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Réponses temporelles des
circuits électriques
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© Metz Avril 02
Cours de Michel METZ
plan général
Réponses temporelles des circuits électriques
•
Introduction :
–
bienvenue
–
démarche pédagogique
–
objectifs du cours
–
conseils d'utilisation
–
position du problème
•
Chapitre 1 :
les outils
•
Chapitre 2 :
les circuits du 1er ordre
•
Chapitre 3 :
les circuits du 2ème ordre
•
Glossaire
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Bienvenue
Ce cours correspond à une approche très physique des Régimes Transitoires des circuits
électriques.
Il a été développé pour répondre le plus simplement possible à des problèmes posés dans le
cadre de l'étude des Convertisseurs Statiques, au sein d'une équipe d'enseignants-chercheurs
du LEEI de l'ENSEEIHT/INPT, animée par le professeur Henri FOCH.
Cette équipe a notamment réalisé pour les Techniques de l'Ingénieur plusieurs fascicules
couvrant une partie importante de l'Electronique de Puissance (Ref. D3151==>D3177)
Ce cours correspond plus précisément à la version moderne revue et augmentée des
fascicules (Ref. D3151, D3156 et D3158).
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Démarche pédagogique
Le support de formation a été conçu dans le cadre de la « pédagogie par objectifs ».
Il repose sur un cours à plusieurs niveaux et des exercices représentatifs de l’ensemble du savoir et
savoir-faire à acquérir.
Le 1er niveau de cours est nécessaire à la réalisation de ces exercices.
Le 2ème niveau correspond à des approfondissements accessibles via des liens hypertextes : ils ne sont
pas indispensables en 1ère lecture mais permettent d’acquérir une vision plus globale de la discipline
proposée.
Chaque exercice est associé à 2 autres de même type de façon à proposer :
– 1 exercice avec correction complète et des remarques d’ordre méthodologique ou conceptuel
– 1 exercice avec aide et solution brute
– 1 exercice à rendre
Cette approche progressive devrait vous permettre d’acquérir une assez grande autonomie…
Et n’oubliez pas que vous pouvez toujours contacter votre tuteur via la plate-forme de diffusion (mail,
forum…) !
Les objectifs de ce support de formation sont indiqués sur la page suivante « objectifs du cours »
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plan général
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0bjectifs du cours
L'objectif général de ce cours est de savoir déterminer les réponses
temporelles des circuits électriques à partir des informations que l'on peut
obtenir par des considérations physiques simples.
•
Les objectifs du 1er chapitre sont :
– de comprendre les notions de condition initiale, de régime libre et de régime permanent
– de savoir utiliser les circuits équivalents qui leur sont associés.
•
Les objectif du 2ème chapitre sont :
– de savoir trouver les régimes permanents correspondant à divers types d'excitations
– de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1er chapitre pour déterminer
complètement les réponses des circuits électriques du 1er ordre.
•
Les objectifs du 3ème chapitre sont :
– de connaître et de savoir utiliser la représentation dans le plan d'état
– de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1 er chapitre pour déterminer
complètement les réponses des circuits électriques du 2 ème ordre.
– de savoir analyser des circuits comprenant interrupteurs et éléments réactifs
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plan général
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Conseils d'utilisation
La navigation se trouve dans la barre grisée située au bas de chaque page.
D'une façon générale elle permet l'accès aux pages précédente et suivante, au plan général ainsi qu'au plan
du chapitre. Elle permet aussi l'accès aux exercices et à leur solution.
Elle disparaît lorsque il y a une animation et réapparaît à la fin de celle-ci.
Le bouton
clic
qui apparaît sur certaines pages, indique en fait que ces pages ne sont pas terminées.
Il suffit alors de cliquer dessus pour progresser dans la page.
Les liens hypertexte permettent une connexion directe sur des pages précises. Ils apparaissent en bleu
souligné avant d'avoir été visités et en gris-bleu souligné après.
Le glossaire comprend tous les termes qui ont fait l'objet d'un lien hypertexte. Chaque nom renvoie à la
page ou ces termes sont explicités. Sur cette page, le bouton "retour" renvoie à la page où ce terme a été
utilisé pour la première fois.
Pour sortir de l'application, appuyer sur la touche Echap (ou Esc)
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plan général
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Position du problème
•
Lorsque l'on veut voyager et trouver un bon itinéraire, on prend une carte et on se pose en général
trois questions :
Où est-on ?
•
Comment y va-t-on ?
Où va-t-on ?
Pour savoir comment évolue une grandeur dans un circuit électrique (son itinéraire ! ) , il faut se
poser le même type de questions :
–
d'où vient-elle ? : problème des conditions initiales
–
où va-t-elle ? : problème des régimes permanents (ou régimes forcés)
–
comment y va t-elle ? : problème des régimes transitoires
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Position du problème : exemple
•
A titre d'exemple, pour connaître l'évolution du courant dans le filtre d'un convertisseur continucontinu, il faut pouvoir répondre aux trois questions :
–
–
–
quelle est la condition initiale ?
quel est le régime permanent ?
comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le
régime transitoire ?
Régime permanent
Régime transitoire
Condition initiale
•
C'est ainsi que vous procéderez pour trouver les réponses temporelles des circuits électriques : vous
serez ainsi capables pour les grandeurs considérées, de déterminer leur expression analytique et de
décrire leur représentation graphique.
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plan général
Chapitre 1 : les outils
• Introduction
• Conditions initiales
Exercices
• Systèmes linéaires
– Régime libre
Exercices
– Régime permanent
Exercices
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plan général
Introduction chapitre 1
•
La détermination des réponses des circuits électriques repose sur
–
les équations des branches : i  C dv / dt , v  L di / dt , v  Ri
–
les lois de Kirchhoff :
 v  0,  i  0
qui conduisent à un système d'équations différentielles.
•
La résolution peut être effectuée par la transformée de Laplace ou en résolvant directement ce
système différentiel. Mais dans bien des cas, on peut obtenir des résultats plus rapides en utilisant des
circuits équivalents. Les outils développés ici concernent précisément ces circuits équivalents.
•
Ainsi seront établis successivement :
– les circuits équivalents instantanés
– les circuits équivalents du régime libre
– les circuits équivalents continus
•
Ils seront présentés à partir du même circuit très classique
de la figure ci-contre :
C
R1
e(t)
R2
s(t)
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plan général
plan du chapitre
Conditions initiales
La condition initiale d'une grandeur électrique est la valeur que prend cette grandeur à l'instant initial
(symbolisé communément par t = 0+ ). Cette valeur peut être égale à celle qu'elle possédait avant l'instant
initial, mais cette propriété n'est vraie a priori que pour certains types de variable.
Deux cas sont à envisager :
• la grandeur est une variable liée à l'énergie, telle que vC (tension dans un condensateur) ou iL (courant
dans une inductance). Comme cette grandeur ne peut pas subir de discontinuité, on peut affirmer que sa
valeur à l'instant t = 0+ est identique à celle qu'elle avait juste avant cet instant :
x ( 0 )  x ( 0 )
ainsi, il suffit de connaître x(0-) pour connaître x(0+). Cela signifie aussi, que l'on peut imposer la
valeur de la condition initiale en pré-chargeant l'élément à la valeur voulue.
• la grandeur n'est pas a priori une variable liée à l'énergie (tension inductance, courant condensateur,
tension ou courant dans une résistance…) ; on dit qu'il s'agit d'une variable secondaire. La valeur qu'elle
prend à l'instant initial n'est en général pas égale à celle qu'elle avait avant l'instant initial :
x ( 0 )  x ( 0 )
(en général)
la simple connaissance de x(0-) ne suffit plus alors pour déterminer x(0+). Avant de montrer comment y
parvenir, nous illustrons ce problème avec un exemple très simple.
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plan général
plan du chapitre
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Conditions initiales
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est
préchargé à v0
iR
E
R
C
Déterminons les valeurs des variables vC et iR avant et après
fermeture de l'interrupteur.
vC
précharge v0
• vC est une variable liée à l'énergie et ne peut donc pas subir de discontinuité, donc :
vC ( 0  )  v 0
• iR n'est pas une variable liée à l'énergie. Il faut donc déterminer les deux valeurs qu'elle prend avant et
après fermeture de l'interrupteur
•avant fermeture (instant t = 0-) : l'interrupteur étant ouvert, le courant ne peut être que nul
•après fermeture (instant t = 0+), la tension condensateur est égale à v0, doù :
i R ( 0 )  0
i R ( 0  )   E  v0  / R
Remarques :
• la valeur de iR (0+) est différente de celle de iR (0-) ; cette valeur de iR (0+) dépend en effet de l'ensemble
du système : condition initiale v0 , source de tension E, topologie du circuit. Cela signifie que l'on ne peut
pas imposer directement de condition initiale sur la variable secondaire iR, alors qu'on a pu le faire pour la
variable principale vC.
• Pour calculer iR (0+), nous avons implicitement remplacé le condensateur par une source de tension égale
à v0. Lorsque les circuits sont un peu plus compliqués, on peut systématiser la procédure en utilisant les
"circuits équivalents instantanés". Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes.
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plan du chapitre
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Circuits équivalents instantanés
Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de
discontinuité :
• un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se
comporte donc comme une source de tension "instantanée"
• une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se
comporte donc comme une source de courant "instantanée"
Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous :
clic
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Circuits équivalents instantanés
Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de
discontinuité :
• un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se
comporte donc comme une source de tension "instantanée"
• une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se
comporte donc comme une source de courant "instantanée"
Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous :
• Un condensateur préchargé à v0...
est équivalent à une source de tension d'amplitude v0
=>
v0
v0
• Une inductance préchargée à i0...
=>
est équivalente à une source de courant d'amplitude i0
i0
i0
=>
Cas
particuliers
Court-circuit
v0 = 0
=>
Circuit ouvert
i0 = 0
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plan général
plan du chapitre
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Circuits équivalents instantanés (exemple)
précharge v0
C
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) :
R1
e(t)
s(t)
R2
e(t)
E
0
t
clic
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Circuits équivalents instantanés (exemple)
précharge v0
C
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
R1
e(t)
e(t)
E
Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) :
t
0
•
s(t)
R2
Pour cela, nous reprenons le même circuit...
et nous remplaçons le condensateur...
R1
E
R2
s(0+)
clic
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Circuits équivalents instantanés (exemple)
précharge v0
C
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
R1
e(t)
e(t)
E
Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) :
t
0
•
s(t)
R2
v0
Pour cela, nous reprenons le même circuit...
et nous remplaçons le condensateur...
par une source de tension d'amplitude v0
R1
•
Nous constatons alors que l'on a simplement :
E
R2
s(0+)
s ( 0  )  E  v0
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plan général
plan du chapitre
Exercices sur les condition initiales
Exercice 1
solution
On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une
source de tension constante.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les
conditions initiales sont les suivantes :
• courant I20 dans l'inductance L2
• tension VC0 aux bornes du condensateur C
R1
K
R2
E
iL2
vC
R
L2
Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC et du
courant iC.
Exercice 2
iL1 L1
aide
On considère le circuit de la figure ci-contre. Les
condensateurs C1 et C2 sont respectivement préchargés à
9V et 8V avant l'instant t = 0.
9V
C1
2
L
v
Donner à l'instant t = 0+ l’expressions de la tension v
Même question lorsqu’on remplace le condensateur C1 par
une inductance L parcourue par un courant de 2A dans le
sens indiqué sur la figure.
2A
2
6
v
C2
3
6
C2
3
8V
8V
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plan général
plan du chapitre
>>
Exercices sur les condition initiales
R1
Exercice 3
On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une
source de courant constante.
A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K alors que la
condition initiale du courant dans l’inductance L2 est égale
à I20.
1 Préciser quelles doivent être obligatoirement les
conditions initiales des grandeurs iL1 et vC
I
iL1 L1
R2
K
iL2
vC
R
L2
2
Donner à l'instant t = 0+ les expressions de iL1, iL2, vC
du courant iC et de la tension vL2.
À rédiger et à rendre
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plan général
plan du chapitre
Solution condition initiales
énoncé
Exercice 1
R1
iL1, iL2, et vC sont des variables liées à l'énergie.
Elles ont donc pour valeur à l'instant t = 0+ celle qu'elles
avaient juste avant la fermeture de l'interrupteur K, soit :
i L1 ( 0  )  0

