Angles (suite). Triangles.

Relations entre angles.
• Comparaison des angles. Soit deux
angles TAOB et TA’B’C’; Transportons
l’angle TA’B’C’ sur l’angle TAOB de façon
que le sommet O’ coïncide avec le sommet
O et le côté O’A’ avec OA. Trois cas peuvent
se présenter:
•
•
•
Le côté O’B’ est à l’extérieur de l’angle TAOB –
alors TAOB < TA’B’C’;
Le côté O’B’ coïncide avec le côté O’A’ - alors
TAOB = TA’B’C’;
Le côté O’B’ est à l’intérieur de l’angle TAOB –
alors TAOB < TA’B’C’;
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Opérations sur les angles.
• Deux angles sont adjacents quand ils ont
un point commun et qu’ils sont situés de
part et d’autre d’un côté commun.
• On appelle somme de deux angles l’angle
formé par les côtés non communs de ces
angles rendus adjacents.
• Pour obtenir la différence de deux angles,
on superpose le plus petit angle sur le plus
grand.
2
Angles (suite).
• Un angle aigu mesure entre 0° et
90°.
• Un angle obtus mesure entre 90° et
180°.
• Deux angles sont complémentaires
si leur somme vaut 90°.
• Deux angles sont supplémentaires
si leur somme vaut 180°.
3
Angles (suite).
• Théorème: Deux angles adjacents
dont les côtés extérieurs forme une
seule ligne droite sont
supplémentaires.
• Réciproque: Si deux angles
adjacents sont supplémentaires, leurs
côtés extérieurs forme une seule ligne
droite .
4
Angles (suite).
• On appelle angles opposés par le
sommet deux angles tels que les
côtés de l’un sont les prolongements
des côtés de l’autre.
• Théorème: Deux angles opposés par
le sommet sont égaux.
• Théorème: Les bissectrices d’angles
opposés par le sommet sont en ligne
droite.
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Angles (suite).
• Théorème: Par un point A pris sur une
droite CD on peut mener une
perpendiculaire AB à cette droite CD et on
n’en peut mener qu’une.
• Théorème: Par un point A pris hors d’une
droite MN on peut mener une
perpendiculaire à cette droite et on n’en
peut mener qu’une.
• Corollaire: Deux perpendiculaires à une
même droite n’ont aucun point commun.
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Angles (suite).
• Théorème: Si deux angles adjacents
sont supplémentaires, leurs
bissectrices sont perpendiculaires
l’une à l’autre.
7
Lignes brisées.
• Une ligne brisée est une séquence de
segments de droite, deux segments
consécutifs partageant une extrémité.
• Une ligne brisée fermée est une ligne
brisée ayant la fin de son dernier segment
coïncider avec le début de son premier
segment.
• Une ligne brisée convexe est une ligne
brisée située tout entière d’un même côté
de chacun de ses segments supposés
prolongés.
8
Lignes brisées.
• Théorème: Toute
ligne brisée
convexe est
moindre que la
ligne brisée
enveloppante qui
aboutit aux mêmes
extrémités.
D
B
E
A
C
AB + BE < AD + DE
BC < BE + EC
AB+BE+BC<AD+DE+BE+EC
AB + BC < AD + DE + EC
AB + BC < AD + DC
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Lignes brisées.
Corollaire: Le périmètre d’une ligne
brisée fermée et convexe est moindre
que le périmètre de toute ligne brisée
fermée qui l’enveloppe complètement
(preuve par induction).
10
Triangles.
• Un triangle est la figure formée par
une ligne brisée fermée de trois
côtés.
• Dans tout triangle on distingue trois
côtés et trois angles.
• Un angle extérieur d’un triangle est
un angle formé par un côté
quelconque et le prolongement de
l’un des deux autres.
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Triangles. Triangle remarquables.
• Un triangle est rectangle lorsqu’il a un
angle droit. On appelle hypoténuse le côté
opposé à l’angle droit.
• Un triangle est équilatéral quand ses trois
côtés sont égaux.
• Un triangle est isocèle quand il a deux
côtés égaux.
• Propriétés: Chaque côté d’un triangle est
•
•
plus petit que la somme de deux autres et
plus grand que leur différence
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Triangles. Droites remarquables
d’un triangle.
