Transparents sur le prédimensionnement

LELEC 2670
Sources d’énergie électrique renouvelables ou non
conventionnelles
Deuxième cours : prédimensionnement d’une
installation photovoltaïque
E. Matagne : [email protected]
E. De Jaeger : [email protected]
P. Jacques : [email protected]
http://perso.uclouvain.be/ernest.matagne/ELEC2670/INDEX.HTM
http://perso.uclouvain.be/ernest.matagne/SOLAIRE/INDEX.HTM
2014- Université catholique de Louvain
Un peu de vocabulaire
2014- Université catholique de Louvain
L’élément de base est la cellule photovoltaïque,
composant électronique qui a la forme d'une plaque mince. Cette
plaque est constituée d'une jonction entre deux couches semiconductrices
(ou entre une plaque métallique et une couche semiconductrice). Chaque
couche est reliée à un conducteur électrique, de sorte que l'on dispose de
deux fils pour relier la cellule à un circuit électrique extérieur.
 Les cellules sont regroupées en usine en modules. La fabrication des
modules n’est pas abordable par un particulier (étanchéité …..). Comme
chaque cellule ne fournit qu’une tension faible, elles sont connectées en
série à l’intérieur des modules.
 Plusieurs modules fixés côte à côte dans un même plan forment un
panneau.
 Un ensemble de modules connectés en série est un « string »
 L’ensemble des panneaux appartenant à une installation est un champ
photovoltaïque.
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2014 - Université catholique de Louvain
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2014 - Université catholique de Louvain
Prédimensionnement d’une installation
photovoltaïque
2014- Université catholique de Louvain
Cas d’une installation reliée au réseau public
Le dimensionnement d’une installation reliée au réseau public est un problème qui
dépend essentiellement des aides apportées par les pouvoirs publics. Actuellement, le
moment de la production n’a pas d’importance (pour le producteur).
Si le bénéfice (aides comprises) était proportionnel à la quantité d’énergie renvoyée au
réseau, l’optimum consisterait soit à ne rien faire, soit à utiliser toute la surface
disponible …. Mais, en fait, les aides ne sont pas proportionnelles à la puissance
installée, ni à l’énergie produite. Dans l’optimisation économique, il y deux pivots
importants correspondant à une modification des aides, l’un fixe (compté en puissance
installée) et l’autre correspondant à la consommation (annuelle) de l’entité (en énergie
réelle).
Le choix des modules dépend des circonstances
• S’il existe une surface disponible non utilisée, le choix des modules se fera
essentiellement sur le rapport entre leur prix (installation comprise) et leur puissance
(nominale et réelle)… le rendement des modules a peu d’importance (un mauvais
rendement n’a pour conséquence que l’utilisation d’une surface plus grande)
• Par contre, si toute la surface disponible est utilisée, l’optimum technico-économique
conduira à utiliser des modules photovoltaïques ayant un meilleur rendement.
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Comme, actuellement, l’énergie photovoltaïque produite peut être
revendue au réseau public au même prix que celui auquel il achète
l’énergie (cas du compteur qui peut tourner dans les deux sens), le
propriétaire de l’installation n’a aucun intérêt à la munir de batteries (sauf
s’il veut se prémunir contre les coupures du réseau public). En fait, le
réseau public lui sert de batterie !
Par contre, l’optimum social pourrait comporter des batteries, afin de
pouvoir renvoyer au réseau de l’énergie au moment où ce dernier en
manque.
Nous n’étudierons pas d’avantage le cas des installations reliées au
réseau public, quitte à en parler brièvement à propos de l’étude du
dimensionnement d’une installation isolée.
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Cas d’une installation isolée
On utilise la loi de conservation de l’énergie.
Trois démarches à effectuer
 Estimer la quantité d'énergie à fournir en un laps de temps fixé (1 mois ?)
 Estimer les possibilités réelles des modules solaires utilisés (en le même
laps de temps !)