i L 2 (0 )  I 20
vC ( 0 )  VC 0
R2
E
iL2 (0+) VC0
R
iC(0+)
Pour iC(0+) il faut utiliser le circuit équivalent instantané
de la figure ci-contre...
On trouve alors :
iC (0 )   I 20  VC 0 / R
Remarque: la résistance R2 a été supprimée car elle se trouve en série avec une source de courant dont, par
définition, l'impédance est infinie. Elle n'intervient donc pas sur la répartition des courants et des tensions
relatifs aux autres éléments du circuit à l'exception de la tension relative à cette source.
De même la résistance R qui se trouve en parallèle sur une source de tension, n'a d'influence que sur le courant
débité par cette source de tension. Si cette résistance R n'a pas été supprimée, c'est parce que l'on demande
précisément ce courant iC(0+).
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plan général
plan du chapitre
Aide condition initiales
9V
Exercice 2
Il faut remplacer les condensateurs par des sources de
tension de même amplitude et de même sens que les
conditions initiales.
On applique alors le théorème de Millman et on obtient :
2
C1
6
v
C2
A
3
8V
v (0 )  7V
2A
On procède de la même façon avec le 2ème circuit.
La résistance de 3 se trouve en série avec la source de
courant équivalente de l’inductance : elle est donc
supprimée. On trouve alors en utilisant encore le théorème
de Millman :
v (0 )  3V
énoncé
2
L
6
v
C2
3
A
8V
Remarque: pour l’écriture du théorème de Millman, il faut compter positivement les sources orientées comme la
grandeur que l’on cherche (ici vers le nœud A).
Ainsi, dans la 1ère question les 2 sources de tension sont comptées positivement puisqu’elles sont toute les deux
orientées vers le nœud A.
Dans la 2ème question, la source de tension sera encore comptée positivement, alors que la source de courant sera
comptée négativement.
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plan général
plan du chapitre
Liens conditions initiales
retour
Variables liées à l'énergie :
Dans le cadre des circuits électriques, l'énergie prend deux formes :
• énergie électromagnétique : 1/2 LiL2
• énergie électrostatique : 1/2 CvC2
la propriété de continuité de la variable énergie (puissance finie), se transmet aux variables
électriques iL et vC que l'on désigne sous le nom de variables liées à l'énergie.
==> résultat très important : les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité
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Systèmes linéaires
Les circuits électriques que nous étudions ici sont des circuits linéaires à constantes localisées et sont donc
régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ils appartiennent ainsi à la
grande famille des systèmes linéaires que l'on retrouve dans tous les domaines de la physique. Ils
bénéficient évidemment de leurs propriétés générales.
Les propriétés fondamentales des systèmes linéaires :
–
la connaissance des variables d'état à un instant donné permet de déterminer l'évolution du
système à tout instant. Le nombre de variables d'état définit l'ordre de complexité du système et
correspond en particulier au nombre minimal de variables qu'il faut suivre simultanément.
–
toute variable est la somme de deux termes :
x(t )  x f (t )  xl (t )
• xl(t) est la solution de l'équation différentielle homogène (sans second membre) et tend
donc toujours vers zéro : elle correspond au régime libre.
• xf(t) est la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre : elle
correspond au régime permanent ou plus généralement au régime forcé.
–
Nous illustrons cette propriété fondamentale sur un exemple que nous étudierons complètement
par la suite
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plan général
plan du chapitre
>>
Systèmes linéaires
k
Par exemple dans le cas d'un circuit RL que
l'on connecte à une source de tension
sinusoïdale v(t) à l'instant t0, on trouve :
R
L
v(t)
i(t)
le régime permanent if(t), qui est un courant
sinusoïdal déphasé arrière
i(t)
le régime libre il(t), qui est une exponentielle
commençant à l'instant t0 et tendant vers 0...
il(t)
0
le courant i(t) qui est la somme de ces 2
composantes if(t) et il(t).
t
t0
if(t)
v(t)
Constatons sur cet exemple les résultats généraux dus à la relation x(t )  x f (t )  xl (t )
–
Toute variable tend vers son régime permanent, ce qui se produit lorsque son régime libre s'est
annulé (tant que le régime libre n'est pas nul, on se trouve en régime transitoire).
–
La connaissance des deux termes xf(t) et xl(t), permet donc de déterminer à la fois le régime
permanent et le régime transitoire.
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plan général
plan du chapitre
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Systèmes linéaires (fin)
•
Rappel du problème
Nous avons vu (position du problème) qu'il fallait savoir répondre aux trois questions :
–
quelle est la condition initiale ?
–
quel est le régime permanent ?
–
comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le
régime transitoire ?
•
Nous constatons alors que la théorie des systèmes linéaires permet de répondre aux questions
concernant le régime permanent et le régime transitoire. Il faut évidemment pour cela que l'on sache
effectivement déterminer les deux composantes xf(t) et xl(t). Tel est l'objet des deux prochains souschapitres.
•
Si l'on ajoute les résultats du sous-chapitre précédent concernant les conditions initiales (question 1),
on peut considérer que le problème est virtuellement terminé.
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plan général
plan du chapitre
Liens systèmes linéaires (1)
Circuits linéaires à constantes localisées
retour
Ce sont des circuits uniquement composés d'éléments discrets linéaires tels que les
résistances, les condensateurs, les inductances...
Variables d'état
• Les variables d'état contiennent à chaque instant une information complète sur l'état énergétique d'un système.
Dans une première approche, on peut considérer qu'elles s'identifient aux variables liées à l'énergie.
• Les variables d'état doivent par ailleurs, constituer un ensemble de variables indépendantes
Dans les circuits électriques, il existe deux types de relations de dépendance :
• les mailles capacitives
• les coupures inductives
De façon pratique : pour un circuit électrique donné, on prend toutes les tensions condensateur moins une par maille
capacitive et tous les courants inductance moins un par coupure inductive.
Ordre de complexité d'un système
L'ordre de complexité d'un système, que l'on appelle plus simplement "ordre d'un système" peut être défini de plusieurs façons
équivalentes :
• il est égal au nombre de variables d'état, c'est à dire au nombre d'éléments réactifs moins le nombre de mailles capacitives,
moins le nombre de coupures inductives
• il est égal au nombre de conditions initiales que l'on peut effectivement imposer. Cette deuxième approche, plus physique,
repose sur les considérations suivantes :
* on ne peut imposer de condition initiale que sur les variables liées à l'énergie, c'est à dire dans les éléments réactifs
* dans une maille capacitive (coupure inductive), la relation de dépendance entre les n tensions condensateur (courants
inductance) est également valable pour les conditions initiales : si n - 1 conditions initiales sont imposées, la nième résulte
forcément des autres et ne peut donc être imposée, donc :
Ordre = néléments réactifs - nmailles capacitives - ncoupures inductives
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Liens systèmes linéaires (2)
retour
Régime permanent et régime forcé
Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est
atteint lorsque le régime libre s'est annulé.
Le terme "régime permanent" fait implicitement référence à un régime continu ou périodique comme c'est le cas
par exemple lorsque l'excitation est continue, sinusoïdale, rectangulaire…
Dans le cas où l'excitation n'est pas périodique (en forme de rampe par exemple), la solution particulière peut
exister mais elle ne peut être ni périodique ni même bornée.
Le terme "régime permanent" ne convient plus ; on utilise alors celui de "régime forcé". On peut parler
également de "régime attractif".
On retiendra que le terme "régime forcé" est utilisé dans le même sens que "régime permanent" mais correspond
à une notion plus générale.
De façon pratique, on utilisera dans ce cours le terme "régime permanent" le plus souvent possible, parce que
cela correspond à l'usage le plus répandu. Nous utiliserons le terme "régime forcé" uniquement lorsque cela sera
nécessaire, dans les cas où il n'y a pas de régime permanent (voir Ch. 2 : Réponse à une rampe).
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Liens systèmes linéaires (3)
retour
Mailles capacitives
Une maille capacitive est une maille dans laquelle il n'y a que des sources de tension et des condensateurs.
Dans l'exemple présenté sur la figure, la maille matérialisée par la flèche est effectivement une maille capacitive.
La loi des mailles s'écrit alors :
v - vC1 - vC2 = 0
vC1
et constitue donc une relation de dépendance entre les deux variables vC1 et vC2.
L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état,
l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.
v
vC2
On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve
évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie.
On notera également qu'une résistance série de très faible valeur dans cette maille suffit à lui retirer son caractère
"capacitif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une
"astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation.
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Liens systèmes linéaires (4)
retour
Coupures inductives
1) qu'est-ce qu'une coupure ?
Rappelons q'une maille est constituée par un ensemble de branches pour lesquelles on a :  v
=0
Par dualité, on est amené à définir ce que l'on appelle une coupure constituée d'un ensemble de branches pour lesquelles on a :  i
i4
Considérant le graphe d'un circuit de la figure ci-contre, il est facile de voir que
l'on a : i1 + i2 + i3 = 0 C'est la classique loi des nœuds.
Mais on voit aussi que l'on a : i1 + i4 + i5 = 0 (Système isolé)
Ainsi les 3 branches 1,4 et 5 constituent une coupure. L'ensemble des branches liées à un nœud
n'est en fait qu'un cas particulier d'une coupure.
De façon pratique, pour trouver une coupure, il suffit de tracer une ligne fermée entourant au moins
un nœud (figure ci-contre). Les branches traversées par cette ligne constituent une coupure.
Ainsi la ligne a définit une coupure à 3 branches qui n'est qu'un nœud. La ligne b définit une
coupure à 3 branches, la ligne c une coupure à 4 branches. Il y en a beaucoup d'autres !
=0
i2
i3
i1
i5
a
b
c
2) coupures inductives
Une coupure inductive est une coupure constituée uniquement de sources de courant et d'inductances
Dans l'exemple présenté sur la figure, la coupure matérialisée par la ligne en pointillé est effectivement
une coupure inductive. On a alors : j + iL1 + iL2 = 0
ce qui constitue une relation de dépendance entre les deux variables iL1 et iL2.
L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état,
l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire.
iL1
j
On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve
évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie.
iL2
On notera également qu'une résistance de très forte valeur en parallèle sur les branches de cette coupure, suffit à lui retirer son caractère
"inductif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment
utilisée dans les logiciels de simulation.
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Régime libre
•
Rappelons que le régime libre xl(t), correspond à l'équation différentielle sans second membre, c'est à
dire au système sans excitation.Il tend toujours vers zéro.
– sur le plan des circuits électriques, le régime libre correspond donc au circuit sur lequel on a
effectué les modifications suivantes :
• les sources de tension ont été remplacées par des court-circuits
• les sources de courant ont été remplacées par des circuits ouverts
on dit alors que l'on a rendu le circuit passif.
•
Pour connaître entièrement le régime libre, il faut répondre aux trois mêmes questions, c'est à dire,
déterminer sa condition initiale, son régime permanent, et son évolution entre les deux.
–
le régime libre xl(t) tendant toujours vers 0, son régime permanent est donc toujours nul
xl   0
–
la condition initiale xl(0+) est en général différente de la condition initiale de la variable
considérée x(0+) Elle se détermine par identification à l'instant t = 0+ :
x(0 )  x f (0 )  xl (0 )
…ce qui suppose que l'on puisse connaître xf(0+) .
30
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plan général
plan du chapitre
>>
Régime libre (suite)
–
l'évolution du régime libre xl(t) à partir de sa condition initiale xl(0+) , n'est liée qu'aux constantes
propres du système que sont les constantes de temps, les pulsations et les amortissements. Le
nombre de ces constantes propres est exactement égal à l'ordre du système :
• ordre 1 : 1 constante de temps………….
• ordre 2 : 2 constantes de temps ou 1 pulsation et 1 amortissement
• ordre 3 : comme ordre 2 plus une autre constante de temps, etc…
==> la détermination de ces constantes propres peut donc s'effectuer à partir uniquement du
régime libre. Pour cela, il suffit de rendre le circuit passif. On fait alors apparaître ce que nous
appelons le "circuit équivalent du régime libre". Nous en montrons un exemple d'utilisation
dans les pages suivantes.
Remarques :
–
les constantes propres sont identiques pour toutes les variables d'un système donné. Ainsi ces
variables auront toutes les mêmes constantes de temps, les mêmes pulsations de résonance, les
mêmes amortissements…
–
la condition initiale xl(0+) est la seule valeur du régime libre qui dépende de l'ensemble du système
(conditions initiales, sources, topologie du circuit). Elle fait partie de ce que l'on appelle les
constantes indéterminées. On trouve d'autres constantes indéterminées dans les régimes
permanents (voir sous-chapitre "régimes permanents")
31
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plan général
plan du chapitre
>>
Circuit équivalent du régime libre (exemple)
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
C
et déterminons ses constantes propres
–
–
1er
Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du
ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule
constante de temps t à trouver.
e(t)
R1
R2
s(t)
R2
s(t)
C
Nous reprenons le même circuit….
et cherchons le circuit équivalent du régime
libre, en remplaçant la source de tension...
e(t)
R1
clic
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<<
Circuit équivalent du régime libre (exemple)
Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
C
et déterminons ses constantes propres
–
–
1er
Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du
ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule
constante de temps t à trouver.
R1
e(t)
R2
s(t)
R2
s(t)
C
Nous reprenons le même circuit….
et cherchons le circuit équivalent du régime
libre, en remplaçant la source de tension...
R1
par un court-circuit
–
–
Nous constatons que les deux résistances R1 et R2
sont en parallèle. Le circuit se réduit donc à une
résistance unique R1 // R2 et au condensateur C.
R1 //
R2
La constante de temps t s'écrit alors :
τ  R1 // R2  C 
C
R1 R2  C
R1  R2
33
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plan général
plan du chapitre
Exercices sur le régime libre
Exercice 1
solution
R3
On considère le circuit de la figure ci-contre. Les deux
sources sont des sources de tension.
Déterminer les constantes propres du système :
• lorsque K est ouvert
• lorsque K est fermé
Exercice 2
R1
C
R2
v
K
R4
v'
aide
On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une
source de tension et I est une source de courant.
Le système est très peu amorti. Déterminer la pulsation de
résonance :
• lorsque K est ouvert
• lorsque K est fermé
Déterminer le rapport de ces deux pulsations lorsque
L1 = L2 et C1 = C2 .
L1
C1
E
I
K
C2
L2
34
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plan général
plan du chapitre
>>
Exercices sur le régime libre
Exercice 3
R1
On considère le circuit de la figure ci-contre.
Déterminer sa constante de temps.
La source de tension v est remplacée par une source de
courant.
Quelle est la nouvelle constante de temps.
v
C1
I
R2
C2
La source de courant I est remplacée par une source de
tension.
Quelle est la nouvelle constante de temps
À rédiger et à rendre
35
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plan général
plan du chapitre
Solutions régime libre
énoncé
Exercice 1
R3
Nœud B
On remplace les deux sources de tension par des court-circuits (Fig. 1)
On s'aperçoit alors que les résistances R1 et R2 sont en parallèle. Bien
que cela soit moins évident à voir, il en est de même des résistances R3
et R4 puisqu'elles sont reliées au mêmes nœuds (nœud A et nœud B)
R1
R2
Redessiné, le circuit devient celui de la figure 2.
On trouve alors :

