PPT

Cours de Mécanique des fluides
Equations de la
mécanique des
fluides
Olivier LOUISNARD
Forces extérieures
Poids :
Pression :
òòò rg dV
V
òò -pn dS
Déjà spécifiées pour l’hydrostatique
S
Mais dans un fluide en mouvement, il y a aussi des
frottements visqueux
• frottement fluide / fluide
• adhérence fluide aux parois solides
• dissipent de l’énergie
• origine microscopique : mouvement thermique + interactions dans
les liquides
Viscosité : expérience de Couette
y
t1  0
t2 > t 1
t
U0
v
h
v
v
x
Constatations expérimentales :
• u = U0
sur la plaque supérieure
•u=0
sur la plaque inférieure
• profil linéaire de u au bout d’un temps assez grand
•
avec S surface mouillée
Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide
= viscosité dynamique 
Viscosité
•
homogène à kg.m-1.s-1 = Pa.s = Pl (Poiseuille)
on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo)
Eau à 20°C :
10-3 Pa.s = 1 cPo
Air à 20°C :
1.85 10-5 Pa.s
•
augmente avec T pour un gaz
indépendant de p pour un gaz
diminue avec T pour un liquide (cf. huile dans une poêle)
augmente avec p pour un liquide
Contrainte visqueuse
(Rappel MMC) : Contrainte s = dF/dS
S
n
dFv= sv dS
dFp= -pn dS
dS
V
dS
n
Contrainte de pression sp = -pn
Exprimée facilement en fonction de n
sp = force de pression/u. de surface
sv = force visqueuse/u. de surface
syx
Question : peut-on exprimer sv en fonction de n ?
Oui sous forme tensorielle
és xx s xy s xz ù én x ù
ê
úê ú
sv = ês yx s yy s yz ú. ên y ú =
êës zx s zy s zz úû êën z úû
On montrera (Cours 7) :
.n
y
esxv
szx
z
sxx
x
Pour les fluides
dits « newtonien »
Bilan de quantité de mouvement
dFv= sv. n dS Maintenant qu’on connaît toutes
S
n
dS
V
les forces extérieures,
on peut écrire le bilan de QDM :
dFp= -pn dS
dV
dS
n
d
dt
dFp = rgdV
d
dt
òòò rv dV = - òò rv (v.n) dS +åF
ext
S
V
òòò rv dV= - òò rv (v.n) dS + òòò rg dV + òò -pn dS + òò s . n dS
v
V
Variation de QDM
du fluide
dans le volume V
S
QDM
transportée
par le fluide
rentrant - sortant
S
S
V
Poids
Pression
A RETENIR
Frottement
visqueux
Bilan d’énergie
˙ inclut les puissances de
Le calcul deW
toutes les forces extérieures
dW˙p = -pn.v dS
dW˙v = ( svn).v dS
dW˙g = rg.v dV
• Forces de pression : dFp = -pn dS
• Forces visqueuses : dFv = svn dS
• Poids :
dFg = rg dV
S
n
dS
dFv= svn dS
dFp= -pn dS
V
dV
dS
n
v
v
dFp = rgdV
Bilan d’énergie
d
dt
òòò
òò
r (u + v2/2) dV = -
S
V
Variation d’énergie totale
du fluide
dans le volume V
+
r (u + v2/2)(v.n) dS
Energie totale transportée
par le fluide
rentrante - sortante
òòò rg.v dV + òò-pv n dS + òò (s .n) v dS
v
V
Puissance du
poids
S
Puissance des
forces de
pression
+
S
Puissance des
frottements
visqueux
Puissance
calorifique
Equations locales
Objectif : remplacer le bilan sur un volume V
par des relations différentielles valables en chaque point du fluide
Moyens mathématiques :
• théorèmes analyse vectorielle
• puis passage à la limite V 0
Intérêt :
• calcul analytique
• calcul numérique
Un exemple
Conservation de la masse :
==>
Vrai quel que soit V donc :
Equations locales de la mécadef
r masse volumique
Masse
p pression
u énergie interne
v vitesse
QDM
Energie
Système complet ?