 Comparaison des deux estimations : le rapport n’est autre que le nombre
minimum de modules nécessaires.
Nous nous contenterons cette semaine de ce calcul approché (c’est un
prédimensionnement), mais complété par la liste des hypothèses et des
approximations de calcul qui pourraient être améliorées par la suite. Ce calcul
approché (prédimensionnement) est cependant important pour pouvoir estimer la
faisabilité d'un projet avant d'en entreprendre l'étude complète.
t2
Rappel :
w   p dt
t1
On utilise souvent l’heure comme
unité de temps. On calcule ainsi
l’énergie en Wh (watt heure).
1 Wh = 3600 J (joule)
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Estimation de la consommation
En électricité, on a
p=ui
Dans le cas du courant alternatif, à condition que l’échelle de
temps considérée soit grande par rapport à la période T, on
peut utiliser
t2
w   P dt
t1
où la puissance active P vaut, dans le cas de grandeurs sinusoïdales,
 en monophasé
P = U I cosj
 en triphasé
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On a intérêt à réduire la consommation par le
Choix des appareils consommateurs
 Pour une quantité de lumière fournie identique, une ampoule à incandescence
consomme environ 5 fois plus de puissance qu'un tube TL ou une ampoule
"économique" (en fait moins économique qu'un tube TL puisque le ballast est
jetable). Les LEDs ont un rendement encore meilleur.
 Un frigo bien isolé consomme moins qu'un frigo "normal".
On évitera les appareils qui transforment l'énergie électrique en chaleur puisque la
production de chaleur à partir de l'énergie solaire peut s'effectuer avec un meilleur
rendement (et un coût moindre) par des panneaux solaires thermiques. Donc, le
système de chauffage des lave-linges devrait être remplacé par une arrivée d'eau
chaude. De même, pour être acceptable dans ce cadre, le fonctionnement des
sèche-linges devrait être revu.
Note : le chauffage électrique par pompe à chaleur est envisageable car le
rendement (COP) atteint alors plusieurs centaines de pourcent, ce qui compense
le mauvais rendement des modules photovoltaïques.
On peut cependant se demander si le recours à une pompe à chaleur se justifie
dans le cas d’une maison passive, vu la faible puissance nécessaire.
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Attention à l’utilisation des appareils !
Dans le cas d’un frigo, la consommation indiquée par le fabriquant est une
consommation correspondant à une utilisation normale (il convient de définir ce
que l'on entend par là). S'il a été prévu de n'ouvrir le frigo à vaccins que deux fois
par jour, mais qu'on l'ouvre toutes les 10 minutes pour y placer et en retirer des
canettes de bière, la consommation sera nettement plus élevée que prévu !
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Comment se décide le choix d’un appareil ?
 Calcul économique. Le prix de l'énergie consommée est essentiel dans ce
calcul. Actuellement, l'énergie solaire est très chère comparée à l'énergie fournie
par le réseau électrique public, de sorte que l'on a tout particulièrement intérêt à
choisir des appareils peu gourmands dans le cas d'une alimentation électrique
solaire. C'est une des raisons pour laquelle on trouve sur le marché des "frigos
solaires" et autres appareils conçus spécialement pour cette application.
Le prix de l'énergie n'est pas le seul élément dont il faut tenir compte dans un
calcul économique : il faut aussi prendre en compte la durée d'utilisation de
l'appareil, sa durée de vie, le taux d'amortissement des investissements, la
possibilité de récupérer la chaleur dégagée lors du fonctionnement.
Une prise de décision basée sur un calcul économique suppose que l'on ait
calculé le prix (marginal) de l'énergie fournie par l'installation solaire.
 Autres critères tels que l'encombrement (un frigo bien isolé thermiquement est
plus gros qu'un autre de même volume utile), la qualité du service (certains
trouvent la lumière des lampes "économiques" trop crue), l'esthétique (peu de
personnes utilisent des tubes TL dans leur salon).