soit : τ   R1 R2  R3 R4  C
R R R R 
2
3
4 
 1
C Nœud B
Fig 2
On vérifiera que lorsque l'interrupteur K est fermé, il court-circuite
l'ensemble R3 et R4
la constante de temps devient alors :
t
R4
Nœud A
τ  R1 //R2  R3 //R4 C

C
Fig 1
R1
R2 R4
R3
Nœud A
R1 R2
C
R1  R2
36
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plan général
plan du chapitre
Aide régime libre
énoncé
Exercice 2
L1
On remplace la source de tension par un court-circuit et la source de
courant par un circuit ouvert.
On constate alors que les 4 éléments L1 , L2 , C1 et C2 sont en série.
On est donc ramené à un circuit LC série avec :
C1
E
I
K
L  L1  L2
CC
C 1 2
C1  C 2
C2
L2
On obtient alors :

1

LC
C1  C 2
L1  L2  C1C 2
Si on ferme l’interrupteur K, on obtient :
'
1
L1  L2  C1
lorsque L1 = L2 et C1 = C2, le rapport de ces deux
pulsations devient :
  ' 2
Remarque : les sources que l’on voit apparaître dans ce type de
circuit ne sont pas nécessairement de « vraies » sources. Elles ne
sont souvent que des condensateurs ou des inductances de forte
valeur : leur variable principale (vC ou iL) ne varient que très
lentement et sont donc considérées comme des sources vis à vis
des phénomènes rapides.
Dans l’exemple traité (bras d’onduleur), la source de courant I est
typiquement une inductance de 100 à 1000 fois plus grande que L1
ou L2 .
37
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plan général
plan du chapitre
Liens régime libre
retour
Circuit Passif
Dans un circuit électrique rendu passif, on a supprimé les excitations : l'amplitude de la tension des sources de tension ainsi que l'amplitude du courant des
sources de courant devient nulle. Par contre, la nature de ces sources (impédance nulle pour une source de tension, impédance infinie pour une source de
courant) se conserve.
Ainsi :
• une source de tension est remplacée par un court-circuit :
• une source de courant est remplacée par un circuit ouvert :
=>
Court-circuit
=>
Circuit ouvert
Il faut éviter de dire et surtout de faire :
• on court-circuite les sources de tension,
• on ouvre les sources de courant.
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38
Liens régime libre
retour
Constantes propres, constantes indéterminées
•
Les constantes propres d'un circuit (constantes de temps, pulsations, amortissements) sont identiques pour l'ensemble des variables de ce circuit. Elles
ne dépendent que de ses éléments constitutifs et de leur agencement. Elles sont indépendantes des conditions initiales et des sources (seule la nature source
de V ou source de I intervient). Elles sont accessibles dans le circuit équivalent du régime libre.
•
Les constantes indéterminées dépendent des variables choisies. Elles se calculent à partir des conditions initiales et des valeurs trouvées dans les
régimes permanents.
Exemple : dans l'expression générale d'un circuit du 2ème ordre excité par une grandeur sinusoïdale :
x  (A cosω0 t  B sin ω0 t)e
t
τ
 C sin (ω1t  j)
0 et t sont les constantes propres, alors que A, B, C, et j, sont des constantes indéterminées.
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39
Régime permanent
Le régime permanent (ou forcé) ou xf(t ) correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec
second membre.
Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé.
Les résultats généraux les plus connus concernant les régimes permanents (ou forcés) sont rappelés cidessous :
excitation continue
excitation sinusoïdale
excitation polynomiale
régime permanent continu
régime permanent sinusoïdal
régime forcé polynomial
Nous verrons dans le deuxième chapitre, des exemples d'excitations sinusoïdales et polynomiales.
Mais dans le cadre de ce chapitre général sur les outils, il est intéressant de présenter "les circuits
équivalents continus", qui sont particulièrement utiles dans le cas des excitations continues ou continues par
morceaux telles que les excitations rectangulaires ; ils peuvent être également utilisés lorsque les sources sont
lentement variables sur l'horizon temporel considéré (voir chapitre 3).
Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes.
Remarques :
• la "recopie" des excitations dans les régimes permanents (ou forcés) n'est pas une propriété générale.
Elles est vraie pour certaines excitations élémentaires comme celles rappelées ci-dessus. Elle est fausse
par exemple dans le cas d'excitation en créneaux (voir chapitre 2).
• Le terme "continu" est ici strictement équivalent à "constant". Il n'a rien à voir avec la continuité des
fonctions.
40
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plan du chapitre
>>
Circuits équivalents continus
Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base :
iC  C
dvC
dt
vL  L
diL
dt
Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement
nulles, ainsi :
• en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert
• en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit
Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous :
clic
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Circuits équivalents continus
Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base :
iC  C
dvC
dt
vL  L
diL
dt
Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement
nulles, ainsi :
• en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert
• en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit
Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous :
• en continu un condensateur...
Circuit ouvert
est équivalent à un circuit ouvert
• en continu une inductance...
est équivalente à un court-circuit
Court-circuit
42
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plan général
plan du chapitre
>>
Circuits équivalents continus (exemple)
précharge v0
C
Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf :
R1
e(t)
s(t)
R2
e(t)
E
0
t
clic
43
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<<
Circuits équivalents continus (exemple)
précharge v0
C
Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
R1
e(t)
e(t)
E
Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf :
t
0
•
s(t)
R2
Pour cela, nous reprenons le même circuit...
et nous remplaçons le condensateur...
R1
E
R2
sf
clic
44
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<<
Circuits équivalents continus (exemple)
précharge v0
C
Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
R1
e(t)
e(t)
E
Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf :
t
0
•
s(t)
R2
Pour cela, nous reprenons le même circuit...
et nous remplaçons le condensateur...
par un circuit ouvert
•
Nous constatons alors que l'on a simplement :
R1
E
R2
R2
sf  E
R1  R2
sf
On remarquera que la condition initiale n'intervient pas dans le régime permanent : c'est une propriété générale des systèmes linéaires
45
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plan général
plan du chapitre
Exercices sur les circuits équivalents continus
Exercice 1
R1
solution
On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une
source de tension constante.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que les
conditions initiales sont les suivantes :
• courant I20 dans l'inductance L2
• tension VC0 aux bornes du condensateur C
K
iL1 L1
R2
E
iL2
vC
R
L2
Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en
régime permanent.
Exercice 2
aide
vC1
On considère le circuit de la figure ci-contre.
L’interrupteur K est fermé l'instant t = 0.
C1
On remplace le condensateur C1 par une inductance L.
Calculer les valeurs des tensions vC1, v et du courant iL en
régime permanent.
2
L
v
Calculer les valeurs des tensions vC1, vC2 et v en régime
permanent.
iL
2
6
v
6
C2
3
11V
C2
3
vC2
K
11V
vC1
K
46
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plan général
plan du chapitre
>>
Exercices sur les circuits équivalents continus
R1
Exercice 3
On considère le circuit de la figure ci-contre. I est une
source de courant constante.
A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K.
Donner les expressions de iL1, iL2, vC et du courant iC en
régime permanent.
I
iL1 L1
R2
K
iL2
vC
R
L2
À rédiger et à rendre
47
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plan général
plan du chapitre
Solution circuits équivalents continus
énoncé
Exercice 1
R1
En remplaçant le condensateur par un circuit ouvert et les
inductances par des court-circuits, on obtient le circuit de
la figure ci-contre.
K
Le théorème de Millman permet d'écrire directement la
tension vCf :
vCf
E
R1

