Si on reprend la formule (4)

Calcul de la section d’un câble électrique en fonction de
sa longueur, de la puissance du consommateur, de la
perte de tension admissible.
Tôt ou tard, sur un voilier on se retrouve confronté à l’épineux problème du choix de la
section d’un câble électrique pour alimenter un équipement.
Le problème tel qu’il se pose pour le plaisancier:
On dispose d’un équipement électrique dont la puissance est de x watts pour une tension
nominale de y volts avec une distance à parcourir entre les batteries et l’ équipement de
z mètres.
La question qui tue: quelle doit être la section du câble ?
Pips 2011
Cette question souvent posée sur les forums, amène des réponses plus ou moins exotiques
dont la plus fréquente pourrait être illustrée par la démonstration suivante:
« Comment choisir la section ? Quel est le but de ce calcul ? On cherche à transporter de l'énergie d'un
point a( la batterie) à un point b (le consommateur ampoule, pilote&). Dans tout transport (comme partout),
on essaye de limiter les pertes. Donc on essaye de tirer les câbles les plus courts. Mais malheureusement
tous les consommateurs ne peuvent être à proximité de la batterie. Donc on joue sur le seul paramètre
possible pour diminuer la résistivité : la section. Reste donc à trouver le meilleur compromis
poids/prix/efficacité. Qu'acceptons comme perte dans le fil ? Perte qui se traduit par un échauffement et une
diminution de la tension aux bornes du consommateur. Le but n'étant pas de faire un radiateur. Prenons par
exemple l'ampoule qui est en haut du mat. Une ampoule de 25W alimentée par un fil en 2mm² (2.10-6 m²) de
30m (aller-retour batterie ampoule) et une tension de batterie de 12.5V. Le courant qui circule : 25/2,5=2A
(P=UI). La résistance du fil : R=1.7.10-8 * 30/2.10-6 = 0,255W . La chute de tension q due au fil est de
dU=RI=0,255*2=0,51V .Donc on a une ampoule alimentée en 12V à la place des 12,5V de la batterie.
Dommage de perdre ainsi cette précieuse énergie.Une valeur correcte (qui donne un bon compromis
poids/prix/perte) de chute de tension due au conducteur est 0,2V. D'où la section à choisir après une petite
gymnastique : S=8,5.10-2*L*I mm² avec I en ampère et L en mètre. »
Cet exemple est intéressant car il combine 2 facteurs qui se compensent de telle sorte
qu’à partir d’un raisonnement inexact, la combinaison des valeurs fait que le résultat final
est juste !
Il est heureusement sans conséquences puisqu’il tend à maximiser la chute de tension et
donc la section du câble, néanmoins ce n’est pas la bonne méthode pour calculer la chute de
tension due à la résistivité du câble dans un circuit qui comporte un consommateur.
Pips 2011
Question: pourquoi le raisonnement présenté est-il erroné alors que les formules décrites
sont exactes ?
U = RI (1) P = UI (2) et R = ρ L / S (3)
Au passage, on peut essayer de donner une signification physique à ces formules:
La puissance électrique P est d’autant plus forte que la tension U et l’intensité I sont
importantes.
Par analogie, on pourrait dire que la puissance hydraulique est d’autant plus forte que
l’écart de hauteur entre le lieu de stockage de l’eau et le lieu d’alimentation est important
et que le débit est important.
On pourrait traduire ceci par: pour avoir des chevaux, il faut une grosse différence de
potentiel et du débit (P = UI) et qui dit débit, dit gros tuyaux ! (R = ρ L / S)
La différence de potentiel, c’est la tension en électricité ! Cela veut bien dire ce que cela
veut dire « différence de potentiel »: ce n’est pas pour autant qu’on en dégage une
puissance, mais seulement un potentiel de puissance.
Pips 2011
Pour en revenir à notre ampoule du haut du mat, d’une puissance de 25 Watts avec une
tension batterie de 12,5 volts, un câble de longueur 30 mètres et un fil de section 2 mm2,
notre auteur conclue que le courant qui circule dans l’ampoule est de 25 / 12,5 = 2
ampères, en vertu de la relation (2)
. Erreur: l’intensité qui passe dans un consommateur n’est pas une qualité intrinsèque du
consommateur, c’est une résultante !
Une ampoule est caractérisée non pas par son intensité mais par sa résistance et sa
tension nominale.
. La résistance définie par r = ρ L / S ne fait appel à aucun commentaire, si ce n’est qu’il
faut considérer dans la longueur du circuit, non seulement l’aller mais aussi le retour.
Donc si la distance entre la batterie et le consommateur est de 15 mètres, la longueur
totale du circuit est de 30 mètres.
Attention donc dans les modèles: soit on vous demande la longueur totale du circuit, soit
on vous demande uniquement la longueur aller du circuit et le modèle multiplie par 2 (en
supposant que la longueur retour est égale à la longueur aller !)
Pips 2011
. D’où la chute de tension = 0,255 X 2 ( R X I), erreur car l’intensité n’est pas la bonne !
Mais enfin …!
Le problème tel qu’il se pose pour le navigateur:
D’un côté, une batterie avec un fil qui part de la borne + pour arriver à l’interrupteur, puis
au fusible, de l’autre la lampe puis retour à la borne – de la batterie (il faut l’espérer !)
Interrupteur
Fusible
Batterie
Lampe
?
Pips 2011
Le problème tel qu’il se pose pour le physicien: une lampe dotée d’une résistance RL et un
circuit composé de fils de cuivre dont la résistance est r.