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La consommation peut dépendre du Soleil et des conditions météo !
 Heures de lever et de coucher du soleil dans le cas de l’éclairage (voir
programme sur le site solaire)
 Heure civile pour les applications régies par l’activité humaine (en Belgique,
GMT +1 l’hiver et GMT +2 l’été)
 Température extérieure et éclairement solaire dans le cas du chauffage et de
la climatisation
 De l’éclairement solaire dans le cas de l’éclairage
Remarques :
Plutôt que de calculer l’énergie totale consommée en un laps de temps, il revient au
même de calculer la puissance moyenne
On utilise parfois la méthode des sous-intervalles type :
 Pour calculer la consommation mensuelle, prendre celle du 15 du mois
 Pour calculer la consommation annuelle, prendre celle d’une journée d’équinoxe.
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On peut calculer l’énergie à un niveau non électrique
Exemple en pompage :
hauteur * poids de l’eau pompée / rendement
Attention, le rendement dépend de la façon dont travaille
l’installation. Il peut être moins bon à puissance réduite. Le
calcul de l’énergie électrique n’est donc qu’approximatif !
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L’énergie que le champ photovoltaïque devra produire est plus élevée
que l’énergie consommée pour plusieurs raisons
• rendement limité des accumulateurs
• rendement limité des convertisseurs électroniques de puissance
présents entre les modules photovoltaïques et l’utilisation
• consommation des dispositifs auxiliaires
• pertes d’énergie dans les connexions (effet Joule)
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Pour ce qui est des batteries, on distingue le rendement en charge
et le rendement en énergie. Pour rappel, on a
dw = dq u , soit, SI la tension reste constante, W = Q U
Le rendement en énergie est plus faible que le rendement en
charge car la charge est restituée sous une tension plus faible que
lors de son accumulation.
Le rendement dépend fortement des conditions d’utilisation de la
batterie. Un ordre de grandeur est de 80%.
Heureusement, la partie de l’énergie qui est consommée lorsque
l’éclairement est fort ne passe pas par les batteries. On va donc
séparer la « consommation de jour - … » et la « consommation de
nuit + … »
w’consommée = wconsommée 1 + wconsommée 2 / hbatteries
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Les convertisseurs électroniques de puissance sont utilisés pour adapter les niveaux de
tension du champ photovoltaïque et des utilisateurs, ainsi que pour transformer le
courant continu en courant alternatif lorsque c’est nécessaire (pour renvoi au réseau
public ou utilisation d’appareils grand public).
Le rendement à considérer n’est pas le rendement nominal car ces convertisseurs
fonctionnent la plupart du temps à puissance réduite.
• Pour les convertisseurs utilisés au rythme de la production des modules, on a défini le
« rendement européen » qui est un rendement moyen correspondant à un profil de
puissance censé correspondre à un profil d’éclairement typique de l’Europe. L’ordre de
grandeur de ce rendement est +/- 90 à 94 % pour les onduleurs, un peu plus pour les
convertisseurs DC/DC.
• Pour les convertisseurs fonctionnant au rythme de la consommation, il faut utiliser
une autre moyenne.
On doit corriger le calcul de la page précédente en utilisant au bon endroit
Wentrée = Wsortie/ hmoyen
Attention aussi à la consommation des convertisseurs en stand-by !
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Les installations comportent souvent des dispositifs de régulation,
de surveillance, voire d’enregistrement des données.
On utilisera de préférence des systèmes à faible consommation :
gérer l’installation à l’aide d’un PC n’est pas la meilleure solution
de ce point de vue.
Il ne faut pas oublier d’ajouter la consommation des auxiliaires au
bon endroit par rapport aux calculs des pages précédentes.
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Comme l’énergie photovoltaïque est chère, on essaie de réduire les
pertes au maximum. On utilise donc souvent des conducteurs d’une
section plus grande que celle qui est nécessaire pour éviter leur
échauffement.