1
1 1


R1 R2 R
iL1f
R2
E
vCf
R
iL2f
Puis, à partir des expressions :
i L1 f 
E-vCp
iL2 f 
vCf
R1
ou
i L1 f
vCf 
E

R1  R//R2
on obtient finalement :
R2
Remarque : pour donner l’expression de la
tension vCf , on aurait également pu utiliser les
diviseurs de tension, en prenant bien soin de
considérer toutes les impédances en parallèle :
RR2 E
RR1  RR2  R1 R2
i L1 f 
iL2 f 
R  R2 E
RR1  RR2  R1 R2
RE
RR1  RR2  R1 R2
icf  0
vCf  E
R1
R1  R//R2
48
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plan général
plan du chapitre
Aide circuits équivalents continus
énoncé
Exercice 2
L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer les
condensateurs par des circuits ouverts.
En utilisant les diviseurs de tension, on obtient alors :
vC1
2
C1
v
C2
v C 1 f  9 V

v C 2 f  8 V

v  6 V
3
vC2
11V
L’interrupteur K étant fermé, il faut remplacer le
condensateur par un circuit ouvert et l’inductance par un
court circuit.
En remarquant que les résistances de 3 et 6  sont
shuntées par ce court circuit, on obtient alors :
i Lf  6,5A

vC 2 f  11V

v  0V
6
K
iL
2
L
v
6
C2
3
11V
vC1
K
49
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plan général
plan du chapitre
Chapitre 2 : réponse des circuits du 1er ordre
• Introduction
• Réponse à un échelon
Exercices
• Réponse à un signal sinusoïdal
Exercices
• Réponse à une rampe
Exercices
• Réponse à une excitation périodique
Exercices
– Réponse à une excitation rectangulaire
– Signaux périodiques et symétries
50
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plan général
Introduction chapitre 2
Expression générale d'une variable d'un circuit du 1er ordre
Rappelons l'expression d'une variable d'un système linéaire (cf. chapitre 1, systèmes linéaires) :
xt   x f t   xl t 
dans le cas d'un circuit du 1er ordre, la partie libre s'écrit pour t > 0 :
xl t   ke t/τ
- t est la constante de temps : c'est la seule constante propre du système que l'on retrouvera quelle que
soit la variable considérée. On sait la déterminer à partir du circuit équivalent du régime libre (cf.
Chapitre 1)
- k est une constante indéterminée qui sera calculée par identification au point 0 (Cf Chapitre 1, régime
libre) :
x0   x f 0   xl 0   x f 0   k
On peut alors en déduire l'expression générale pour t >0, de toute variable d'un circuit du 1er ordre :


xt   x f t   x 0   x f  0  e t/τ
cette expression convient si l'on s'intéresse à l'évolution de la variable à partir d'une action qui a lieu à
l'instant t = 0.
Par contre, si l'on s'intéresse à l'évolution de la variable à partir d'une action qui a lieu à l'instant t = t0, il
faut utiliser une expression plus générale, indiquée sur la page suivante.
51
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plan général
plan du chapitre
>>
Introduction chapitre 2
Expression générale d'une variable d'un circuit du 1er ordre
Si l'on s'intéresse au circuit du 1er ordre à partir d'une action qui a lieu à l'instant t = t0, l'exponentielle qui
caractérise son régime libre, n'existe qu'à partir de t = t0 et s'écrit :
xl (t)  k e
-
t-t0
τ
 
   



 

La constante k s'identifie alors à l'instant t = t0 : x t0  x f t0  xl t0  x f t0  k
Ce qui donne pour le régime libre :
     e

xl (t)  x t0 -x f t0

-
t-t0
τ
On peut alors en déduire l'expression générale de toute variable d'un circuit du 1 er ordre soumis à une
action à l'instant t = t0 :
     e
x(t)  x f  t   x t0 -x f t0


-
t-t0
τ
t  t0
52
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plan général
plan du chapitre
Réponse à un échelon
L'échelon correspond à une excitation continue à partir de l'instant t = t0 .
Le régime permanent est alors lui même continu (Cf. chapitre 1, régime permanent) :
excitation continue
régime permanent continu
xf (t ) est donc continu et nous pouvons écrire : xf (t ) = xf
     e
Dans ces conditions, pour toute variable l'expression générale : x  t   x f  t   x t0 -x f t0


-
t-t0
τ
se simplifie et s'écrit :
  

x(t)  x f  x t0 -x f e
-
t-t0
τ
Ainsi, pour déterminer l'évolution de la variable considérée, il suffit de connaître les 3 constantes x(0+), xf
et t , ce que nous avons appris à faire au chapitre 1 en utilisant les circuits équivalents.
Les exemples qui suivent montrent à quel point cette méthode est simple et sûre.
53
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un échelon (exemple)
précharge v0
C
Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
Nous rappelons ci-dessous les 3 circuits équivalents
correspondant à ce circuit (Cf. chapitre 1) :
R1
e(t)
s(t)
R2
e(t)
E
0
t
clic
54
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Réponse à un échelon (exemple)
précharge v0
C
Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre...
R1
e(t)
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0
e(t)
E
Nous rappelons ci-dessous les 3 circuits équivalents
correspondant à ce circuit (Cf. chapitre 1) :
t
0
Circuit équivalent instantané
Circuit équivalent du régime libre
v0
s(t)
R2
Circuit équivalent continu
C
R1
E
R2
s( 0 )  E  v0
s(0+)
R1
R1
R2
τ  (R1 // R2 )C

s(t)
( R1 R2 )C
R1  R2
E
R2
sf  E
sf
R2
R1  R2
55
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plan général
plan du chapitre
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Réponse à un échelon (exemple)
Ainsi, reportant les 3 constantes trouvées :
s0   E  v0
dans l'expression générale :
τ   R1 // R2  C
  
x  t   x f  x t0 - x f e

il vient, en tenant compte que t0 = 0 :

-
 R1 R2  C
R1  R2
sf  E
R2
R1  R2
t-t0
τ
t

R2
R2  - τ
e
s t   E
  E  v0 - E
R1  R2 
R1  R2 

 - τt
R2
R1
s t   E
E
 v0  e
R1  R2  R1  R2

ou encore :
On remarquera que ces expressions ont été obtenues sans calcul.
Sur les pages suivantes sont présentées les formes d’ondes
56
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un échelon (exemple)
Représentation graphique
Dans le cas des circuits du 1er ordre soumis à des échelons, une variable est toujours la somme d'une
exponentielle (régime libre) et d'une constante (régime permanent) : c'est donc encore une exponentielle
de même constante de temps.
clic
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Réponse à un échelon (exemple)
Représentation graphique
Dans le cas des circuits du 1er ordre soumis à des échelons, une variable est toujours la somme d'une
exponentielle (régime libre) et d'une constante (régime permanent) : c'est donc encore une exponentielle
de même constante de temps.
Ainsi, partant du point de condition initiale s(0+) ...
et arrivant sur le régime permanent sf...
il suffit de tracer l'exponentielle ayant la constante
de temps t du circuit étudié
Exponentielle (t )
sf
s(0+)
Ce tracé étant très facile, il est inutile de le décomposer en régime libre et régime permanent.
58
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Réponse à un échelon (exemple)
Compléments sur les tracés d'exponentielles
Quelques résultats très classiques mais aussi très
commodes...
La tangente à l'origine coupe le régime permanent à
t = t (sous-tangente = t )
Pour t = t , le signal a atteint 63% de son régime
permanent...
3t
t
95%
63%
Pour t = 3t , le signal a atteint 95% de son régime
permanent...
59
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plan du chapitre
Exercices sur les excitations en échelon
R1
Exercice 1
solution
On considère le circuit de la figure ci-contre.
L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le
condensateur a été préchargé à v0.
Déterminer l'expression de s(t).
R2
e(t)
s(t)
C
e(t)
E
t
0
Exercice 2
aide
On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de
tension constante d’amplitude 40V et C un condensateur de capacité
1nF.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que le condensateur C
est déchargé.
Déterminer l’expression générale de vC(t).
En supposant que l’on puisse faire l’approximation linéaire de
l’exponentielle, calculer les valeurs des résistances R1 et R2 pour que
vC(t) atteigne 4V en 500ns.
K
E
R1
R2
C
vC(t)
60
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plan général
plan du chapitre
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Exercices sur les excitations en échelon
Exercice 3
On considère le circuit de la figure ci-contre. E est une source de tension
constante.
1.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K alors que le
condensateur C est chargé à V0.
2.
A linstant t0, on ouvre cet interrupteur K. Déterminer les
expressions de i(t) et vC(t) dans les différentes séquences.
3.
Tracer leur forme d'ondes (on prendra pour cela V0 = 0, t0 = 8t,
R2 = 3R1).
R1
K
i(t)
E
R2
C
vC(t)
À rédiger et à rendre
61
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plan général
plan du chapitre
Solution excitations en échelon
énoncé
R1
Exercice 1
R2
Pour résoudre cet exercice, il suffit de
rechercher les 3 circuits équivalents
correspondant au circuit donné
e(t)
e(t)
E
s(t)
C
t
0
ces 3 circuits équivalents sont indiqués ci-dessous avec les expressions qui en découlent.
R1
R1
R2
E
s(0+)
R1
R2
R2
sf
E
v0
s0   v0  E  v0 
C
R2
R1  R2
sf  E
τ  R1  R2  C
(Pas de courant dans les résistances)
(diviseur de tension avec E - v0)
On obtient alors :

  τt
R2
s  t   E  v0   E  v0 
 E e
R1  R2


t

R1   τ
 E  v0  E 
e
R1  R2 

62
© Metz Avril 02
plan général
plan du chapitre
Aide excitations en échelon
énoncé
Exercice 2
K
R1
L’expression générale de vC(t) s’écrit :
E
t

 
R2 
t
1  e 
vC t   E

R1  R2 



t  R // R  C  R1 R2C
1
2

R1  R2

R2
C
vC(t)
En prenant l’approximation linéaire : e  x
x
vC t   E
Il vient :
R2 R1  R2
t
R1  R2 R1 R2C
vC t   E
t
R1C
Remarque : la résistance R2 s’élimine du calcul du temps
d’accès à 4V. Cela suppose évidemment que
l’approximation linéaire soit justifiée.
Ce type de circuit se retrouve dans la commande de
MOSFET dont le seuil de conduction est précisément de
4V.
pour que vC(t) atteigne 4V en 500ns, il faut prendre alors
R1  5 k
63
© Metz Avril 02
plan général
plan du chapitre
Réponse à un signal sinusoïdal
Dans le cas d'une excitation sinusoïdale de pulsation , le régime permanent est lui même sinusoïdal et de
même pulsation  :
excitation sinusoïdale
de pulsation 
régime permanent sinusoïdal
de même pulsation 
     e
x  t   x f  t   x t0 - x f t0