• La base d’un triangle est un des trois
côtés pris à volonté.
• La hauteur issue du sommet A du
triangle ABC est la droite passant par le
sommet A et perpendiculaire au côté
opposé BC.
• La médiane dans un triangle est la droite
issue d'un sommet qui coupe le côté
opposé en son milieu.
• La bissectrice est la droite qui coupe un
angle en deux angles égaux.
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Triangles. Droites remarquables
d’un triangle (suite).
• La médiatrice est la droite qui coupe un
côté du triangle perpendiculairement en
son milieu.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediadef.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediap1.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediap2.html
• Théorème: Les trois médiatrices d’un
triangle se rencontrent au point commun,
qui est un centre du cercle circonscrit du
triangle.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdmediatrice.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtmediatrice.html
14
Triangles. Triangle isocèle.
• Théorème: Dans un triangle isocèle ABC
les angles opposés aux côtés égaux sont
égaux.
• Réciproque: Si deux angles TB et TC d’un
triangle ABC sont égaux, les côtés AC et
AB, opposés à ces angles sont aussi égaux
et le triangle est isocèle.
• Corollaire: Un triangle équilatéral est
équiangle; réciproquement, un triangle
équiangle est équilatéral.
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Triangles. Triangle isocèle (suite).
• Théorème: Dans un triangle isocèle
ABC la bissectrice AD est à la fois
hauteur, médiane et médiatrice de la
base.
• Réciproque: Un triangle ABC est
isocèle
• Si une droite AD y est à la fois médiane
et hauteur.
• Si une droite AD y est à la fois
bissectrice et hauteur.
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Égalité de triangles.
• Deux triangles sont égaux s’ils
peuvent coïncider par superposition.
Alors les trois côtés de l’un sont
respectivement égaux aux trois côtés
de l’autre, les trois angles de l’un sont
respectivement égaux aux trois
angles de l’autre. Les éléments
respectivement égaux sont dits
correspondants ou homologues.
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Sens d’un triangle.
• Dans un triangle ABC les trois angles
TABC, TBCA et TCAB sont de même sens.
• On dit que deux triangles ABC, A’B’C’ sont
de même sens s’ils ont deux angles
homologues TABC et TA’B’C’ de même
sens; ils sont de sens contraire si les angles
TABC et TA’B’C’ sont eux-mêmes de sens
contraires.
• Si deux triangles sont de sens contraires, il
suffit de retourner l’un d’eux pour les
amener à être de même sens.
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Égalité de triangles (1). Théorème
ACA.
• Deux triangles sont égaux
(congrus) lorsqu’ils ont un côté égal
adjacent à deux angles
respectivement égaux.
19
Égalité de triangles (2). Théorème
CAC.
• Deux triangles sont égaux
(congrus) lorsqu’ils ont un angle
égal compris entre deux côtés
respectivement égaux.
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Égalité de triangles (3). Théorème
CCC.
• Deux triangles sont égaux
(congrus) lorsqu’ils ont trois côtés
respectivement égaux.
21
Égalité de triangles. Problèmes.
•
Problème 1: En un point donné D d’une droite DE,
construire un angle égal à un angle donné.
http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=reprod_angle.xml
•
Problème 2: Construire la bissectrice d’un angle
donné.
http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=bissectrice-2.xml
•
•
•
Problème 3: Construire un triangle connaissant un
côté et les deux angles adjacents à ce côté.
Problème 4: Construire un triangle connaissant
deux côtés a, b et l’angle compris C.
Problème 5: Construire un triangle connaissant
trois côtés a, b, c.
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Égalité de triangles rectangles.
• Théorème : Deux triangles rectangles sont
égaux lorsqu’ils ont l’hypoténuse égale et un
angle aigu égal.
• Théorème : Deux triangles rectangles sont
égaux lorsqu’ils ont l’hypoténuse égale et un
autre côté égal.
• Théorème : Le lieu géométrique des points
équidistants de deux droites concourantes x’x
et y’y se compose de deux droites
perpendiculaires qui sont les bissectrices des
angles formés par x’x et y’y.
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Correspondance entre les angles et
les côtés.
• Théorème: À un plus petit angle
d’un triangle est opposé un plus
petit côté.
• Réciproque: À un plus petit côté
d’un triangle est opposé un plus
petit angle.
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