Les pertes ohmiques sont proportionnelles au carré du courant. Il faut
donc connaître le profil dans le temps de l’énergie transmise et la
tension sous laquelle elle est transmise pour pouvoir évaluer ces
pertes… et corriger le calcul des pages précédentes.
WJoule   R i 2 dt
Ordre de grandeur de ces pertes : 1% de l’énergie transmise
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Première estimation de la puissance
disponible par module
La principale caractéristique d'un module photovoltaïque est sa puissance nominale
(appelée improprement puissance de crête du fait qu'elle n'est dépassée que très
rarement).
Cette puissance correspond à des conditions normalisées. Il s'agit notamment, selon
les normes internationales,
 d'un rayonnement solaire de 1000 W / m2 ,
 d'une température interne des cellules de 25°C ,
 d'un spectre du rayonnement AM 1.5
Lors des comparaisons entre différents modules, il faut veiller à ce que leur puissance
nominale soit définie dans les mêmes conditions.
Par exemple, certains vendeurs font référence à des conditions normalisées
différentes, comme un rayonnement solaire de 1200 W/m2 , ce qui leur permet
d'afficher pour le même module une puissance nominale plus élevée !
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Quoi qu'il en soit, la puissance moyenne réellement fournie par un module est toujours
très inférieure à sa puissance nominale, car même les conditions nominales des
normes internationales sont très optimistes par rapport aux situations réelles.
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Prédimensionnement (presque) sans calcul
Pour tenir compte des conditions réelles d’utilisation des modules, on
définit un facteur d’utilisation, rapport entre l’énergie réellement produite
par les modules et l’énergie qu’ils auraient produit en conditions
optimales.
Ce facteur d’utilisation dépend de nombreux facteurs. On peut cependant
éviter (presque) tout calcul si on dispose d’une détermination
expérimentale faite sur une installation similaire, c’est-à-dire
• même période de temps (un an, un hiver, un mois)
• même situation géographique
• même orientation et inclinaison des panneaux
• même type de module et de gestion de la tension de fonctionnement
• cycles de fonctionnement très semblables (ne pas comparer une
installation de pompage avec une installation d’éclairage)
• énergie déterminée au même endroit de l’installation (sortie du champ
photovoltaïque ou énergie nette fournie aux consommateurs ?)
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2014 - Université catholique de Louvain
Le facteur d’utilisation est un nombre sans dimension.
L’énergie disponible pour un module est le produit
• de la puissance nominale du module
• de son facteur d’utilisation compte tenu de son environnement
• de la durée de la période de temps considérée
La valeur du facteur d’utilisation est faible. Pour le nord de la France, on obtient
couramment moins de 10%.
Heureusement, le calcul est souvent organisé d’une façon qui évite au client cet
effet psychologique négatif !
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Il est commode d’exprimer le facteur d’utilisation sous la forme d’un
temps. Il faut en réalité le comprendre comme exprimé en
• en heures / jour
(valeur 24 fois plus grande !)
• en heures / mois
(valeur 730.5 fois plus grande !)
• en heures / an
(valeur 8766 fois plus grande !)
selon la durée considérée.
Il suffit alors de multiplier la puissance nominale (en W) par le facteur
d’utilisation (en heures / …) pour obtenir l’énergie fournie par un
module (en Wh ) durant la période considérée.
Pour obtenir le nombre de modules nécessaire, il reste à diviser
l’énergie nécessaire par l’énergie produite par un module.
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On peut aussi calculer directement la puissance nominale totale de
l’installation en divisant l’énergie nécessaire par la durée considérée et
par le facteur d’utilisation.
Quand on utilise cette méthode, on préfère souvent déterminer l’inverse
du facteur d’utilisation, auquel cas on obtient la puissance nominale totale
du champ en multipliant l’énergie nécessaire (pour une durée donnée) par
ce facteur. Ici aussi, on peut rencontrer plusieurs variantes selon la
dimension dans laquelle est exprimé l’inverse du facteur d’utilisation (sans
dimension, en jour/heure, en mois/heure, en an/heure… ).
