reflexion et refraction d`une onde electromagnetique quelconque sur
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RÉFLEXION ET RÉFRACTION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNETIQUE QUELCONQUE SUR UNE INTERFACE PLANE DIFFUSION PAR UNE SPHERE CONDUCTRICE LA THEORIE DE MIE BELICOURT Claire FORMULATION DU PROBLEME 2 milieux linéaires, homogènes, isotropes Interface z = z0 Source dans milieu 1 champ électromagnétique incident à l’interface Champs réfléchis ? Transmis ? Formulation des champs à partir de soit le champ incident soit sa source. x Milieu 2 Milieu 1 source i E 0 y z z0 RÉFLEXION ET RÉFRACTION Propagation dans les milieux linéaires isotropes sans charges Maxwell : div D div B 0 1 B rot E c t D rot H t Avec D E 1 H B Solutions de type ondes planes progressives en notation complexe q i ( k q . r wt ) V (r , t ) Re V0 e q Superposition d’ondes planes Transformée de Fourier ia q q ˆ V (r , t ) Re V (r , w)e iwt dw q q q q i k .r ia ˆ V ( r , w ) V ( k , w) e dk x dk y avec 0 - ONDES TRANSVERSES (1) divE divB 0 pour le milieu 2 (sans source) k .E k .B 0 q q 0 q q 0 E0q q 0 B k q Les ondes électromagnétiques sont transverses On décompose les champs en 2 vecteurs de base orthogonaux dans le plan perpendiculaire à k q E0q (k q , w) E0TMq E0TEq Comme B0q (k q , w) De façon générale : c q q q TMq TEq k E0q (k q , w) B0 (k , w) B0 B0 w Vˆ q (r , w) Vˆ TMq Vˆ TEq ONDES TRANSVERSES (2) Avec q pq q i k Vˆ (r , w) V0 (k , w) e .r dkx dky pq Les champs électromagnétiques E et B sont ainsi exprimés en fonction de 2 potentiels scalaires, les potentiels de Whittaker q ou d’Hertz, notés ˆ j (r , w) Ê TEq = superposition d’ondes planes de polarisation perpendiculaire au plan contenant k Ê TMq = superposition d’ondes planes de polarisation parallèle au plan contenant k CONDITIONS AUX LIMITES Milieu 2 sans charges ni courant : DN 2 DN1 n12 0 ET2 ET1 0 BN 2 BN1 0 H T2 H T1 js n12 0 V (k , k , w) e 4 équations pour déterminer les coefficients de Fresnel x y i (kx xk y y ) dk x dk y 0 COEFFICIENTS DE FRESNEL(1) Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence : Onde TE, transverse électrique E0TEr 2 k z1 1k z2 R TEi E0 2 k z1 1k z2 2 2 k z1 E0TEt T TEi E0 2 k z1 1k z2 COEFFICIENTS DE FRESNEL(2) Onde incidente polarisée parallèlement au plan d’incidence : Onde TM, transverse magnétique TMr 0 TMi 0 E E TMt 0 TMi 0 E E 22 1k z 12 2 k z 2 R// 2 2 1k z 1 2 k z 1 2 1 2 2 12 2 k z1 2 T// 2 2 1 2 1k z 1 2 k z 1 2 SOLUTIONS EXACTES c 2 TEr i r ik r .r ~ ˆ E (r , w) 1 R 2 k eˆz e dk x dk y w t c TEt 2 i t ik ~ Eˆ (r , w) 1 T 2 k eˆz e .r dk x dk y w TMr i r r ik r .r ~ ˆ E (r , w) R k (k eˆ )e dk dk 1 TMt ˆ E (r , w) 2 // 1 z x y i t t ik t .r ~ T//1 k (k eˆz )e dk x dk y c pq pq ˆ ˆ B (r , w) i rot E (r , w) w DIFFUSION PAR UNE SPHÈRE : LA THÉORIE DE MIE Onde plane monochromatique, polarisée linéairement Sphère de rayon a dans milieu homogène isotrope non conducteur x ρ E(i) r Ә a Milieu I z i r E E E pour milieu I t pour milieu II EE II Il faut résoudre les équations de Maxwell en coordonnées sphériques, pour les champs E et H ONDES TE ET TM Solution des équations = superposition de 2 champs linéaires indépendants tels que : Er Er onde TM onde électrique e H r 0 m Er 0 onde TE onde magnétique m H r H r e Potentiels de Debye, solutions de l’équation d’onde : 2 k 2 0 Problème de diffraction = 2 solutions indépendantes de l’équation d’onde en coordonnées sphériques SÉPARATION DES VARIABLES Théorie de Mie = séparer les variables pour résoudre l’équation d’onde en sphériques R(r )( )( ) 3 équations indépendantes : ED linéaire 2ème ordre am cos( m ) bm sin( m ) Harmonique s sphériques fonctions de Legendre : Pl ( m ) (cos ) ème 3 1 équation équation de Bessel R Z 1 (kr) kr l 2 Avec Z : fonction cylindrique générale = combinaison linéaire de 2 fonctions cylindriques : fonctions de Bessel J et fonctions de Neumann N
