L`automatique, une démarche de projet - IGEN STI

Séminaire CPGE - Paris
L’automatique, une démarche de projet
Un peu d’histoire…
Longtemps la technique des asservissements est
pratiquement demeurée l’apanage des mécaniciens. À
l’image du régulateur à boules inventé par James Watt
en 1790, les régulateurs étaient réalisés par des systèmes
de conception exclusivement mécaniques et bien
entendu, les réglages relevaient de l’empirisme et de
l’expérimentation.
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9 juillet 2009
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L’automatique une approche moderne
C’est par le développement de l’électronique et en
particulier par l’intégration des calculateurs
numériques (calcul opérationnel) que cette discipline
a acquis ses lettres de noblesse tant sur le plan des
réalisations que sur le plan théorique en s’appuyant
sur les travaux de mathématiciens français tels
Cauchy, Fourier et Laplace. Pendant de nombreuses
années, les régulateurs se sont limités à la classique
structure « PID » car toutes les solutions plus
élaborées étaient difficiles à réaliser industriellement.
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9 juillet 2009
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L’automatique aujourd’hui
Aujourd’hui, l’évolution de l’électronique vers des solutions
numériques qui se traduisent par l’intégration de calculateurs
numériques puissants, la création de langages de haut niveau
maîtrisant les problèmes liés au temps « réel », voire une
approche entièrement graphique de la programmation, offrent
un développement quasiment sans limite des méthodes
modernes de l’automatique.
Ces méthodes modernes s’imposent sur le plan de la
commande par la réalisation de régulateurs prédictifs, de
logique floue ou de commandes neuronales, ainsi que sur
l’identification en ligne des différents paramètres des modèles
de connaissance représentant le comportement des systèmes
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9 juillet 2009
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L’automatique et les modèles
Avant toutes choses, il est indispensable
d’établir un modèle comportemental du
système à commander. Ceci nécessite
l’écriture d’un modèle de connaissance, ou
bien d’un modèle de comportement (appelé
boîte noire) ou de tous modèles intermédiaires
(boîtes grises).
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Un modèle de connaissance
Les modèles de connaissance sont élaborés à
partir des lois de la physique ou de la chimie.
L’objectif étant d’expliciter le fonctionnement
d’un système par une relation mathématique.
Ces modèles peuvent être assez complexes et
comporter de nombreux paramètres à identifier
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9 juillet 2009
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Un modèle de comportement
Les modèles de comportement sont des modèles
linéaires, dont la validité reste limitée à de petites
variations autour d’un point de fonctionnement, ils se
concrétisent par des fonctions de transfert.
Les modèles intermédiaires sont des modèles hybrides
souvent issus d’une simplification ou d’une linéarisation
des modèles de connaissances.
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9 juillet 2009
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L’automatique en CPGE
Dans le cadre de l’enseignement des S2I en
classes préparatoires aux grandes écoles, nous
développons plus largement les domaines
d’application liés aux systèmes « mécatroniques »
associant les disciplines fondamentales telles que
la mécanique et le génie électrique.
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9 juillet 2009
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Modélisation des systèmes
Cette phase se décompose en trois étapes : définir les
phénomènes physiques du système à commander,
faire le bilan des variables mesurables et identifier
l’origine des phénomènes principaux (hydraulique,
électrique, mécanique).
L’écriture des équations du modèle peut se présenter
sous différentes formes, nous en présenterons deux,
l’une adaptée à la description des systèmes
hydrauliques et l’autre adaptée aux systèmes électromécaniques.
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les systèmes hydraulique ou chimique
Les équations de bilan tenant compte des flux d’entrée et
de sortie associés à la conservation des grandeurs
semblent bien adaptées :
On peut faire ce bilan sur un instant dt :
Quantité de X  Quantité de X 
Quantité de X  Flux entrant  Flux sortant  
 




Généré

Consommé

 
 
 
 

dans
le
système
de
X
de
X

 
 
 par le système par le système

 

