kR2 )C1 Filtrage - Modulation 100 FILTRAGE On définit : S kQ Q k kR2C1 k Q R2C2 ( R1 kR2 )C1 En prenant k=1 et R1=R2=R : S kQ C1 Q2 C2 On réalise le montage INIC de la façon suivante : ie R1 RL R2 A Ve is V0 A(Vs Ve ) Vs Vs V V0 s RL R2 V V0 ie e R2 is La résolution de ce système nous donne : Ve R 1 RL R2 Z e 1 RL 1 ie R2 A R R L 2 Filtrage - Modulation 101 FILTRAGE Dans ce cas la valeur rigoureuse du gain d’impédance négative est : R1 1 RL R2 k 1 R2 A R2 RL Prenons pour fixer les ordres de grandeur R1=R2=R= RL : k 1 S Ak k A 2 A 2 2 2 2 # A k A k kA A2 A Finalement, on obtient : S Q A S S Q k k A 2 A 2Q 2 A Toutefois, il convient de tenir compte de la sensibilité due aux dispersions sur les résistances R1 et R2 : S Rk1 k R1 1 S Rk 2 R1 k Soit : S RQ SkQ S Rk S RQ Q2 1 1 2 Filtrage - Modulation 102 FILTRAGE Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments passifs Le calcul des sensibilités SAQ et SAw0 montre qu’il est toujours possible de réaliser ces grandeurs à volonté par un choix judicieux des schémas et du gain en boucle ouverte A de l’A.Op. Il n’en sera pas de même pour les sensibilités SZQ et SZw0. En pratique, il ne faudra utiliser que des montages pour lesquels ces grandeurs sont raisonnablement faibles! En particulier, les condensateurs sont des éléments passifs plus coûteux et moins stables que les résistances. Une faible sensibilité à une variation de l’un d’entre eux sera une qualité appréciable. Attention, pour évaluer ces sensibilités, il faut prendre la précaution d’effectuer les calculs avant de simplifier les termes qui s éliminent par différence! Filtrage - Modulation 103 FILTRAGE Par exemple, prenons le cas du filtre à INIC suivant : R2 La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : H ( p) Ve R1 C1 INIC k C2 Vs 1 R1 kR2 C1 p 1 R1 kR2 C1 R2C2 p R1 R2C1C2 p 2 C’est la somme d’une fonction passe bas et d’une fonction passe bande. Pour obtenir la fonction passe bas, on devra éliminer le passe bande. Les caractéristiques du passe bas sont : Q R1 R2C1C2 R1 kR2 C1 R2C2 On obtient : S RQ 1 et w0 1 R1 R2C1C2 1 R1C1 2 R2C2 R1 kR2 C1 Filtrage - Modulation 104 FILTRAGE Si maintenant on fait R1=kR2 afin d’obtenir le filtre passe bas : S RQ1 1 R1C1 1 RC 1 1 2 R2C2 R1 kR2 C1 2 R2C2 Soit : S RQ 0,5 Q2 1 Cette valeur peut devenir énorme dès que Q dépasse quelques unités et il est très différent du résultat qu’on aurait obtenu en faisant le calcul sur la fonction simplifiée en posant R1=kR2 au départ! • Filtre à très faible sensibilité : cas d’un passe bande : C1 K1 Ve R1 C2 VS K2 R2 H ( p) La fonction de transfert d’un tel filtre s’écrit : K1 K 2 R2C2 p 1 R1C1 R2C2 p 1 K1 K 2 R1 R2C1C2 p 2 Filtrage - Modulation 105 FILTRAGE H ( p) K1 K 2 R2C2 p 1 R1C1 R2C2 p 1 K1 K 2 R1 R2C1C2 p 2 Si on pose R1=R2=R et C1=C2=C : H ( p ) Dans ces conditions : Q 1 K1 K 2 2 K1 K 2 RCp 1 2 RCp 1 K1 K 2 R 2C 2 p 2 et w0 Si K1=-K2=K et pour les grandes valeurs de Q : Q # R2 R1 R2 K K1 K 2 R1 R2 1 A R2 2Q Finalement : S AQ S KQ S AK A A S AK 1 RC 1 K1 K 2 K 2 S kQ 1 K A K 2Q # A K A A Filtrage - Modulation 106 FILTRAGE On obtient : S AQ S KQ S AK De plus : Soit : w0 S Kw 0 Finalement : 2Q A 1 RC 1 K1 K 2 S Kw10 S Kw20 1 2 1 2 0 Sw S Kw 0 S AK A K Q 2A A De même, la sensibilité du montage par rapport aux variations des résistances qui constituent la source commande (montage inverseur et montage