Si le facteur d’utilisation ou son inverse est obtenu à partir d’une notice de
vendeur ou d’une page Internet, il est difficile de savoir dans quelles
conditions il a été déterminé (tient-il compte des pertes dans les
convertisseurs, quel est le type de module, leur inclinaison …). Il est donc
normal de rechercher une méthode de calcul plus rigoureuse.
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Prédimensionnement utilisant la valeur de
l’éclairement énergétique moyen (insolation)
Il n’est pas facile de trouver des données expérimentales relevées sur
une installation comparable à l’installation envisagée.
On trouve plus facilement des cartes donnant l’énergie reçue du soleil par
m2 en fonction de la situation géographique. Ces cartes sont établies
pour une certaine période (un an, le mois le plus défavorable…), une
inclinaison donnée des panneaux (souvent égale à la latitude, la latitude +
10° ou la latitude + 15°) et une orientation donnée (en général plein sud).
L’énergie reçue en un temps donné est l’insolation (irradiation en
anglais),
A titre d'exemple, l’insolation sur un plan horizontal est pour le Benelux
de 1000 kWh/m2/an . Sur un plan orienté vers le sud et incliné de façon à
rendre cette insolation aussi élevée que possible, elle est, pour le
Benelux, de 1130 kWh/m2/an [J. Nijs].
En multipliant l’insolation par la surface du module et son rendement réel
moyen, on obtient l’énergie fournie par un module (pendant la période de
temps considérée, soit un an, un mois ou …, pour dresser la carte !).
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On peut aussi diviser l’énergie nécessaire (pendant la période
considérée) par le rendement réel des modules et la valeur tirée de
la carte, et obtenir la surface du champ photovoltaïque nécessaire.
L’estimation du rendement réel des modules est donc une étape
cruciale.
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Calcul du rendement
Il est facile de calculer le rendement des modules en conditions nominales.
Pour cela, il suffit de diviser leur puissance nominale par la puissance solaire
reçue dans des conditions nominales, c'est-à-dire la valeur nominale du
rayonnement multipliée par la surface du module. Le rendement ainsi calculé
est, pour de bons modules commerciaux actuels, de l'ordre de 13%....18%
Pour trouver le rendement réel, ce rendement doit être revu à la baisse pour
toute une série de raisons.
 présence de poussières (facteur 0.94),
 rayons incidents obliques moins bien absorbés que les rayons normaux à la
surface (réflexion sur le verre protecteur et sur les cellules),
 rendement moins bon à éclairement inférieur qu’à l’éclairement nominal,
spectre lumineux moins favorable que le spectre normalisé utilisé pour la
définition du régime nominal,
 Le rendement diminue à faible éclairement
 Quand l’éclairement est suffisant pour avoir une production significative, la
température interne des cellules est en général supérieure à la température
de 25°C considérée pour la définition du régime nominal, et leur rendement
est plus faible dans ces conditions (facteur 0.8).
 dans certaines installations, les modules ne sont pas utilisés à leur tension
optimale ou la tension optimale n’est réalisée que de façon approchée.
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Dans le cas de cartes destinées au dimensionnement d’installations
photovoltaïque, l’énergie reçue du Soleil est souvent exprimée en heures. Il
faut alors comprendre le nombre d’heures nécessaire pour obtenir la même
énergie (sous-entendu pour la période considérée) sous un éclairement de
1000 W/m2 .
Il ne faut pas confondre cette notion avec celle d'ensoleillement, qui
indique le nombre d'heures pendant lesquelles le Soleil était visible !
Les cartes d’ensoleillement ne sont pas utilisable pour le
prédimensionnement : ensoleillement ≠ insolation
Il suffit de multiplier la valeur indiquée sur la carte par la puissance
nominale du module pour trouver l’énergie (en Wh) que fournirait le module
s’il était utilisé en conditions standard (25°c, spectre AM 1.5, surface
parfaitement propre).