Dans l'expression générale valable pour t > t0 :
le régime permanent s'écrira alors :

-
t-t0
τ
x f  t   A sin  t  j 
La constante propre t et la condition initiale x(0+) se déterminent comme précédemment.
Les constantes A et j se déterminent en utilisant les résultats classiques des régimes permanents
sinusoïdaux. Elles permettent en particulier d'accéder à xf(0+).
64
© Metz Avril 02
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Connexion d'un circuit RL à une source de tension sinusoïdale
K
Considérons le circuit élémentaire de la figure cicontre...
L
v(t )
L'excitation v(t)
d'amplitude Vmax
est
une
tension
R
i(t )
sinusoïdale
On ferme l'interrupteur K à l'instant t0
Vmax
On demande de déterminer l'évolution du courant i(t )
dans l'inductance.
t
0
t0
Pour cela comme précédemment, nous déterminerons
successivement le régime permanent et le régime
libre
v(t )
65
© Metz Avril 02
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Etude du régime permanent if(t)
Dans le circuit qui nous intéresse, la relation entre i(t) et v(t) s'écrit
en complexe : V  Z I
Z  R  jL
avec :
K
R
L
v(t)
i(t)
Z  R 2  L2 2
Arg Z  j  Arctg ( L / R)
Le courant if(t) est donc entièrement
caractérisé en amplitude et en phase :
Vmax
i f t   Imax sinωt  j 
t
0
avec :
Imax 
Vmax
t0
R2  L2ω2
j  Arctg (LωrR)
il s'agit d'un courant sinusoïdal déphasé
arrière par rapport à la tension v(t)
v(t )
clic
66
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Etude du régime permanent if(t)
Dans le circuit qui nous intéresse, la relation entre i(t) et v(t) s'écrit
en complexe : V  Z I
Z  R  jL
avec :
K
R
L
v(t)
i(t)
Z  R 2  L2 2
Arg Z  j  Arctg ( L / R)
Le courant if(t) est donc entièrement
caractérisé en amplitude et en phase :
Vmax
i f t   Imax sinωt  j 
t
0
avec :
Imax 
Vmax
R2  L2ω2
j  Arctg (LωrR)
t0
if(t)
v(t)
il s'agit d'un courant sinusoïdal déphasé
arrière par rapport à la tension v(t)
67
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Etude du régime libre il(t)
reprenons l'expression générale du régime libre en l'appliquant à
notre exemple, on a :


il  t    i  t0 - i f  t0  e
-
t-t0
τ
K
R
L
v(t)
i(t)
• la condition initiale i(t0 est nulle car
i(t) est une variable d'état nulle avant
l'instant t0 (circuit ouvert)
+)
• la constante de temps t se calcule sans
difficulté : t = L/R
Le courant il(t) est donc entièrement
caractérisé et s'écrit pour t > t0 :
il  t    I m ax sin ωt0  j e
-
t0
t-t0
τ
il s'agit d'une exponentielle nulle avant t0
et tendant vers 0.
t
0
if(t)
v(t)
clic
68
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Etude du régime libre il(t)
reprenons l'expression générale du régime libre en l'appliquant à
notre exemple, on a :


il  t    i  t0 - i f  t0  e
-
t-t0
τ
K
R
L
v(t)
i(t)
• la condition initiale i(t0 est nulle car
i(t) est une variable d'état nulle avant
l'instant t0 (circuit ouvert)
+)
• la constante de temps t se calcule sans
difficulté : t = L/R
Le courant il(t) est donc entièrement
caractérisé et s'écrit pour t > t0 :
il  t    I m ax sin ωt0  j e
-
t-t0
τ
il(t)
0
t
t0
if(t)
v(t)
il s'agit d'une exponentielle nulle avant t0
et tendant vers 0.
69
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Réponse totale i(t)
K
Pour obtenir le courant i(t), il suffit d'additionner les
deux composantes if(t) et il(t), obtenues
précédemment.
R
L
v(t)
i(t)
Il vient alors pour t > t0 :
i  t   Imax sin ωt  j   Imax sin ωt0  j  e
-
t-t0
τ
t  t0
avec :
I max 
il(t)
0
Vmax
t
t0
R 2  L2ω2
j  Arctg  Lω / R
if(t)
v(t)
clic
70
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<<
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
Réponse totale i(t)
K
Pour obtenir le courant i(t), il suffit d'additionner les
deux composantes if(t) et il(t), obtenues
précédemment.
R
L
v(t)
i(t)
Il vient alors pour t > t0 :
i  t   Imax sin ωt  j   Imax sin ωt0  j  e
-
t-t0
τ
t  t0
avec :
i(t)
I max 
Vmax
R 2  L2ω2
j  Arctg  Lω / R
il(t)
0
t
t0
if(t)
v(t)
71
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (exemple)
En résumé...
K
L'excitation v(t) étant une tension sinusoïdale, on
ferme l'interrupteur k à l'instant t0
R
L
v(t)
i(t)
le régime permanent correspond au courant if(t), qui
est un courant sinusoïdal déphasé arrière
i(t)
le régime libre correspond au courant il(t), qui est
une exponentielle commençant à l'instant t0 et
tendant vers 0...
le courant i(t) est nul avant t0 puis il est la somme de
ces 2 composantes if(t) et il(t).
il(t)
0
t
t0
if(t)
v(t)
72
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à un signal sinusoïdal (fin)
Remarques
• Le régime libre est toujours nul lorsque j =  t0. Il n'y a alors plus de régime transitoire : cette propriété
peut être utilisée pour précisément éviter le régime transitoire à cause des surcharges qu'il entraîne.
• La forme de la réponse sera toujours la même, à savoir la somme d'un terme sinusoïdal et d'une
exponentielle. On a pu constater que la détermination de ces 2 composantes était simple.
En fait la seule réelle difficulté est de calculer sans erreur l'amplitude et le déphasage de la grandeur
considérée en fonction de l'excitation et du circuits considérés, ce qui suppose de bien savoir utiliser les
impédances complexes.
Les exercices qui suivent permettront de retravailler cet outil indispensable.
73
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plan général
plan du chapitre
Exercices sur les excitations sinusoïdales
K
Exercice 1
R1
solution
On applique au circuit de la figure ci-contre, une excitation
v(t) qui est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax et de
pulsation .
On ferme l'interrupteur K à l'instant t0, alors que le courant
i(t) dans l'inductance est égal à I0.
On demande de déterminer l'évolution du courant i(t) dans
l'inductance à partir de l'instant t0.
L
v(t)
R2
i(t)
Vmax
v(t)
t
0
t0
Exercice 2
aide
L’excitation v(t) est une tension sinusoïdale d'amplitude
Vmax et de pulsation  et de période T.
Les deux interrupteurs K1 et K2 fonctionnent de façon
complémentaire.
A l'instant t0 on ferme l'interrupteur K1 (et on ouvre K2),
alors que le courant i(t) dans l'inductance est égal à I0.
K1
v(t)
R
K2
Déterminer I0 pour que le courant i(t) ait la même valeur
au bout d’une ½ période, c’est à dire à l’instant t0 + T/2.
L
i(t)
74
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plan général
plan du chapitre
>>
Exercices sur les excitations sinusoïdales
Exercice 3
K
On applique au circuit de la figure ci-contre, une excitation
v(t) qui est une tension sinusoïdale d'amplitude Vmax et de
pulsation .
On ferme l'interrupteur K à l'instant t0, alors que le
condensateur est chargé à V0.
On demande de déterminer l'évolution de la tension vC(t) aux
bornes du condensateur C à partir de l'instant t0.
R1
R2
v(t)
vC(t)
C
Vmax
v(t)
t
0
t0
À rédiger et à rendre
75
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plan général
plan du chapitre
Solution excitations sinusoïdales
suite
Exercice 1
K
Etude du régime permanent if(t)
On écrit que la tension aux bornes de l'inductance est reliée à v(t) par le
diviseur de tension R1, R2 //L. Cela donne en complexe :
R2 jL
V
R2  jL
I
jL R  R2 jL
1
R2  jL
L
v(t)
R2
i(t)
V
R2
R1 R2  R1  R2  jL
i f (t)  Imax sin t  j 
On obtient alors :
R1
Vmax
v(t)
t
0
t0
avec :
Vmax R2

 I max 
R1 R2 2  R1  R2 2 L2 ω 2


j  Arctg R1  R2  Lω

R1 R2

Etude du régime libre il(t)
La constante de temps s'obtient en remplaçant v(t) par un court-circuit :
t
La condition initiale du régime libre il(t0+) , s'obtient par identification en t0+ :
L
R1 // R2


R1  R2  L
R1 R2


i(t0 )  i f (t0 )  il (t0 )
76
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plan général
plan du chapitre
Solution excitations sinusoïdales
énoncé
Exercice 1 (suite)
K
R1
le régime libre s'écrit donc pour t > t0 :



il (t)  I 0  i f (t 0 ) e
-
t-t0
τ
 I 0  I max sin( t0  j )  e
Réponse totale i(t)
il suffit d'additionner régime permanent et régime libre.
On obtient alors :
-
t-t0
τ
L
v(t)
i(t)
Vmax
v(t)
t
0
i(t)  Imax sin( t  j )  I 0  I max sin( t0  j ) e
t-t
- 0
τ
R2
t0
t  t0
avec :
Vm ax R2

I

m
ax

R1 R2 2  R1  R2 2 L2ω2


R1  R2  Lω
j  Arctg
R1 R2


R1  R2  L
τ 
R1 R2

On remarquera que l'expression de i(t) correspond à une
formulation tout à fait générale. Les grandeurs Imax, j et t
sont elles, propres à l'exercice étudié.
Le tracé s'effectue sans difficulté.
77
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plan général
plan du chapitre
Aide excitations sinusoïdales
Exercice 2
énoncé
K1
En déterminant séparément le régime permanent et le régime
libre, on a pour t > t0 :
i(t)  Imax sin( t  j )  I 0  I max sin( t0  j ) e
R
v(t)
K2
t-t
- 0
τ
L
i(t)
t  t0
On écrit qu’au bout d’une ½ période, c’est à dire à l’instant t0
+ T/2, on doit retrouver I0, comme indiqué sur la figure cicontre. Il vient alors :
I 0   I max sin( t0  j )  I 0  I max sin( t0  j ) e
T
2τ
i(t)
I0
T/2
D’où l’on déduit :
I 0   I max sin( t0  j )
avec :
I max 
Vmax
R  L2ω2
j  Arctg  Lω / R
2
1 e
-
T
2τ
1 e
-
T
2τ
v(t)
t0
Remarque : on trouve ce type de problème dans les
redresseurs contrôlés (voir exercice 2 sur les excitations
périodiques).
78
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plan général
plan du chapitre
Réponse à une rampe
Une excitation en forme de rampe n'est qu'un cas particulier d'une excitation polynomiale qui se réduit
simplement à un polynôme du 1er degré.
Or, les résultats généraux sur les équations différentielles, nous indiquent que la solution particulière est
elle même polynomiale et de degré égal à celui de l'excitation. On parlera alors ici de régime forcé car il
n'existe pas de régime permanent.
excitation rampe
Dans l'expression générale valable pour t > t0 :
le régime forcé s'écrira alors :
régime forcé rampe


