3.7 Chute libre verticale

3.7 La chute libre verticale
Un mouvement qui se produit sous le seul effet de
la force gravitationnelle est appelé chute libre.
y
Nous traiterons pour le moment que du
mouvement vertical. Le mouvement parabolique
sera traité au chapitre 4
ag
vy
Comme nous le verrons plus loin, en tenant compte de
la résistance de l’air, l’accélération des objets n’est pas
vraiment constante puisqu’elle dépend de leur forme et
de leur dimension. Autrement dit, ils ne sont pas
exactement en chute libre.
Chute libre
1
3.7 La chute libre verticale
y
Positif
vers le
haut
Pour le moment, nous pouvons dire, suite aux ingénieuses
expériences de Galilée sur un plan incliné, qu’en
absence de résistance de l’air, tous les corps tombent
avec la même accélération due à la force gravitationnelle
(pesanteur), quelle que soit leur taille ou leur forme.
L’accélération étant vers le bas nous
écrirons
Le vecteur accélération s’écrira
ag
vy
agy = - 9,81 m/s2
Donc, négatif vers
le bas
Donc la composante en
« y » sera donnée par :


a g  -9,81j m/s2
a gy  9,81 m/s
2
Par contre la mesure du module (grandeur) de
l’accélération d’un objet en chute libre ag est de
9,81 m/s2 près de la surface de la Terre.
ag = 9,81 m/s2
2
3.7 La chute libre verticale
La mesure du module( norme) de l’accélération
d’un objet en chute libre ag est de 9,81 m/s2
près de la surface de la Terre.
y
On présente à la page 60, un bref aperçu
historique sur l’explication de la chute libre
depuis Aristote, Galilée, Boyle et jusqu’en 1971.
À certaine une époque, on pensait même que
vy
ag
« a = Dv/Dy »
Il a fallu toute une série de débats pour
contrer cette affirmation
Autrement dit
Négatif vers le bas
Δv α Δy
Si Dy double, Dv double également ce
qui par expérience est faux évidemment
3
3.7 La chute libre verticale
Comme nous le verrons plus loin, théoriquement la valeur de ag dépend de
la latitude, de l’altitude et de la rotation de la Terre.
ag
TERRE
Puisque que cette accélération est PRESQUE CONSTANTE PRÈS
DE LA SURFACE DE LA TERRE, nous utiliserons comme
approximation, les équations du m.r.u.a pour décrire le mouvement
d’un objet en chute libre selon la verticale.
4
3.7 La chute libre verticale
Pour l’étude du mouvement, on oriente,
presque toujours l’axe des y positifs vers le
haut. Les équations du mouvement
s’écrivent alors de la façon suivante:
y
vy
ay = - ag
ay = -9,81 m/s2
ag = 9,81 m/s2
1
y f  y o  voyt  a y t 2
2
1
y f  y o  voyt  a g t 2
2
v fy  voy  a g t
v 2fy  v oy2  2a g Dy
m
m
m/s
(m/s) 2
x
On peut choisir de remplacer au départ ay par - ag puisque la
l’accélération d’un objet en chute libre est vers le bas selon l’axe
des y. Les autres grandeurs vers le bas sont également
négatives et seront remplacées au moment opportun dans les
équations.
5
3.7 La chute libre verticale
Remarque : Benson utilise «
g»
pour désigner l’accélération
Comme nous le verrons plus loin, dans les
chapitres 5 et 6, il utilise ensuite le symbole « g » pour
désigner le « champ gravitationnel » qui est en fait le responsable de
la force gravitationnelle (pesanteur).
On écrira donc « ag » pour l’accélération et « g » pour le champ
gravitationnel (pesanteur).
La mesure de ces deux grandeurs physiques de natures différentes sont
équivalentes dans un repère inertiel mais légèrement différentes pour
notre position sur la Terre.
Voir les exemples 3.14, 3.15 et 3.16 du manuel.
6
Lancement vers le haut
V (m/s)
Vitesse
rappel
ymax
t (s)
Dy = 0
7
Lancement vers le haut
Position
y (m)
ymax
rappel
t (s)
8
3.7 La Chute libre verticale
Exemple : Vous lancez une balle vers le haut à partir du toit d’un
immeuble de 100 m de hauteur avec une vitesse initiale de 15 m/s.
a) Déterminez la hauteur maximale atteinte par votre balle par rapport au
sol.
J’illustre la situation
Problème : Je cherche la hauteur
maximale ymax
y
voy
ag
Je connais Données
connues :
Position initiale yo = 100 m
Vitesse initiale Voy = 15 m/s
Accélération ay = - ag = -9,81 m/s2
9
3.7 La Chute libre verticale
Données connues :
y
vyo
ay = - ag = -9,81 m/s2
yo = 100 m
ag
Vot = 15 m/s
Solution possible : Étant donné la nature du
mouvement, j’ utilise les équations d’un
m.r.u.a.
1
y f  y o  voyt  a g t 2
2
v fy  voy  a g t
On détermine le temps pour
atteindre la hauteur
maximale avec l’équation de
la vitesse, j’obtiens
0  voy  a g t
t
voy
ag