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9 juillet 2009
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F1
Entrée fluide de
concentration C1
hauteur du
volume h et
surface S
F2
Entrée fluide de
concentration C2
Volume de concentration C
Fs
sortie fluide de
concentration C
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Fs  k. h
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Pour écrire les équations de bilan, nous ferons un
certain nombre d’hypothèses, le mélange des
fluides d’entrée est instantané, le fluide de sortie
s’écoule par gravité (Bernouilli) :
Compte tenu des hypothèses, pendant un
instant dt, le système ne génère rien ni ne
consomme, les variations du volume sont
uniquement liés aux flux :
Si l’on suppose que la fluidité ne dépend
pas de la concentration :
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Fs  k. h
S.dh  F1.dt  F2 .dt  Fs .dt
dh F1 F2 k . h
  
dt S S
S
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L’apport en produit dissous pendant un instant dt, par les
fluides d’entrée i s’écrit : Dans ces conditions le bilan relatif
aux concentrations pendant un instant dt s’écrit :
d (C.h.S )  F1.C1.dt  F2 .C2 .dt  k. h.C.dt
Ces équations traduisent le comportement du système, bien
entendu ces deux équations sont non linéaires puisque nous
avons des produits des grandeurs h et C qui dépendent du temps.
Pour élaborer une loi de commande, il faudra simplifier ce
modèle de connaissance pour aboutir à un modèle simplifié de
comportement par « linéarisation » autour d’un point de
fonctionnement.
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Les systèmes mécaniques
Dans le cas d’un système mécanique les équations du modèle
de connaissance peuvent s’écrire à partir d’un bilan
énergétique. Lorsque les forces qui s’appliquent sur le système
dérivent d’un potentiel, les forces pour un axe q sont liées à la
différence des énergies potentielle et cinétique L (lagrangien)
suivant la relation :
d  L  L D
Fq   *  
 *
dt  q  q q
L = Énergie Cinétique – Énergie potentielle, D l’énergie dissipée
par frottement et la dérivée de la longueur q en fonction du temps.
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9 juillet 2009
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On peut illustrer cette relation par un exemple un peu plus complexe
appelé « pendule inversé » et qui serait une première approche d’un
système type « Segway »
y


z
Articulation sans
frottement
m
2.L
A

Ft
M
G
0
Roulement sans
frottement
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x
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L’objectif de ce système est d’agir sur la force pour maintenir dans la
position verticale le bras de longueur 2L.
Nous pouvons définir les énergies dans un référentiel dont l’origine est
fixée sur l’axe de rotation de la barre ce référentiel est lié au référentiel
par une translation z.
Énergie cinétique du chariot :
1
ECc  M .z *2
2
Énergie cinétique de la barre :
1
EBc  (m.v 2  J . *2 )
2
Énergie potentielle du chariot nulle
EBp  m.g .L.cos( )
Énergie potentielle de la barre :
Les coordonnées du centre de gravité de la barre sont :
L.cos( )
 L. *.sin( )
og
v *
d’où la vitesse :
z  L. *.cos( )
z  L.sin( )
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La différence des énergies cinétiques et potentielles peut s’écrire :
1
L  ( M  m).z *2  2.m.L.z * . * cos( )  m.L2 . *2  J . *2   m.g.L cos( )
2
Le système présente deux degrés de liberté l’un suivant l’axe x et l’autre
suivant l’axe y. En appliquant la définition sur l’équation nous obtenons
l’expression des deux « forces » Fx et Fy :
Fx (t )  ( M  m).z  m.L. cos( )  m.L. sin( )
**
**
*2
Fy (t )  J .  m.L  z cos( )  L.  g.sin( ) 
**
**
**
Le modèle de connaissance conduit à des équations non-linéaires
trigonométriques. Il sera nécessaire de linéariser les équations autour
du point d’équilibre pour décrire un modèle comportemental en vue de
la commande du système.
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Simulation graphique du modèle de connaissance
dh F1 F2 k . h
  
