Le programme de Hilbert

Logique et raisonnement
scientifique
Hilbert, Tarski, Gödel

Le programme de Hilbert
les problèmes viennent de l’infini

Le programme de Hilbert
«Certes Weierstrass a éliminé de l’Analyse
l’infiniment petit et l’infiniment grand puisque les
propositions portant sur ces objets ont été réduites
par lui à l’énoncé de rapports entre des grandeurs
finies. Mais l’infini continue d’être présent : il prend la
forme de suites infinies de nombres qui définissent
les nombres réels, ou bien il est sous-jacent à la
notion de système des nombres réels conçue
comme une totalité achevée et fermée.

Le programme de Hilbert
Or dans la reconstruction même de l’analyse de
Weierstrass, on se donne le droit d’utiliser à fond et
d’itérer à volonté les formes d’inférence logique dans
lesquelles s’exprime cette conception des totalités :
c’est le cas, par exemple, lorsqu’on parle de tous les
nombres réels qui ont une certaine propriété, ou bien
encore lorsqu’on dit qu’il existe des nombres réels
ayant une certaine propriété.

Le programme de Hilbert
Dans les processus de passage à la limité du calcul
infinitésimal, l’infini au sens de l’infiniment grand ou de
l’infiniment petit s’est révélé constituer une simple manière de
parler : de même nous devrons reconnaître dans l’infini au sens
de totalité infinie, partout où il joue encore un rôle dans les
inférences, quelque chose de purement fictif.
De même que les opérations portant sur l’infiniment petit ont
été remplacées par des processus qui accomplissent la même
fin et conduisent à des rapports formels aussi élégants tout en
se situant à l’intérieur de la sphère du fini, les inférences qui
utilisent l’infini sont à remplacer par des processus finis qui
accompliront exactement la même fin c’est-à-dire permettront
les mêmes démarches dans les démonstrations et les mêmes
méthodes d’obtention des formules et des théorèmes.