P=NP - LRI

d'Alembert 17 Novembre 2003 1
Algorithmique et Complexité
Michel de Rougemont
Université Paris II et LRI
[email protected]
http://www.lri.fr/~mdr
1. Qu’est ce qu’un algorithme?
Complexité d’un algorithme.
2. P=NP et classes de complexité.
3. Approximations.
4. Modèles de calcul.
Sens et dénotation.

d'Alembert 17 Novembre 2003 2
Algorithmique et Complexité
•Existe-t-il un algorithme pour résoudre
un problème?
• Quelles sont les propriétés d’un
algorithme A?
•Propriétes de Complexité
–Complexité en Temps (Espace)
T(x) = #Etapes élémentaires sur x
A est Polynomial si
–Kolmogorov : Taille du plus petit
programme. (Mesure qui peut être
contradictoire avec la complexité en temps)
•Existe-t-il un algorithme polynomial,
O(n), O(log n)….?
)x T()(T x Maxn n
k
ncn . )(T 

d'Alembert 17 Novembre 2003 3
Algorithmique
Al-Khowarizmi (800)
Qu’est ce qu’une fonction calculable?
Fonction récursive (1936)
Thèse de Church
Indécidabilité et
Incomplétude de Gödel
Machine de
Turing
Machine Universelle de
Kleene

d'Alembert 17 Novembre 2003 4
Fonctions calculables
NNf :
0sinon ,)(P si 1)( n nnf
Hiérarchie arithmétique
r.e. Co-r.e
Définissable recursif
0sinon ,est vraie" formule" si 1)( nnf 
Il existe des fonctions non calculables.
Il existe une hiérarchie de problèmes
indécidables.

d'Alembert 17 Novembre 2003 5
Algorithmique et informatique
•Fonction récursive Universelle
•Algorithme vs. Programme
• Propriétés d’algorithmes et de
programmes.
–Programmation Linéaire.
P depuis 1980
Simplex, analysé depuis 2001
–Primalité : P depuis 2002
–Factoriser : ?
–Equilibre de Nash : ?
)(),( xfxeF e
bxA xcMax ..