non inverseur) : S RQ2 S RQ1 1 2 Filtrage - Modulation 107 FILTRAGE Conclusion sur la sensibilité des filtres actifs Sensibilité Nature de l’élément actif Amplificateur Opérationnel S AQ Q S ZA S CQ 3Q 2 A 0 1 2 Source commandée de gain >0 2Q 2 A Amplificateur de gain unité 2Q 2 A NIC 2Q 2 A 9Q 2 2A Circuit faible sensibilité 2Q double source A commandée Source commandée de gain <0 S RQ 2 3 O Sw A wO S ZA S Zw O 2 #0 A 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 Q2 1 2 0,5 Q 2 0 0 1 2 1 2 1 6 0 1 2 1 2 1 2 0 0 9Q 2 2A Q A 1 2 1 2 (1 K )Q C1 C2 Filtrage - Modulation 108 FILTRAGE Des résultats rassemblés dans le tableau précédent, on peut tirer un certain nombre de conclusion : • Les filtres utilisant des INIC ont une sensibilité prohibitive ~Q2 aux variations des éléments passifs, ainsi qu’aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser le INIC • Les filtres à source commandée de gain positif (>>1) ont une sensibilité prohibitive aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser les éléments actifs : ~QK (Q(1-K)C1/C2) • Leur emploi, dans les 2 cas précédents, est à éviter lorsque Q dépasse quelques unités! • Les filtres utilisant une source commandée à gain unité ont une sensibilité aux variations des éléments actifs qui est faible (A>>Q2). On pourra aller aller jusqu’à des valeurs de Q dépassant 100, suivant le domaine de fréquence et l ’A.Op. utilisé! Filtrage - Modulation 109 FILTRAGE • La sensibilité par rapport aux variations des éléments passifs, réalisant le filtre, sont comparables à celles des filtres passifs : Considérons le filtre RLC passe bas suivant : Ve S RQ 1 Vs 1 S S 2 Q L Q C w0 1 LC S Rw 0 0 et Q 1 R L C S Lw 0 S Cw 0 1 2 • Les filtres utilisant une source commandée à gain négatif ont une sensibilité très faible par rapport aux variations des éléments aussi bien actifs que passifs (A>>Q2) surtout en BF. Toutefois, ils ont un médiocre rapport signal/Bruit! Filtrage - Modulation 110 FILTRAGE Autres critères de choix Sensibilité aux Sensibilité aux Possibilité Nombre Facilité de variations des variations des de mise en d’A.Op. réglage éléments actifs éléments passifs cascade Stabilité électrique Amplificateur Opérationnel faible faible 1 oui moyenne très bonne Source commandée de gain >0 très forte faible 1 oui bonne bonne Amplificateur de gain unité faible faible 1 oui bonne très bonne Source commandée de gain <0 très faible faible 2 oui bonne très bonne NIC très forte très forte 1 non moyenne mauvaise Gyrateur faible faible 2 non médiocre mauvaise Filtrage - Modulation 111 FILTRAGE Pour les filtres polynomiaux et Cauer (zéros de transmission) Bessel Butterworth Legendre Tchebychev Cauer Raideur de la coupure (n) très médiocre médiocre moyenne bonne très bonne Régularité du temps de groupe excellente bonne moyenne médiocre très médiocre Déformations du régime transitoire très faible faible faible forte très forte Nombre de composants (K) très élevé élevé moyen faible faible Coefficients de surtension très faibles faibles moyens moyens élevés Difficultés de réglage (sensibilité) faibles faibles faibles moyens élevés Filtrage - Modulation 112 FILTRAGE IX - Filtres à capacités commutées Il est très difficile d’implanter sur un circuit intégré des résistances de forte valeur, une des solutions consiste à remplacer ces résistances par des circuits à capacités