Chap3 - WordPress.com

Université Abou Bakr Belkaid
Faculté des Sciences
Département d’informatique
Algorithmique Avancée et Complexité
Chap3:Diviser pour Régner
RSD -GL
2015-2016
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Principe
Diviser :
le problème en un certain nombre de
sous-problèmes .
Régner :
sur les sous-problèmes en les
résolvant récursivement , si la taille d’un sousproblème est assez réduite,le résoudre directement ;
Combiner :
les solutions des sous-problèmes
en une solution complète du problème initial.
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Exemple
MULTIPLIER-MATRICES(A, B)
Soit n la taille des matrices carrés A et B
Soit C une matrice carré de taille n
Algorithme Classique
Pour i =1 à n faire
Pour j= 1 à n faire
cij:= 0
Pour k =1 à n faire
cij:= cij+ aik bkj
renvoyer C
La complexité de cet algorithme est θ(n3) .
3
Exemple :multiplication naïve de matrices


Algorithme « diviser pour régner »
on suppose que n est une puissance exacte de 2.
on décompose les matrices A, B et C en sousmatrices de taille n/2*n/2. L’équation C = A*B
peut être ecrit:

aprés développement de cette équation, nous obtenons :

Puisque l’addition des matrices carrés de taille n/2 est Q(n2).
4
Complexité
• La complexité d’un algorithme « diviser pour régner » se décompose
suivant les trois étapes du paradigme de base :
1. Si la taille du problème est suffisamment réduite, n  c pour une certaine
constante c, la résolution est directe et consomme un temps constant Q (1)
2. Sinon, on divise le problème en a sous-problèmes chacun de taille 1/b de
la taille du problème initial. Le temps d’exécution total se décompose alors
en trois parties :
(a) D(n) : le temps nécessaire à la division du problème en sousproblèmes.
(b) aT(n/b) : le temps de résolution des a sous-problèmes.
(c) C(n) : le temps nécessaire pour construire la solution finale à
partir des solutions aux sous-problèmes.
5
Complexité

La relation de récurrence prend alors la forme :

où l’on interprète n/b soit comme
,soit comme
6
Complexité
7
Exemple1





multiplication naïve de matrices
a=8,b=2 f(n) =θ(n²)
Appliquons le théorème précédent:
log a=3  cas 1
ξ =1  T(n)= θ(n3) donc rien ne
change
b
8
Exemple1

Algorithme de Strassen pour la multiplication de matrices
p1
p3
p5
p7
=
=
=
=
a(g – h)
(c + d)e
(a + d)(e + h)
(a - c)(e + g)
p2 = (a + b)h
p4 = d(f - e)
p6 = (b - d)(f + h)
r = p5 + p4 - p2 + p6
s = p1 + p2
t = p3 + p4
u = p5 + p1-p3 - p7
7 multiplication et 18 addition
T(n) = 7T(n/2)+θ(n²).
T(n)= θ (nlog27) ~ θ (n2.8 )
Donc  meilleur que l’algorithme classique
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Exemple Tri par fusion
Principe
L’algorithme de tri par fusion est construit suivant le paradigme
« diviser pour régner » :
1. Il divise la séquence de n nombres à trier en deux sousséquences de taille n/2.
2. Il trie récursivement les deux sous-séquences.
3. Il fusionne les deux sous-séquences triées pour produire la
séquence complète triée.
La récursion termine quand la sous-séquence à trier est de
longueur 1 car une telle séquence est toujours triée.
10
Exemple Tri par fusion
Diviser Fusionner
11
Exemple Tri par fusion

FUSIONNER(A, p, q, r)
i :=p
j :=q+1
Soit C un tableau de taille r- p+1
K:= 1
tant que i≤ q et j ≤ r faire
si A[i] < A[ j] alors C[k] :=A[i]
i :=i+1
sinon C[k] :=A[ j]
J:= j+1
K:= k+1
tant que i ≤ q faire C[k]:= A[i]
i :=i+1
K:= k+1
tant que j ≤ r faire C[k] :=A[ j]
j :=j+1
k :=k+1
pour k :=1 à r- p+1 faire
A[p+k-1] :=C[k]
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Exemple Tri par fusion
Étudions les différentes étapes de l’algorithme :
– les initialisations ont un coût constant θ(1) ;
– la boucle tant que de fusion s’exécute au plus r- q fois, chacune de ses
itérations étant de coût constant, d’où un coût total en θ(r-q) ;
– les deux boucles tant que complétant C ont une complexité respective au
pire de q- p+1 et de r-q, ces deux complexités étant en θ(r- p) ;
– la recopie finale coûte θ(r- p+1).
Par conséquent, l’algorithme de fusion a une complexité en θ(n)
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Complexité Tri par fusion
• Pour déterminer la formule de récurrence qui nous donnera la
complexité de l’algorithme TRI-FUSION, nous étudions les trois
phases de cet algorithme « diviser pour régner » :

Diviser : cette étape se réduit au calcul du milieu de
l’intervalle [p..r] sa complexité est donc en θ(1).

Régner : l’algorithme résout récursivement deux sousproblèmes de tailles respectives n/2

Combiner : la complexité de cette étape est celle de
l’algorithme de fusion qui est de θ(n) pour la construction
d’un tableau solution de taille n.
14
Complexité Tri par fusion

Par conséquent, la complexité du tri par fusion
est donnée par la récurrence :

Pour déterminer la complexité du tri par
fusion, nous utilisons de nouveau le théorème.
• Ici a=2 et b=2 donc logba =1, et nous nous trouvons dans le deuxième
cas du théorème
• par conséquent :
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Complexité Tri par fusion

Pour des valeurs de n suffisamment grandes, le
tri par fusion avec son temps d’exécution en
Q(nlogn)est nettement plus efficace que le tri
par insertion dont le temps d’exécution est en
Q(n2).
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AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS



L'avantage  résolution des pièces plus réduites
du même problème par le même code.
dépassement des ressources autorisées.
Le temps d'exécution est plus long à cause de
sauvegarde et de récupération des tâches sur la
pile.
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