1 inconnue vectorielle
3 inconnues scalaires
1 équation vectorielle
2 équations scalaires
+ 2 équations scalaires
+ 1 inconnue scalaire
Il manque une équation d’état :
u( p,T )
v
r pu
T
r( p,T )
Quelques équations d’état
Gaz parfait :
GP isotherme :
GP isentropique :
Liquide
compressible :
Fluide
incompressible :
p
r=M
, u = c vT
RT
p
r
= Cte , u = Cte
p
(compresseurs, turbines à gaz)
(rare)
BAROTROPES
Equation de l’énergie
découplée de M et QDM
M p
=C , u=
g
r
g -1 r
(acoustique, ondes de chocs,
écoulements gazeux en général)
p = f ( r), u = C te
(explosions sous-marines,
écoulements liquides
supersoniques, rare)
te
r = r0, u = Cte
(hydraulique, presque tous
les écoulements liquide +
écoulements gaz faible Mach)
Autres écritures QDM
s’écrit aussi
ou encore
= a accélération du fluide
Des modèles pour simplifier
Ces équations sont des EDP très complexes
On cherche donc des approximations à l’aide
d’hypothèses supplémentaires
• Modèle de fluide incompressible :
• Modèle de fluide parfait
:
masse volumique constante
frottement visqueux négligés
Dans les TD à suivre, on utilisera en général les deux
On parlera ensuite de la validité ...
Fluide incompressible
r(x,y,z,t) = r0
M=
0
Constante
0
V
Conservation de la masse :
Général
òòòr dV = r V
òò v.n dS = 0
S
Se
S = Se + Ss
v
n
Ss
dS
V
n
v
Tube de courant
veSe = vsSs
Ve
Equation locale
Vs
divv = 0
Ce qui rentre = Ce qui sort
Accumulation de masse impossible
V = vS
débit volumique
(noté aussi Q)
Validité fluide incompressible
Correct si :
Ma nombre de Mach
c vitesse du son dans le fluide
déduite de l’équation d’état
Exemple pour un gaz parfait:
= 340 m/s à 298 K
• Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide
• Inutilisable si Ma > 0,3
• Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs)
• En pratique presque toujours valable dans les liquides
Modèle de fluide parfait
Permet de négliger les frottements visqueux
• mouvement non dissipatif
• conservation de l’énergie mécanique
• pas d’adhérence aux parois solides : le fluide « glisse »
• ouvre de nombreuses simplifications mathématiques
Limitations évidentes. Ne rend pas compte :
• du freinage visqueux d’un corps ou d’un fluide (voiture économique !)
• de l’amortissement des ondes (vagues, acoustiques, ...)
• de la nécessité de pomper un fluide
Validité ?
Validité fluide parfait
• Ecoulements externes :
Nombre de Reynolds
Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite)
(cf. cours 9)
Si Re << 1, totalement invalide,
à traiter par théorie écoulements rampants.
(cf. cours 7, 8)
• Ecoulements en conduite :
Fluide parfait applicable (Bernoulli) ...
avec correction pour pertes de charges
(cf. cours 6)
Conservation QDM en fluide parfait
Forme globale
d
dt
òòòrv dV = - òò rv (v.n) dS + òòò rg dV + òò -pn dS
V
Variation de QDM
du fluide
dans le volume V
Forme locale
S
QDM transportée
par le fluide
rentrant - sortant
S
V
Poids
Pression
Equations d’Euler
Fluide parfait incompressible
Incompressible
Parfait
Equations locales :
Masse
QDM
Une grande simplification est
possible :
Loi de Bernoulli
Loi de Bernoulli : démonstration
On suit une ligne de courant : dM // v => (rot v  v) . dM = (v  dM) . rot v = 0
v
2
v
M
1
dM
v
v
¶v
=0
On suppose régime permanent =>
¶t
On projette la conservation QDM sur la ligne de courant
r0 ( grad v2/2 + rot v  v) . dM = (r0g - grad p) . dM
De plus, on peut écrire g = grad (-gz)
si z orienté vers le haut
grad (r0 v2/2 + p + r0gz) . dM = 0
r0 v12/2 + p1 + r0gz1 = r0 v22/2 + p2 + r0gz2
Loi de Bernoulli : énoncé
Sous les hypothèses :
• Fluide parfait
• Fluide incompressible
• Régime permanent
Il existe une version en compressible
Peut être généralisé en instationnaire
dans quelques cas rares (cf. TD)
La quantité p + rv2/2 + rgz est constante le long d’une ligne de courant
Energie potentielle
de pression
Energie cinétique
Energie potentielle
de pesanteur
Traduit la conservation de l’énergie mécanique
A retenir pour les TDs fluide parfait.
Fluide parfait incompressible :
Formule de Bernoulli :
p + rv2/2 + rgz = Cte le long d’une ligne de courant
Ecoulements unidirectionnels
(démontré ultérieurement)
Dans la direction transverse à un écoulement unidirectionnel,
la pression varie de façon hydrostatique.
Conditions aux limites en pression :
Aux points de contact entre un écoulement et l’atmosphère,
la pression vaut patm.