x(t)  x f (t)  [x(t0 )-x f (t 0 )] e
-
t-t0
τ
x f (t)  αt  β
La constante propre t et la condition initiale x(t0+) se déterminent comme précédemment.
Les constantes a et b se déterminent par identification formelle comme nous le montrons dans l'exemple
qui suit. Elles permettent en particulier d'accéder à xf(t0+).
79
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe (exemple)
i(t)
Considérons le circuit de la figure ci-contre...
r
C
vC(t)
e0
l'excitation i(t) est une source de courant :
• constante jusqu'à t = 0 :
i(t) = i0
• en forme de rampe à partir de t = 0 :
i(t) = i0 - at
i0
t
0
1ère
Supposant en outre que dans la
partie, le
régime forcé continu est atteint avant l'instant
t = 0, on demande de déterminer l'évolution de
vC(t), tension aux bornes du condensateur.
i(t)
80
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe
Réponse avant l'intant t = 0
i0
Avant l'instant t = 0, la source de courant est
constante et égale à i0 ; le régime forcé est alors lui
même continu et il est en outre supposé être atteint.
Pour le déterminer, on peut donc utiliser le circuit
équivalent continu de la figure ci-contre.
r
vCf
e0
On trouve alors simplement : vCf = ri0
Condition initiale vC(0+)
i0
vC est une variable d'état ; la valeur finale trouvée
précédemment devient la condition initiale à
l'instant 0+ :
t
0
vC ( 0 )  ri0
i(t)
81
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe
Régime forcé
Dans cette séquence, l’excitation est une rampe de la forme :
i t   i0  a t
i0-at
r
le régime forcé est donc aussi de la même forme soit :
irf (t)
vCf (t)  αt  β
Pour identifier les paramètres a et b , on exprime iCf (t) en
fonction de i(t) et de vCf (t) :
iCf  t   i  t   i rf  i  t  
v Cf  t 
 i0  at 
r
dvCf  t 


i
t

C
a C
Sachant que l’on a aussi : Cf
dt
vCf(t)
C
iCf (t)
e0
atb
r
il vient : αC  i0 -at 
(a t  β)
r
Cette relation qui traduit la loi des nœuds, est évidemment vraie quelque soit t : elle permet donc
d'effectuer une identification formelle qui conduit aux 2 relations :
β

i

αC

0

r

 a  α

r
on peut en déduire a et b :
α  -ar

2
 β  ri0  ar C
La constante de temps étant t = r C, il vient alors : vCf (t)  ri0 -art  arτ
82
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe
Régime forcé (suite)
vCf (t)  ri0 -art  arτ
i0-at
r
Par la suite nous nous intéresserons à la variable
vCf(t)/r qui est homogène à un courant et donc
comparable à i(t). Ce nouveau régime forcé s'écrit
alors :
vCf (t)
r
 i0 -at  aτ
C
vCf(t)
e0
 i0 -a(t  τ)
i0
Ainsi ce régime forcé est identique à la source de
courant i(t) = i0 - at mais en retard de t.
t
0
i(t)
clic
© Metz Avril 02
83
Réponse à une rampe
Régime forcé (suite)
vCf (t)  ri0 -art  arτ
i0-at
r
Par la suite nous nous intéresserons à la variable
vCf(t)/r qui est homogène à un courant et donc
comparable à i(t). Ce nouveau régime forcé s'écrit
alors :
vCf (t)
r
 i0 -at  aτ
C
vCf(t)
e0
 i0 -a(t  τ)
i0
Ainsi ce régime forcé est identique à la source de
courant i(t) = i0 - at mais en retard de t.
vCf(t)/r
t
t
0
i(t)
84
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe
Régime libre
Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la
source de courant par un circuit ouvert et la source de tension par un
court-circuit), conduit à un simple circuit r, C dont la constante de
temps est évidemment t = r C
r
C
En appliquant la forme générale du régime libre à la
variable vCl(t)/r, on a :

t
vCl ( 0 )  vC ( 0 ) vCf ( 0 )  - τ

e
r
r
r


Sachant que l'on a :
vC ( 0 )  ri0

 vCf ( 0 )
 i0  at

 r
i0
vCf(t)/r
t
vCl ( 0 )
  aτ e τ
r
t
Il vient :
t
0
Le régime libre vCl(t)/r est donc une exponentielle
tendant vers 0, de constante de temps t = r C, et
d'amplitude -at
i(t)
clic
© Metz Avril 02
85
Réponse à une rampe
Régime libre
Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en remplaçant la
source de courant par un circuit ouvert et la source de tension par un
court-circuit), conduit à un simple circuit r, C dont la constante de
temps est évidemment t = r C
r
C
En appliquant la forme générale du régime libre à la
variable vCl(t)/r, on a :

t
vCl ( 0 )  vC ( 0 ) vCf ( 0 )  - τ

e
r
r
r


Sachant que l'on a :
vC ( 0 )  ri0

 vCf ( 0 )
 i0  at

 r
i0
vCf(t)/r
t
vCl ( 0 )
  aτ e τ
r
t
Il vient :
Le régime libre vCl(t)/r est donc une exponentielle
tendant vers 0, de constante de temps t = r C, et
d'amplitude -at
t
0
-at
vCl(t)/r
i(t)
86
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe
Réponse totale vC(t)/r
La réponse totale vC(t)/r s'obtient simplement en
additionnant les 2 composantes vCf(t)/r et vCl(t)/r
vCf (t)
r
i(t)
r
vCl ( 0 )
  aτ e τ
r
C
vC(t)
t
 i0 -at  aτ
e0
On obtient alors:
t
vC (t)
 i0 -at  aτ  aτ e τ
r
i0
vCf(t)/r
t
que l'on peut écrire aussi:
t
0
t
vC (t)
 i(t)  aτ ( 1  e τ )
r
-at
vCl(t)/r
i(t)
clic
87
© Metz Avril 02
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Réponse à une rampe
Réponse totale vC(t)/r
La réponse totale vC(t)/r s'obtient simplement en
additionnant les 2 composantes vCf(t)/r et vCl(t)/r
vCf (t)
r
i(t)
r
vCl ( 0 )
  aτ e τ
r
C
vC(t)
t
 i0 -at  aτ
e0
On obtient alors:
t
vC (t)
 i0 -at  aτ  aτ e τ
r
vC(t)/r
i0
vCf(t)/r
t
que l'on peut écrire aussi:
t
0
t
vC (t)
 i(t)  aτ ( 1  e τ )
r
-at
vCl(t)/r
i(t)
88
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plan général
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>>
Réponse à une rampe
En résumé...
i(t)
r
C
vC(t)
L'excitation i(t) étant une rampe à partir de t = 0
e0
le régime forcé vCf(t)/r est une rampe identique à
l'excitation et en retard de t
le régime libre vCl(t)/r est une exponentielle tendant
vers 0, de constante de temps t = rC, et d'amplitude
-at
le courant vC(t)/r est égal à i0 avant l'instant t = 0 ; il
est ensuite égal à la somme de ces 2 composantes
vCf(t)/r et vCl(t).
vC(t)/r
i0
vCf(t)/r
t
t
0
-at
vCl(t)/r
i(t)
89
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plan du chapitre
>>
Réponse à une rampe (fin)
Remarques
1) La tension e0 n'apparaît dans aucune des différentes expressions trouvées.
i(t)
Cela est normal car, se trouvant placée en série avec une source de courant, elle n'a
pas d'incidence sur l'ensemble des variables du circuit, à l'exception cependant de
la tension aux bornes de la source de courant. Elle sera bien évidemment l'objet
d'une dissipation d'énergie qui sera fournie par la source de courant.
r
C
vC(t)
e0
2) Le circuit r, C, e0, constitue un modèle de diode :
3) Tangentes en 0+
Le problème consiste à déterminer s'il y a ou non continuité de la
pente de vC de part et d'autre du point 0.
vC(t)/r
•On peut bien évidemment calculer la dérivée à gauche et à droite.
•On peut aussi essayer de déterminer directement les valeurs de la
variable secondaire iC à droite et à gauche (à la constante C près, iC
représente la dérivée de vC).
i(t)
t
0
•On peut enfin regarder si la variable iC n'est pas, en raison d'une
topologie particulière, une combinaison linéaire de grandeurs non
discontinues, (auquel cas, on pourrait affirmer qu'il y a continuité
de la variable principale vC).
Or, c'est bien le cas ici, puisque l'on a iC = i(t) + vC /R, alors que i(t) est une grandeur non discontinue et que vC est une variable liée
à l'énergie : il y a donc bien continuité de la pente de vC.
90
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plan général
plan du chapitre
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Réponse à une rampe (fin)
Modèle de diode
Le circuit r, C, e0, constitue un modèle de diode :
i(t)
r
* e0 et R correspondent à une caractéristique statique idéalisée de la diode (2
segments de droite)
* la capacité C correspond au fonctionnement dynamique. Elle est faible
lorque la diode est bloquée (capacité de transition Ct : qqs nF) et forte
lorsqu'elle est passante (capacité de diffusion Cd : qqs mF). La constante de
temps r.Cd correspond à la mobilité des porteurs.
Ce modèle est certes très simple mais il est aussi très intéressant car
il permet de bien mettre en évidence le phénomène de
recouvrement dû aux charges stockées dans la jonction pendant la
conduction, qui correspondent précisément à la charge de cette
capacité Cd. La diode ne retrouve son pouvoir de blocage que
lorsque ces charges ont été recouvrées, c'est à dire, lorsque la
capacité Cd s'est déchargée.
Ainsi la diode ne se bloque pas pour i = 0 mais pour vC = 0...
C
vC(t)
e0
vC =0
i(t)
irr
cela se produit toujours pour un courant i < 0, que l'on appelle
courant inverse de recouvrement irr.
91
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plan général
plan du chapitre
Exercices sur les excitations en rampe
R
Exercice 1
solution
On considère le circuit RC de la figure ci-contre soumis à
une excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (0 et E) par
une rampe de pente a.
Déterminer l’expression de vC(t) sachant que la tension du
condensateur est nulle à l’instant 0. Préciser les différents
régimes forcés ou permanents rencontrés.
Tracer les formes d’onde.
v(t)
C
vC(t)
E
v(t)
t
0
t0
Exercice 2
aide
On considère le circuit R1R2C de la figure ci-contre soumis
à l’excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (E et 0) par
une rampe de pente -a.
Déterminer l’expression de vC(t) en supposant que le
régime permanent continu est atteint avant l’instant 0.
Préciser les différents régimes forcés ou permanents
rencontrés.
Tracer les formes d’onde.
R1
R2
v(t)
C
vC(t)
E
v(t)
0
t
t0
92
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plan général
plan du chapitre
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Exercices sur les excitations en rampe
Exercice 3
R1
R2
v(t)
On considère le circuit R1R2L de la figure ci-contre soumis
à l’excitation v(t) reliant 2 valeurs constantes (E et v0) par
une rampe de pente -a.
Déterminer l’expression de i(t) en supposant que le régime
permanent continu est atteint avant l’instant 0. Préciser les
différents régimes forcés ou permanents rencontrés.
Tracer les formes d’onde.
L
vL(t)
i(t)
E
v(t)
Conseil : pour déterminer le régime forcé, il faut exprimer
vLf (t) en fonction de v(t) et de if (t).
On remarquera que vLf (t) = R2 iR2
0
t0
t
v0
À rédiger et à rendre
93
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plan du chapitre
Solutions excitations en rampe
suite
Exercice 1
R
Réponse pour 0 < t < t0
De l’instant 0 à l’instant t0, le circuit RC est soumis à une rampe.
Il suffit de chercher le régime forcé vCf (t) et le régime libre vCl(t)
comme cela a été montré précédemment.
v(t)
Régime forcé vCf (t)
L’excitation s’exprimant sous la forme v(t) = at, on identifie les
paramètres de la relation : vCf (t)  αt  β
C
vC(t)
E
v(t)
en exprimant iCf (t) en fonction de v(t) et de vCf (t) :
v t   v Cf t 
a t a t  b
iCf t  