Le schéma devient:
Vr
U
r
I
VL
RL
Le modèle physique consiste à considérer que la
résistance du câble est nulle, et qu’elle est remplacée
par une résistance équivalente r. (c’est comme si on
avait un énorme tuyau dont la résistance à
l’avancement des électrons était nulle et que sur
cette même ligne on place une petite résistance
représentant celle de la ligne toute entière)
Dès lors U = Vr + VL , ce qui revient à dire que
U = (r + RL) I
(4)
On retrouve bien dans ce modèle les qualités intrinsèques des équipements, à savoir les
résistances, de l’ampoule (RL) et de la ligne (r).
Pips 2011
Le reste n’est que développement du calcul.
Si on reprend l’exemple présenté en début d’article, la puissance P de l’ampoule étant de
25 watts pour une tension nominale U supposée de 12,5 volts, sa résistance est:
RL= U2 / P (5)
RL = 6,25 Ohms
En appliquant la formule r = ρ L / S on trouve r = 0,255 Ohms.
Avec ρ = 1,7 10-8 Ω.m, L= 30 m et S = 2 mm2 = 2 10-6 m2
Si on reprend la formule (4) :
I = 1,92 A et donc VL = 6,25 X 1, 92 = 12 volts.
Et Vr = 0,255 X 1,92 = 0,49 volts
Par conséquent l’ampoule RL « voit » une tension de 12 volts à ses bornes pour 12,5 à
l’entrée.
Pips 2011
Pour aller plus loin et finalement répondre à : quelle doit être la section du câble ?,
reprenons le modèle pour mettre la question posée sous équation.
La relation (3) nous apprend que la résistance du circuit est proportionnelle à la longueur
(L) du circuit, à la résistivité (ρ) du conducteur, qualité intrinsèque du matériau (mais qui
dépend de la température) et est inversement proportionnelle à la section (S) du
conducteur.
On peut en conclure que quand S tend vers l’infini, la résistance tend vers 0. (Il est par
contre difficile de faire tendre la section d’un câble vers l’infini).
On voit ici que la réponse à la question n’est pas unique, mais qu’elle dépendra d’un seuil
d’acceptation qu’on voudra bien se fixer et qu’on peut traduire de la manière suivante:
VL / U = β,
β qu’on essaiera de faire tendre vers 1.
En réalité on utilisera α = 1- β pour exprimer le pourcentage de déchéance acceptable.
d’où VL = U (1- α) ou Vr = α U
On a
Donc
Pips 2011
(7)
Vr = r I = r U / (RL + r) selon (4)
α U (RL + r) = r U qu’on simplifie en α RL = r (1 – α)
Et selon (5)
α U2/P = r (1 – α)
Or selon (3)
α U2/P = (1 – α) ρ L / S
Après simplification
S = ρ P L (1 – α )
(8)
α U2
Arrêtons nous un instant sur cette formule qui nous enseigne que la section du câble sera
d’autant plus grande que la puissance à passer sera élevée et que la longueur du câble sera
importante. On s’en doutait déjà.
Par contre la section du câble sera d’autant plus faible que la tension au carré est élevée.
La section est donc inversement proportionnelle au carré de la tension.
Cette simple formule permet de comprendre très rapidement pourquoi on a tout intérêt à
augmenter la tension pour transporter le courant.
Pips 2011
Une dernière chose concernant la chute de tension acceptable:
On voit que cette chute de tension est caractérisée par le coefficient α .
Dire qu’on accepte un coefficient α = 3% , c’est accepter ne récupérer que 97 % de la
puissance de la source, dans le consommateur.
Par la formule (8) , on comprend bien que ce coefficient n’est pas neutre pour le porte
monnaie (augmentation du poids de cuivre) dès que l’on souhaite minimiser les pertes de
puissance.
Quelle est donc la bonne valeur de α ?
Il n’y a pas une réponse mais des réponses.
Si l’objectif est d’alimenter une ampoule d’éclairage, on ne cherchera pas forcément à
maximiser la puissance. On pourra se contenter d’un coefficient de 5 %.
Si l’objectif est de recharger les batteries à partir de panneaux solaires ou d’un
aérogénérateur, on sera beaucoup plus exigeant avec un coefficient maxi de 3%.
En effet, il serait quand même dommage d’appliquer aux bornes de ses batteries une
tension inférieure à la tension de charge des dites batteries parce que tout est passé en
effet Joule dans un conducteur trop fin.
Pips 2011
Après ces explications totalement inutiles, voici un utilitaire qui permet de répondre
aisément à cette fameuse question, mais qui ne s’applique qu’au conducteur cuivre dont la
résistivité est de 2 10-8 Ω.m. (résistivité du cuivre à 60°C) et en courant continu.
Par ailleurs il faudra prendre soin de vérifier que la section ainsi calculée est compatible
avec l’intensité maximale que peut supporter le câble. Le mieux est de se référer à la
norme NF EN ISO 10133.
Calcul de la section d'un cable électrique
en cuivre et en courant continu *
Puissance de l'équipement (en watts)
Longueur de cable aller + retour (en mètres)
4
Tension de service (en volts)
12
Chute de tension acceptable (en %)
3%
Perte de tension (en volts)
0,4
Section du cable (en mm 2)
2,7
Diamètre du cable (en mm)
1,85
(*) Ne tient pas compte des intensités maximales admissibles par le conducteur. Se reporter à la norme 10133
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