Inversement, en divisant l’énergie nécessaire par la valeur indiquée sur la
carte et par la puissance nominale du module, on trouve directement un
nombre de modules.
Il ne faut pas oublier de corriger ces résultats pour tenir compte des
pertes de rendement citées dans le transparent précédent.
Les notices des vendeurs ne mentionnent pas toujours ce fait !
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Coefficient de sécurité
On notera que les valeurs numériques utilisées dans les calculs de
prédimensionnement sont très approximatives.
Si ces valeurs, ou d'autres aussi peu certaines, sont utilisés, il sera prudent
d'incorporer au calcul simplifié exposé ci-dessus un facteur de sécurité d'au plus
0.8 (soit une nouvelle réduction de 20% au moins sur l'estimation de l'énergie
fournie par un module).
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Critique du calcul fait sur de longues durées
du point de vue des batteries
Le temps qui peut s'écouler entre l'instant où une batterie reçoit de l'énergie et le moment
où elle la restitue ne peut pas être trop long. Par exemple, il serait généralement absurde
de charger une batterie en été pour utiliser son énergie en hiver. Comme la durée de vie
d'une batterie solaire est de l'ordre de 5 ans, cela signifierait en effet que la batterie ne
servirait que 5 fois... dans ces conditions, autant acheter 5 piles non rechargeables. On
pourrait même dans ce cas réduire la taille du champ photovoltaïque, puisque celui-ci
n'aurait plus à recharger les batteries !
Le fait que la taille des batteries est limitée conduit normalement à faire le
dimensionnement pour des durées plus courtes qu’un an, par exemple pour le mois le
plus défavorable.
Le raisonnement peut cependant être mis en défaut pour de petits
dispositifs qui ne peuvent pas nécessiter d'entretien… mais gare à la
taille de la batterie et à son autodécharge.
30
Même ainsi, le prédimensionnement ne permet pas de tenir compte du comportement
réel des batteries. En effet, les phénomènes qui se déroulent dans les batteries
(autodécharge, résistance interne…) dépendent de leur état (état de charge,
température….). Il faudrait donc une simulation temporelle à petite échelle de temps
pour en tenir compte de façon réaliste.
2014 - Université catholique de Louvain
Estimation de la taille des batteries
Certaines installations photovoltaïques ne comportent
pas de batteries.
C'est notamment le cas des installations qui fournissent de l'énergie au
réseau public si le prix de l'énergie est le même à tout moment (dans le cas
contraire, on pourrait avoir intérêt à stocker l'énergie quand elle est trop bon
marché pour la livrer au moment où elle a plus de valeur).
Un autre exemple typique est l'exemple du pompage, car il est plus
intéressant de stocker une réserve d'eau plutôt qu'une réserve d'énergie.
Un autre exemple est celui des installations de climatisation, encore qu'il
est intéressant de stocker un peu d'énergie pour garder l'installation en
fonctionnement en fin d'après-midi.
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2014 - Université catholique de Louvain
Dans la majorité des cas, pourtant, une installation photovoltaïque isolée
comporte des batteries pour pouvoir satisfaire la demande d'énergie pendant
la nuit et pendant les journées non ensoleillées.
On peut obtenir une estimation très grossière de la taille des batteries
nécessaires pour une application en multipliant la période de temps
pendant laquelle la batterie doit pouvoir couvrir la demande d'énergie par la
puissance moyenne consommée pendant cette période. On obtient ainsi la
capacité de la batterie en unité d'énergie.
Souvent, on ne connaît d'une batterie que sa tension électrique (en volts) et sa
capacité en unité de charge électrique (en Ampère-heures). Pour connaître la
capacité d'une batterie en unité d'énergie, il suffit de multiplier ces deux
grandeurs.
Tout ceci est très approximatif : le calcul ne tient pas compte du
comportement des batteries en conditions réelles.