R
R
dvCf  t 
a C
Sachant que l’on a aussi : iCf  t   C
dt
0
t
t
t0
vCf (t)
a t  α t  0

On obtient alors la relation : a t  α t  β  RC α qui conduit par identification au système :  β  t α
avec t  RC

α  a
 β   αt   a t
D’où : 
et enfin :
vCf t   at  aτ  at  τ 
Il s’agit donc de la même rampe que vCf (t) mais en retard de t (droite de couleur marron sur la figure).
94
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plan du chapitre
Solutions excitations en rampe
suite
Exercice 1
R
Régime libre vCl (t)
À partir de l’instant 0, le régime libre s’écrit :
v Cl t   v Cl  0  e



t

C
C
vC(t)
t
  v  0  v  0 
v  0   0
et : 
v  0   at
avec : vCl 0
v(t)

Cf
E
v(t)
at vCl (t)

C

vC(t)
Cf
0
vCl t   at e
On obtient alors :

t
C’est l’exponentielle vCl (t) tracée en orange sur la figure
Réponse totale vC(t) (jusqu’à t = t0)
Il suffit de faire la somme des deux expressions précédentes :
vC t 
t
t
t

t
 a t  τ   at e t
0  t  t0
t0
vCf (t)
Remarque : il est visible sur la figure que pour t = t0, la
courbe vC(t) n’a pas rattrapé son régime forcé vCf(t), car le
régime libre vCl(t) ne s’est pas encore annulé.
Pour que cela puisse arriver, il faut avoir : t0 > 3t
Sur la page suivante un tel exemple sera montré.
Cette tension vC(t) apparaît en vert sur la figure
95
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plan général
plan du chapitre
Solutions excitations en rampe
Exercice 1
énoncé
Réponse pour t > t0
À partir de l’instant t0, l’excitation est continue.
Le régime permanent est lui-même continu et facile à trouver
(condensateur remplacé par un circuit ouvert) :
R
v(t)
C
vC(t)
vCf  E
La condition initiale pour t = t0 sera déterminée par la
continuité de la variable vC(t) :
   v  t   at
vC t 0


C
0
0
 τ   at e

t0
t
E
v(t)
at vCl(t)
vC(t)
0
On obtient alors :
    E e
vC  t   E  vC t 0


t
t t0
t
t0
vCf(t)
t  t0
La prolongation de vC(t) (après t0) apparaît sur les figures cicontre.
Sur la 1ère figure on a conservé la même constante de temps
que précédemment alors que sur la deuxième cette constante
de temps a été diminuée pour que vC(t) atteigne son régime
forcé avant t0.
t
E
vC(t)
at
0
t
t0
iC   E  vC  / R
Remarque :
Ainsi, iC étant la différence de grandeurs non discontinues, il
est lui-même non discontinu. La pente de vC(t) ne présente
donc aucune discontinuité.
96
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plan général
plan du chapitre
Aide excitations en rampe
énoncé
Exercice 2
Réponse pour t < 0
En supposant le régime permanent continu atteint on a :
vCf 
R2
v(t)
C
R2
E
R1  R2
Cette valeur devient la condition initiale à l’instant 0+ :
Réponse pour 0 < t < t0
On a :
R1
v t   E  at
t
E
v(t)
R2
E
R1  R2
R1 R2
C
R1  R2
vCf(t)
vC(t)
0
t
t0
Pour identifier les paramètres a et b , il faut alors
exprimer iCf (t) en fonction de v (t) et de vCf (t)
R2



E  a t  τ 
v
t

Cf

R

R
1
2
On obtient : 

t
v t    R2 at e t
 Cl
R1  R2
vC(t)
vCl(t)
Réponse pour t > t0
   v t 
vC t 0
 
R2 
t


vC t  
E

a
t

τ

a
t
e


R1  R2 
soit :

0  t  t0
t


C
0
t
 
R2 
t

 E  a t 0  τ   at e 
R1  R2 

0
 
vC t   vC t0 e


t t0
t
t  t0
97
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plan général
plan du chapitre
Réponse à une excitation périodique
Avec une excitation périodique (non sinusoïdale)
comme celle indiquée sur la figure ci-contre,
appliquée à un circuit linéaire, on se trouve dans le
cadre des systèmes multi-linéaires (ou linéaires par
morceaux).
La méthode d'étude de tels systèmes reste simple et
consiste à appliquer les résultats généraux des
systèmes linéaires dans chacune des séquences.
Comme précédemment, une grandeur déterminée
sera la somme de son régime permanent et de son
régime libre.
v(t)
t
0
Régimes permanents : pour de telles excitations qui sont par nature riches en harmoniques, les régimes
permanents ne leur sont en général pas semblables, comme c'était le cas pour les excitations élémentaires
vues précédemment. Nous verrons plus loin que ces régimes permanents sont en fait constitués de
morceaux de régimes transitoires qui se répètent périodiquement.
Régime libres : les régimes libres étant par nature indépendants des excitations, leur détermination
s'effectuera rigoureusement comme précédemment.
Variables liées à l'énergie : dans le cadre des systèmes multi-linéaires, on étudie toujours en priorité les
variables liées à l'énergie. En effet, ne pouvant subir de discontinuité, leur condition initiale dans une
séquence est identique à la valeur finale de la séquence précédente.
98
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
Connexion d'un circuit RL à une source de tension rectangulaire
k
Considérons le circuit élémentaire de la figure cicontre...
R
L
v(t)
i(t)
L'excitation v(t) est une tension rectangulaire
périodique d'amplitude E
On ferme l'interrupteur k à l'instant t0
E
v(t)
On demande de déterminer l'évolution du courant i(t)
dans l'inductance.
t
0
Pour cela comme précédemment, nous déterminerons
successivement le régime permanent et le régime
libre.
t0
99
© Metz Avril 02
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plan général
plan du chapitre
>>
Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
R
Etude du régime permanent if(t)
Dans chaque séquence, l'excitation est continue : le courant
est donc exponentiel. Lorsque le courant i(t) a atteint son
régime forcé périodique if(t), il prend alors la forme d'une
suite périodique de morceaux d'exponentielles.
Pour caractériser complètement ce régime permanent if(t),
nous en déterminerons la valeur moyenne, les valeurs
extrémales, l'ondulation et écrirons les expressions
analytiques dans chacune des séquences.
Valeur moyenne : pour effectuer des calculs de valeur
moyenne, il est particulièrement commode d'utiliser les
propriétés générales des valeurs moyennes rappelées cidessous :
L
v(t)
if (t)
E
v(t)
if(t)
aT
T
0
t
La valeur moyenne de la tension (du courant) aux bornes d'une inductance (dans un condensateur)
est nulle (nul) en régime périodique : <vL> = 0
<iC> = 0
Ainsi, il suffit d'écrire l'expression de if (t), d'en prendre la valeur moyenne et d'écrire que <vL> = 0 :
i f (t ) 
v(t )  v L (t )
R
  i f (t )  
 i f (t )  
 v(t )    v L (t )   v(t ) 

R
R
aE
R
100
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>>
Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
R
Etude du régime permanent if(t)
Valeurs extrémales : ces valeurs sont indiquées sur la
figure par Imax et Imin
On notera que la périodicité de if(t) apparaît par le fait que
if(t1) = if(t2) = Imin
Pour calculer ces deux valeurs extrémales, nous exprimons
Imax en fonction de Imin dans l'intervalle de temps [t1, t2], et
Imin en fonction de Imax dans l'intervalle de temps [t2, t3] ;
puis nous éliminons Imin entre les deux relations ainsi
obtenues.
L
v(t)
if(t)
v(t)
E
Imax
aT
Imin
T
0
t1
t
t2 t3
Ces calculs sont présentés sur les pages suivantes
101
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plan général
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>>
Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
R
Etude du régime permanent if(t)
Intervalle [t1, t2]
dans cet intervalle, l'excitation est constante et égale à E : le
régime permanent de if(t) est alors obtenu en remplaçant
l'inductance par un court-circuit, ce qui donne E/R (on
notera qu'il s'agit là d'une valeur qui ne sera en général pas
atteinte). Par ailleurs la constante de temps est t = L/R (on
remplace v(t) par un court-circuit).
Ainsi, dans cet intervalle [t1, t2], if(t) s'identifie à la fonction
définie par :
if(t)
E 
E 
i f ( t )    Imin   e
R 
R
v(t)
E
Imax
aT
Imin
condition initiale (pour t = t1) : Imin
régime permanent : E/R
constante de temps : t = L/R
On trouve alors pour t1 < t < t2 :
L
v(t)
T
0
t1
t
t2 t3
t  t1
t
Il suffit maintenant d'écrire dans cette expression que Imax est égal if(t2), en tenant compte du fait que
l'intervalle de temps t2 - t1 est égal à aT ; il vient alors :
E 
E 
I max    I min   e
R 
R
aT
t
102
© Metz Avril 02
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
R
Etude du régime permanent if(t)
Intervalle [t2, t3]
dans cet intervalle, l'excitation étant nulle, le régime
permanent de if(t) l'est aussi. La constante de temps n'a
évidemment pas changé.
Ainsi, dans cet intervalle [t2, t3], if(t), s'identifie à la fonction
définie par :
L
v(t)
if(t)
v(t)
E
condition initiale (pour t = t1) : Imax
régime permanent : 0
constante de temps : t = L/R
On trouve alors pour t2 < t < t3 :
Imax
aT
Imin
T
0
t1
i f ( t )  I max e

t
t2 t3
t t2
t
Il suffit maintenant d'écrire dans cette expression que Imax est égal if(t2), en tenant compte du fait que
l'intervalle de temps t3 - t2 est égal à (1 - aT ; il vient alors :
I m in  I m ax e

( 1a )T
t
103
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
R
Etude du régime permanent if(t)
Reprenant les deux expressions trouvées précédemment :
E 
E 
I max    I min   e
R 
R
aT
t
I m in  I m ax e

L
v(t)
if(t)
( 1a )T
t
on peut en déduire les expressions de Imax et Imin :

Imax 
aT
t
E 1 e
T

R
1 e t

I min 
aT
t

E 1 e
e
T

R
1 e t
v(t)
E
Imax
( 1a )T
t
T
0
t1
Appelant Di l'ondulation de if(t), il vient alors :
Si T/t << 1, on peut approximer l'exponentielle au 1er
ordre. On obtient alors (avec f =1/T) :
aT
Imin
t
t2 t3
aT
( 1a )T





 1  e t  1  e t 


E 



Di  I m ax  I m in 
T

R
1e t
Di 
E
T
E
a (1  a )  a (1  a )
R
t
Lf
104
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
Régime libre
Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en
remplaçant la source de tension par un court-circuit),
conduit à un simple circuit R, L dont la constante de
temps est évidemment t = L/R
k
R
L
v(t)
i(t)
En appliquant la forme générale du régime libre à la
variable il(t), on a :
i (t)  i(t)-i (t) e
l
-
t-t0
τ
f
En écrivant cette relation pour t0+ et sachant que l'on a
i(t0+) = 0 (circuit non connecté avant t0), il vient :
 e
il (t)  -i f t0