dt S S
S
dérivée de h
.1
entrée F1
Gain
1
s
Integrator
.1
entrée F2
Gain1
h
Add
sqrt
Math
Function
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9 juillet 2009
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simulation de la dérivée de h
0.12
réponse F1
réponse F2
0.1
0.08
0.06
Régime statique
0.04
0.02
0
0
10
20
30
40
50 X: 50
60
Y: 9.264e-010
L’intégration impose un régime statique sur la dérivée =0
 f 
dh  f 
 f 

 .F1  
 .F2    .h
dt  F1 0
 h 0
 F2 0
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9 juillet 2009
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Définition du modèle de comportement pour le système hydraulique
dh


Constat de la simulation: 
  0 Soit
 dt 0
 F1  F2 0  k.
h0
Le modèle de comportement est obtenu par un développement limité
autour du point de fonctionnement (indice 0):
 f 
dh  f 
 f 

 .F1  
 .F2    .h
dt  F1 0
 h 0
 F2 0
Soit:
dh 1
1
1
 .F1  .F2  .h
dt S
S

avec
S .h0

 F1  F2 0
Modèle du 1er ordre avec 2 entrées et une constante de temps: 
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9 juillet 2009
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Définition du modèle de comportement pour le système « Segway »
La linéarisation implique de petites variations autour du point d’équilibre
 0
d’où une approximation des termes trigonométriques :
sin( )  et cos( ) 1
Dans ces conditions, le modèle de comportement peut se réduire à :
Fz (t )  ( M  m).z **  m.L. **
J . **  m.L  z **  L. **  g .   0
3
3( M  m)
b.Fz (t )    a . avec b 
et a  g
(7.M  4m) L
(7 M  4m) L
**
2
système du 2ème ordre instable (2 pôles réels >0) sans amortissement
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Fonction de transfert isochrone
Exemple équation différentielle du 1er ordre:
ds(t )
G0 .e(t )  s(t )   .
dt
G0 .E  S  j .S
avec
S
H
E
G0
H
1  j
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Représentation de la fonction de
transfert
G  20.log  H ( )  et  =arg H ( )
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
10
0
-10
Phase (deg)
-20
0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
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Une approche fréquentielle des comportements
(fonctions d’approximation: Butterworth)
butterw orth ordre 2
0
 
1  (1) .  
 0 
2n
n
Magnitude (dB)
H 
1
2
H  H .H *
-20
-40
-60
2
1
H 2
p  p. 2  1
-45
Phase (deg)