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2014 - Université catholique de Louvain
Critique du prédimensionnement

Le champ photovoltaïque est dimensionné comme si les batteries étaient infinies !

Le prédimensionnement utilise beaucoup de coefficients estimés grossièrement (leur
valeur réelle dépend de l’évolution dans le temps des grandeurs !). Il est donc
imprécis.

Le prédimensionnement ne donne qu’une vague idée du risque de se trouver sans
énergie à certains moments… et ne tient pas compte du coût de ce manque
d’énergie, très différent d’une application à l’autre.

Enfin, il ne permet pas d’étudier l’influence de modifications que l’on pourrait
apporter à l’installation, de sorte qu’il n’est pas suffisant pour optimiser une
installation ni même ses auxiliaires.

Il ne permet pas d’étudier l’effet d’une gestion de la charge.
Conclusion : des modèles permettant une simulation à petite échelle
de temps sont nécessaires.
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Estimation du coût de l’énergie produite
Nous avons vu que le prix de l’énergie influence le choix des appareils à
alimenter par l’installation.
Pour obtenir le prix de l'énergie, il « suffit » d'évaluer le coût de l'installation par
unité de temps, soit r (en € / an par exemple). Une fois connue la valeur de r,
le prix de l'énergie sera le rapport entre r et la puissance moyenne produite (en
veillant à la cohérence des unités).
(S01-20) p = r/P
Pour calculer r, il faut connaître la dépense initialement consentie, soit C.
Le calcul de r doit tenir compte de la durée de vie de l'installation, soit T. La durée
de vie des bons modules est estimée à 25 ans, et on peut supposer qu'il s'agit là
aussi de la durée de vie de l'installation !
On ne peut pas obtenir r simplement en divisant C par T. En effet, il faut tenir
compte des intérêts à verser pour constituer le capital C.
34
2014 - Université catholique de Louvain
En fait, r peut être considéré comme la somme qu'il faut rendre à chaque
unité de temps à un bailleur de fonds pour que le capital C et ses intérêts
soient complètement remboursés à la fin de la durée de vie de l'installation.
Soit x la somme à rembourser à l'instant t . A l'instant t = 0, on a x = C . A
l'instant t=T, on a x = 0. Entre-temps, x évolue conformément à l'équation
(S01-21)
dx
xr
dt
En tenant compte du fait que x=0 au temps t = T, cette équation a pour solution la
fonction mathématique
 ( t  T)
r
(S01-22)
x  [1  e

A l'instant initial, on a donc
(S01-23)
T
r
C  (1  e
)

d'où l'on peut tirer la valeur de r
(S01-24)
C
r
T
1 e
35
]
Si  tend vers zéro, on
a bien r = C / T
2014 - Université catholique de Louvain
Il faut incorporer à C non seulement les frais initiaux, mais aussi d'autres frais étalés
dans le temps : frais d'entretien et frais de remplacement des auxiliaires dont la durée
de vie est plus courte que celle de l'installation (notamment les batteries). On ne peut
cependant pas additionner purement et simplement des frais qui se produisent à des
époques différentes : il faut les actualiser en tenant compte du taux d'intérêt  , ce
qui se fait en utilisant une formule similaire à (S01-21), mais avec r = 0, soit
(S01-26)
dx
x
dt
où x est la valeur d'un capital à l'instant t et  le taux d'intérêt effectif.
La solution de cette équation est de la forme
(S01-27)
t
x Ce
où C est la valeur à l'instant initial. On voit que, pour pouvoir acheter à l'instant t
un objet de valeur x, il convient de mettre en réserve initialement un capital
(S01-28)
Cxe
36
t
2014 - Université catholique de Louvain
La signification de C ayant été précisée, revenons aussi sur celle de  :
• Le taux d'intérêt à considérer est différent selon que l'on emprunte ou non
de l'argent pour réaliser l'installation. Dans le second cas, le taux est celui
auquel l'argent aurait pu être placé.