-
E
v(t)
if(t)
0
t
t0
t-t0
τ
Le régime libre il(t), est donc une exponentielle
commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de
constante de temps t = L/R et tendant vers 0.
clic
105
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
Régime libre
Le circuit équivalent du régime libre (obtenu en
remplaçant la source de tension par un court-circuit),
conduit à un simple circuit R, L dont la constante de
temps est évidemment t = L/R
k
R
L
v(t)
i(t)
En appliquant la forme générale du régime libre à la
variable il(t), on a :
i (t)  i(t)-i (t) e
l
-
t-t0
τ
f
En écrivant cette relation pour t0+ et sachant que l'on a
i(t0+) = 0 (circuit non connecté avant t0), il vient :
 e
il (t)  -i f t0

-
t-t0
τ
Le régime libre il(t), est donc une exponentielle
commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de
constante de temps t = L/R et tendant vers 0.
E
v(t)
if(t)
0
t
t0
il(t)
-if(t0)
106
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Réponse à une excitation rectangulaire (exemple)
En résumé...
k
L'excitation v(t) étant une tension rectangulaire
périodique, on ferme l'interrupteur k à l'instant t0
L
v(t)
i(t)
le régime permanent if(t) est un courant périodique
composé de morceaux d'exponentielles de constante
de temps t = L/R
E
le régime libre il(t) est une exponentielle
commençant à l'instant t0, d'amplitude -if(t0), de
même constante de temps t = L/R et tendant vers 0
v(t)
if(t)
i(t)
t
0
t0
le courant i(t) est nul avant t0 puis il est la somme de
ces 2 composantes if(t) et il(t).
R
il(t)
-if(t0)
107
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Signaux périodiques et symétries
Les exemples qui viennent d'être traités montrent bien que la détermination du régime permanent reste la partie
la plus délicate à traiter.
Des outils permettant de simplifier ce type d'études sont donc a priori intéressants.
En particulier certaines symétries présentes dans les excitations périodiques peuvent se révéler particulièrement
utiles.
Nous examinerons successivement les symétries classiques axiale et centrale puis la symétrie glissante.
R
Symétries axiales et centrales
L
v(t)
if(t)
Bien connues, ces symétries sont en fait peu intéressantes pour
ce type d'étude, car elles ne se conservent pas en général au
niveau des réponses.
E
Reprenant en effet l'exemple précédent (figure ci-contre), il est
manifeste que la symétrie axiale matérialisée par les tirets
verticaux n'est plus présente pour if(t).
v(t)
if(t)
0
t
108
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Signaux périodiques et symétries
Symétrie glissante
Définie par x(t+T/2) = - x(t), elle se manifeste graphiquement
par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.
x(t)
t
Ainsi, pour obtenir un signal x(t) ayant une symétrie glissante,
il faut le tracer sur une demi-période...
tracer une autre 1/2 période identique...
T/2
T/2
et inverser cette 2ème 1/2 période.
clic
109
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Signaux périodiques et symétries
Symétrie glissante
Définie par x(t+T/2) = - x(t), elle se manifeste graphiquement
par deux demi-périodes successives inverses l'une de l'autre.
x(t)
t
Ainsi, pour obtenir un signal x(t) ayant une symétrie glissante,
il faut le tracer sur une demi-période...
tracer une autre 1/2 période identique...
T/2
T/2
et inverser cette 2ème 1/2 période.
L'intérêt de cette symétrie glissante est qu'elle se conserve au niveau des réponses.
Cette propriété est illustrée sur la page suivante.
Sa démonstration en est aisée.
110
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Signaux périodiques et symétries
Symétrie glissante (exemple)
R
Si l'on s'intéresse à la réponse en régime permanent if(t), on
peut donc affirmer que ce courant possède lui aussi cette
symétrie. C'est ce qui apparaît sur le diagramme ci-contre
L
v(t)
On considère le circuit ci-contre auquel on applique une
tension v(t), comme celle indiquée sur le diagramme.
Il est facile de voir que la tension v(t) possède la propriété de
symétrie glissante (les durées des impulsions d'amplitude E et
-E sont égales).
if(t)
E
v(t)
if(t)
0
t
-E
T/2
T/2
On peut ainsi réduire l'intervalle d'étude à la demi-période T/2.
Cet exemple est traité complètement en exercice.
111
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plan général
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Exercices sur les excitations périodiques
R
Exercice 1
solution
v(t)
On considère le circuit RL excité par une source de tension v(t) périodique, comme celle
indiquée sur le diagramme ci-contre.
Etude du régime permanent
1 – Préciser quelles sont les symétries présentes sur la tension v(t). Que peut-on en
déduire pour if(t) en régime permanent ? Préciser quelle est sa valeur moyenne.
2 – Tracer if(t) en prenant la constante de temps t de l’ordre de la ½ période T/2
3 – Calculer les différentes valeurs extrémales du courant if(t).
Exercice 2
i(t)
v(t)
E
0
aT/2
T/2
-E
On considère le circuit RL excité par une source de tension v(t)
périodique correspondant au redressement contrôlé d’une tension
sinusoïdale vA(t).
aT/2
v(t)
i(t)
1 – Etude du régime permanent
Donner l’expression analytique de if(t) et tracer sa forme d’onde (on
pourra utiliser les résultats de l’exercice 2 sur les excitations
sinusoïdales).
v (t)
t0
vA(t)
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t
R
aide
2 – Etude du régime transitoire
On suppose que v(t) est connectée au circuit RL à l’instant t = t 0 alors
que i(t) = 0.
2a – Déterminer l’expression analytique du régime libre il(t) et tracer sa
forme d’onde.
2b – Tracer i(t).
T/2
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Exercices sur les excitations périodiques
Exercice 3
On considère le circuit R1R2L excité par une source de tension v(t) périodique
rectangulaire.
Déterminer la constante de temps t du système.
1 – Etude du régime permanent
1a – Préciser quelles sont les symétries présentes sur la tension v(t). Que peuton en déduire pour i(t) en régime permanent ? Préciser quelle est sa valeur
moyenne.
1b – Tracer i(t) en prenant la constante de temps t de l’ordre de la ½ période
(T/2)
1c – Calculer la valeur maximale du courant i(t) et son ondulation Di.
2 – Etude du régime transitoire
On suppose que v(t) est connectée au circuit R1R2L à l’instant t = 0 alors que
i(t) = 0.
2a – Déterminer la condition initiale du régime libre de i(t) soit il(0+ ), puis
l’expression de il(t).
2b – Tracer i(t) et calculer sa valeur maximale.
R1
R2
v(t)
L
i(t)
v(t)
E
0
T/2
T/2
t
-E
À rédiger et à rendre
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Solutions excitations périodiques
énoncé
Exercice 1
1 - On a toutes les symétries (axiale, centrale et glissante) mais on ne
s'intéresse qu'à la symétrie glissante qui se conserve pour if(t). En
particulier, sa valeur moyenne est nulle.
v(t)
E
Imax
if(t)
0
2 - Dans chaque séquence, l'excitation est continue. Le courant if(t) est
donc composé de morceaux d'exponentielle qui se répètent
périodiquement comme indiqué sur le diagramme.
Les régimes permanents rencontrés sont égaux à E/R, 0, -E/R, 0…et
ainsi de suite. Pendant une séquence de durée aT/2, l'exponentielle
tend vers E/R ou -E/R, alors qu'elle tend vers 0 dans les autres
séquences.
aT/2
-E
Imin
-Imin
-Imax
T/2
3 - Appelant Imax et I min les 2 valeurs extrémales positives de if(t), on en déduit qu'en raison de la symétrie glissante les 2 valeurs
extrémales négatives sont respectivement -Imax et -I min.
Il suffit maintenant d'écrire :
que l'on passe de Imax à I min dans une séquence de durée (1-aT/2 et de régime permanent 0
que l'on passe de Imin et -I max dans une séquence de durée aT/2 et de régime permanent -E/R
Imin  Imax e
 Imax

(1a )T
2t
E 
E 
    Imin   e
R 
R

aT
2t
ce qui donne :
I max
aT
2t
E 1 e

T
R

2
1 e t
et
I min  I max e

(1a )T
2t
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Aide excitations périodiques
Exercice 2
Le régime permanent if(t) est composé de morceaux de
courbes (somme de sinus et d’exponentielle) qui se répètent
avec la période T/2. En début de chaque période on retrouve
le même courant I0.
Les expressions trouvées dans l’exercice 2 sur les excitations
sinusoïdales déterminent le régime permanent correspondant
à la 1ère période. Une simple translation temporelle permet
alors d’obtenir entièrement ce régime permanent.
i f (t)  I m ax sin( t  j )  I 0  I m ax sin( t0  j ) e
I 0   I m ax sin( t 0  j )
énoncé
L

t  R

Vm ax

 I m ax 
R 2  L2ω2

j  Arctg  Lω / R 


R
1 e
1 e
-
-
v(t)
i(t)
i(t) if(t)
t-t0
τ
T
2τ
v (t)
I0
T
2τ
-I0
t0  t  t0  T / 2
T/2
t0 il(t)
Le régime libre il(t)
s’écrit simplement :
il (t)   I 0 e
-
t-t0
τ
t  t0
Pour obtenir i(t), il suffit alors d’ajouter ces deux
composantes (courbe en vert sur la figure).
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Liens symétries
retour
Symétrie glissante
La symétrie glissante d'un signal est définie par la relation x(t+T/2) = - x(t). Elle se manifeste graphiquement par deux demi-périodes
successives inverses l'une de l'autre.
L'intérêt de cette symétrie glissante est qu'elle se conserve au niveau des réponses. La démonstration de cette importante propriété
est présentée ci-dessous en 2 parties.
1) un signal à symétrie glissante ne possède que des harmoniques de rang impair et sa valeur moyenne est nulle.
Le signal x(t) est supposé périodique et se décompose donc en série de Fourrier :
x(t) = A0 +  [An cos nt + Bn sin nt]
On forme alors x(t+T/2) et on l'identifie formellement à - x(t) :
x(t+T/2) = A0 +  [An cos (nt + np) + Bn sin (nt + np)] = - A0 -  [An cos nt + Bn sin nt]
On obtient alors les égalités suivantes :
A0 = - A0
An cos (nt + np) = - An cos nt
Bn sin (nt + np) = - Bn sin nt
si n est pair, on a alors :
An cos nt = - An cos nt
Bn sin nt = - Bn sin nt
et donc :
A0 = 0
An = Bn = 0 (pour n pair)
Il est facile de montrer que la réciproque est vraie.
2) La symétrie glissante se conserve au niveau des réponses.
On applique un signal x(t) à symétrie glissante de pulsation  à un circuit linéaire et on s'intéresse à une variable quelconque y(t) de
ce circuit.
Chaque harmonique de x(t) constitue une excitation élémentaire dont la pulsation est un multiple impair de , à laquelle correspond
une réponse élémentaire de y(t) de même pulsation (circuit linéaire).
Le théorème de superposition nous permet alors d'affirmer que y(t) est la somme de ces réponses élémentaires, c'est à dire qu'elle
n'est composée que d'harmoniques de rang impair : elle possède donc elle aussi, la propriété de symétrie glissante.
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Glossaire
circuits linéaires à constantes localisées
variables d'état
ordre de complexité du système
régime permanent
régime forcé
variable liée à l'énergie
mailles capacitives
coupures inductives
circuit passif
constantes propres
constantes indéterminées
symétrie glissante
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