Ordre n  2 avec p  j
0
-80
0
-90
-135
-180
-2
-1
10
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
IGEN STI
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9 juillet 2009
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Dualité temps / fréquence et
représentation complexe
réponse indicielle
lieu des poles
1.4
1
2m=.7
2m=.7
0.8
1.2
0.6
2m=1.4
0.4
partie imaginaire
Amplitude
1
2m=1.4
0.8
2m=3
0.6
0.2
2m=3
2m=3
0
-0.2
-0.4
0.4
2m=1.4
-0.6
0.2
2m=.7
-0.8
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-1
-3
Time (sec)
IGEN STI
24
-2.5
-2
-1.5
partie réelle
-1
-0.5
0
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Fonction d’approximation Butterworth ordre 3
réponse indicielle
1.4
H
1.2
1
p3  2 p 2  2 p  1
butterworth ordre 3
1
1
Amplitude
0.8
P1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
3 pôles situés sur un cercle
de rayon 1
P0
0
0.4
-0.2
-0.4
0.2
-0.6
P1*
-0.8
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Time (sec)
IGEN STI
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9 juillet 2009
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Réglage de la boucle de courant
à l’aide d’un correcteur PI
Cahier des charges:
• Erreur statique nulle
• Réponse indicielle optimisée (Butterworth)
Réglage par compensation
du pôle électrique
K
Taua.s+1
perturbation vitesse
reference courant
IGEN STI
Pôle mécanique
Sum
Tau.s+1
1
G0
Ti.s
Th.s+1
Taua.s+1
Correcteur PI
Pôle de commande Pôle électrique
26
courant
Sum1
mesure courant
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Calcul des deux coefficients du
correcteur
Le correcteur PI:
K p .Ti  Tau
Il reste à définir :
Ti
t
1
e(t )  K p (imes  iref )   (imes  iref ).dt
Ti 0
1  K p . jTi
E(
)( Imes  Iref )
jTi
Ti
IGEN STI
Sera calculé en identifiant la fonction de
transfert à un Butterworth ordre 2
27
Ti  Go.Te
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Réponse indicielle du système
Réglé
commande par compensation
11
réponse harmonique
Traînage
0
10
Magnitude (dB)
Réponse commande
9
8
réponse perturbation
7
-20
-40
-60
6
-80
0
5
4
Phase (deg)
-45
3
2
-135
1
0
-90
-180
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
1
0.04
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Frequency (rad/sec)
IGEN STI
28
9 juillet 2009
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Réglage d’un système possédant un pôle dominant ou
une intégration naturelle
Comment concilier les réponses indicielles de la
consigne et de la perturbation ?
Dans le cas d’un pôle dominant  ou d’une intégration naturelle, la
fonction de transfert en boucle ouverte peut s’écrire:
Td  Go
1  jTi K p
 2Ti . (1  jTe )
Le correcteur PI est calculé par la méthode de
« l’optimum symétrique » (Butterworth ordre 3)
IGEN STI
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Calcul des deux coefficients du correcteur
H .H 
*
1
 
1  
 0 
1 Kp 
6
1

*
2.Go Te
2 Ti  8.Go
Soit 3 conditions:
Commande par l'optimum symétrique
avec filtre de référence
3
Te2

Un filtre de
référence
K
Taua.s+1
perturbation vitesse
Pôle mécanique
1
Tau3.s+1
reference courant Filtre de référence
IGEN STI
Sum
Tau.s+1
1
G0
Ti.s
Th.s+1
Taua.s+1
Correcteur PI
Pôle de commande Pôle électrique
30
courant
Sum1
mesure courant
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Réponse indicielle du système Réglé
essai indiciel
12
réponse harmonique
0
courant (A)
8
Consigne
Magnitude (dB)
10
perturbation
-50
-100
6
-150
360
Phase (deg)
4
2
0
270
180
90
0
IGEN STI
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps (s)
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Frequency (rad/sec)
31
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Régulation de la vitesse
Vis-à-vis de la régulation de vitesse, la boucle de courant est
assimilée à un système du 1er ordre (pôle de commande)
temps
Régulation de courant optimum symétrique
asservissement de vitesse compensation pôle mécanique
Clock
vitesse
Kf
reference vitesse
IGEN STI
Sum3
K
mesure vitesse
Tauf.s+1
Taua.s+1
Pôle mécanique
Pôle électrique1
Tauv.s+1
1
Tiv.s
Tau3.s+1
Correcteur PI 1 Filtre de référence
Sum
Tau.s+1
1
G0
Ti.s
Th.s+1
Taua.s+1
Correcteur PI Pôle de commande
Pôle électrique
32
courant
Sum1
mesure courant
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Réponse du système réglé
5
3
x 10
essai indiciel
réponse harmonique
2
0
1
0
-1
0
-50
-100
-150
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps (s)
essai indiciel
150
-200
360
100
270
Phase (deg)
vitesse (rd/s)
Magnitude (dB)
courant (A)
50
50
0
-50
180
90
0
0
-1
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
temps (s)
IGEN STI
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
Frequency (rad/sec)
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9 juillet 2009
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Un logiciel de simulation
un lien entre le modèle et le système
IGEN STI
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9 juillet 2009