• Il s'agit du taux effectif, c'est-à-dire corrigé pour tenir compte de l'inflation.
• Enfin, dans les calculs ci-dessus, nous avons considéré que la
capitalisation était instantanée, alors que le calcul des intérêts n'est
généralement effectué que mensuellement.
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2014 - Université catholique de Louvain
Calcul du bénéfice
Le problème du calcul du coût de l'énergie peut être posé "à l'envers" par
rapport au développement ci-dessus.
En effet, il se peut que la valeur de l'énergie électrique soit connue, par
exemple parce que l'on sait que l'on pourra vendre cette énergie à un
certain prix.
En ce cas, on peut calculer r en multipliant la quantité d'énergie fournie par
l'installation par unité de temps (c'est-à-dire la puissance) par le prix de
l'énergie.
(S00-30) r = P p
Une fois r connu, la formule (S00-23) peut être utilisée pour calculer la
valeur de l'énergie produite actualisée à l'instant initial.
Il faut alors comparer cette valeur au coût de l'installation (y compris son
entretien) actualisé lui aussi à l'instant initial.
Si la valeur de l'énergie est supérieure au coût total, l'installation est
bénéficiaire. L'écart entre ces deux valeurs représente le bénéfice réalisé.
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Résultats du calcul
Les exercices du site solaire montrent clairement que, actuellement, réaliser une
installation solaire photovoltaïque pour fournir de l'énergie au réseau n'est pas rentable
selon les règles économiques normales du marché.
La situation est différente si l'on a besoin d'énergie à un endroit situé à distance du
réseau (maison à la campagne), si les frais de raccordement au réseau étaient
disproportionnés par rapport à la puissance nécessaire (horodateurs, bornes
autoroutières de secours), ou encore si le réseau public ne présente pas une bonne
fiabilité (pays en développement ou …..).
Par ailleurs, le prix des modules solaires baisse lentement, mais sûrement, au fur et à
mesure que les installations de production du silicium purifié se multiplient. De plus, une
révolution technique est toujours possible (polymères conducteurs...).
Du point de vue de la bonne utilisation du gisement solaire, on doit juger l'efficacité d'un
procédé en tenant compte de la disponibilité limitée de surfaces exposées au Soleil.
Par contre, d'un point de vue économique, le coût des surfaces est souvent négligeable
vis à vis du coût de l'installation (et peut même être négatif si des modules remplacent un
revêtement de toiture ou mural).
De même, on incline souvent les modules car ils peuvent recevoir une puissance
lumineuse plus grande (donc être mieux utilisés), même si cela conduit à une ombre plus
grande donc une moins bonne occupation de la surface disponible puisque toute la
surface sur laquelle une ombre se produira à un moment quelconque de la journée devient
une surface sur laquelle on évitera de disposer un autre module photovoltaïque.
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Le problème des primes
La rentabilité d’une installation ne doit pas être examinée au seul niveau
individuel. Le fait que les modules solaires soient très peu polluants évite à la
société des frais indirects... il est donc normal que les états encouragent leur
utilisation
• en les exonérant de taxes destinées à décourager d'autres formes d'énergie,
• par un système de primes,
• ou encore en imposant aux distributeurs d'énergie un pourcentage (10%
prévus) d'énergie d'origine renouvelable dans leur approvisionnement. En
Belgique, on a le système des certificats verts.
Le calcul économique est différent en présence de ces incitants, et explique la
présence en Europe d'installations solaires même là où un réseau électrique
fiable est disponible.
Exemple d’effet pervers d’une prime : la prime à la puissance installée pousse à
installer les modules horizontalement pour augmenter leur nombre, et donc la
puissance installée, même si cela n’augmente pas la puissance réellement
produite.
Il existe des logiciels pour évaluer la rentabilité d’une installation en tenant
compte des primes. Exemple : SAM, téléchargeable gratuitement.
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