commutées : f1 R f2 C Etude préalable : Transfert de charge entre C1 et C2 f2 C1 C2 L’interrupteur est initialement ouvert, et les capacités C1 et C2 sont respectivement chargées sous les tensions E1 et E2. On suppose que E1>E2 L’interrupteur fermé à une résistance : Ron Filtrage - Modulation 113 FILTRAGE On note V1, la tension aux bornes de la capacité C1 et V2, la tension aux bornes de la capacité C2 : C1 se décharge dans C2 (constante de temps : V1(t) V2(t) Ron"C1//C2"). E1 UO E2 Soit : U 0 t Conservation de charge : C1E1+C2E2=( C1+C2)U0 C1 E1 C2 E2 C1C2 C1 C2 C1 C2 E1 E2 C C 1 2 Etude du circuit à capacités commutées Pour calculer la résistance équivalente du circuit à capacités commutées, considérons le montage suivant et montrons qu’il se comporte comme un circuit RC passe bas. Filtrage - Modulation f1 E f2 C1 C2 114 FILTRAGE Cherchons à déterminer la constante de temps t=RappC2 de ce circuit : Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue E. A t=0, on a V1(0)=V2(0)=0. Les deux interrupteurs sont commandés par le même signal d’horloge, de période Tc et de rapport cyclique 1/2, mais sur les phases, f1 et f2, opposées. Un interrupteur fermé est équivalent à une résistance Ron, un interrupteur ouvert est considéré comme parfait. On suppose que les constantes de temps RonC<<Tc/2. Pendant la première 1/2 période, le premier interrupteur (f1) est fermé (on ferme E sur C1), alors que le deuxième reste ouvert. A Tc/2, on ouvre f1 et on ferme f2. On appelle U1 la tension d’équilibre à Tc, U2 la tension d’équilibre à 2Tc, … U0=0 et on obtient la formule de récurrence : Un C1C2 C1 C2 E U n 1 C1 C2 E U n 1 C C C C C C 1 1 2 1 2 2 Filtrage - Modulation 115 FILTRAGE U0=0 et U n C1C2 C1 C2 E U n 1 C1 C2 E U n 1 C C C C C C 1 1 2 1 2 2 U1 C1 EA C1 C 2 U2 C1 C2 E U1 A aA A( a 1) C1 C2 C1 C2 U3 A avec a C2 C1 C2 C2 U 2 A aA( a 1) A( a 2 a 1) C1 C2 U n A(1 a a a a 2 3 n 1 1 an ) A 1 a C2 a 1 C1 C2 C2 1 n C1 C2 Remarque : U n A 1 a E C1 C2 1 a C1 C2 C1 C2 Filtrage - Modulation n E 1 C2 C1 C2 n 116 FILTRAGE C 2 Remarque, on veut un passe bas : U n E 1 C1 C2 n V1(t) V2(t) E f1 E f2 C1 C2 C1 << C2 t Tc/2 Tc 3Tc/2 2Tc 5Tc/2 3Tc nT C Soit : U n U (nTc ) E 1 e t 7Tc/2 4Tc C 2 E 1 C C 1 2 Filtrage - Modulation n 117 FILTRAGE nT C V2 (t ) U (nTc ) U n E 1 e t On veut : Soit : e nTC t C2 C1 C2 Or C1 << C2 C ln 1 1 C2 n ln n T C1 C2 C C2 t C1 # C2 C C T On en déduit : ln 1 1 # 1 c C2 C2 t Finalement, on obtient : C 2 E 1 C1 C2 Rapp t Tc C2 RappC2 C1 Tc 1 C1 f c C1 Filtrage - Modulation 118 FILTRAGE Filtrage - Modulation 119 FILTRAGE Etude d’un filtre passe bas à capacités commutées Considérons le filtre suivants : Les données constructeur nous donnent : f0 fc 2 C2C3 C ACB Q CB C4 C2C3 C AC B Filtrage - Modulation G C1 C2 120 FILTRAGE Ce filtre peut-être ramené au filtre suivant : R4 R2 CA R1 Ve On peut donc écrire : De même : -R3 _ + Avec CB _ Vs VI R3 R4 // C B Ve V s VI C A p R1 R2 1 f c Ci VS + VI Ri VI R3 1 R4C B p Vs R4 1 Ve 1 R4CB p Vs R3 C A p R1 R4 R2 Ve R1 R4 R1 R2 R3C A p R1 R2 R3 R4C ACB p 2 Soit : Vs R2 R4 Filtrage - Modulation 121 FILTRAGE On en déduit : H ( p ) D’où : G R2 R1 Ve G 1 p p2 Vs 1 R2 R3 C p R R C C p 2 1 A 2 3 A B R4 Q w 0 w 02 R2 C 1 R1 C2 f c2C2C3 1 w R2 R3C ACB C ACB 2 0 R R 1 2 3 CA w 0Q R4 Q C2C3 C4C A f0 fC 2 C2C3 C ACB C ACB C B C2C3 C4 Filtrage - Modulation C2C3 C ACB 122