m
m/s
m/s
15
 1,53 s
9,81
10
3.7 La chute libre verticale
En remplaçant ce temps dans l’équation de la position, on obtient
1
y f  y o  vof t  a g t 2
2
m
y max  100  15  1,53  4,905  (1,53) 2
m
y max  111,5 m
Résultat probable :
J’obtiens 112 m par rapport au sol pour La
hauteur maximale atteinte par la balle
Autre solution possible :
v 2f  vo2  2ag Dy
b) Combien de temps la balle met-elle pour toucher le sol ?
11
3.7 La chute libre verticale
b ) J’illustre la situation
y
vyo
Problème : Je cherche le
temps lorsque y = 0 m
Je connais yo = 100 m , vyo = 15 m/s
ag
Solution possible : J’ utilise
les mêmes équations pour la
même raison.
1
y f  yo  v yo t  a g t 2
2
0  100  15t  4,905t 2
m
m
 15  (15) 2  4  4,905 100
 9,81
t1 = -3,24 s à rejeter
pas physique
t2 = 6,29 s
12
3.7 Chute libre verticale
J’obtiens t = 6,29 s pour que la balle
Résultat probable :
touche le sol.
c) Déterminez la vitesse de la balle lorsqu’elle touche le sol.
y
Problème : Je cherche vy
J’illustre la
situation :
On a vyo = 15 m/s et t= 6,29 s
ag
Solution possible : Il s’agit d’un
m.r.u.a donc j’ utilise
v fy  voy  a g t
m/s
vy
En insérant le temps de
chute, j’ obtiens
13
3.7 Chute libre verticale
y
v fy  voy  a g t
ag
vy
m/s
v fy  15  9,81 6,29  46,7
Résultat probable :
J’obtiens une vitesse d’arrivée
au sol de -46,7 m/s
d ) À partir du sol, à quelle vitesse votre ami doit-il lancer sa balle afin
qu’elle atteigne la même hauteur que la vôtre? Est-ce réaliste?
14
3.7 Chute libre verticale
d) Je dessine la situation
Problème : Je cherche vyo2
Je connais y02 =0 m , yf2 = 111,5 m
y
vf2 = 0 m/s ay = - 9,81 m/s2
vyo1
Solution possible : On un m.r.u.a
donc j’utilise l’équation suivante
vyo2
2
v 2fy  voy
 2ag Dy
(m/s) 2
0  v y2  2  9,81111,5
o
voy   2  9,81111,5
voy  46,8
m/s
Résultat probable : J’obtiens une vitesse initiale de + 46,8 m/s Ce
n’est pas vraiment réaliste. Un lanceur professionnel a de la difficulté
à atteindre cette vitesse.
15
3.7 Chute libre verticale
e) Vous lancez de nouveau votre balle vers le haut à 15 m/s et deux
secondes plus tard vous laissez tomber cette fois une autre balle de la
même hauteur. Est-ce que les balles vont se rencontrer avant de toucher
le sol? Si oui, à quelle hauteur le font-elles ? Si non, quel temps sépare
leurs arrivées au sol?
Problème : Je cherche le temps
de rencontre pour que yA = yB
Mise en situation
y
Je connais yoA = yoB = 100 m
vyoA
B
vyoA = 15 m/s
vyoB = 0 m/s
Solution possible:
On a un m.r.u.a. donc j’utilise
l’équation suivante
1
y f  yo  v yo t  a g t 2
2
m
16
3.7 Chute libre verticale
Je cherche quand ( t = ??)
les positions seront les
mêmes
yA = y B
y
vyoA
1 2
y A  yoA  v yoAt A  a g t A
2
1 2
y B  yoB  v yoBt B  a g t B
2
Quel temps prendre ?
Or ici, tA > tB
par conséquent
Alors l’équation pour y B
devient
m
tB = tA - 2
m
pour que tB soit positif
1
y B  yoB  v yoB (t A  2)  a g (t A  2) 2
2
17
3.7 La chute libre verticale
J’obtiens en remplaçant
yA = yB
1
1
2
yoA  v yoAt A  a g t A  yoB  v yoB (t A  2)  a g (t A  2) 2
2
2
2
100  15t A  4,905t A  100  4,905(t A  2)
2
100  15t A  4,905t A  100  4,905(t  4t A  4)
2
2
A
15t A   19,6t A  19,6
 4,6t A  19,6
Les balles se rencontrent à tA = 4,26 s
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3.7 La chute libre verticale
La position de la rencontre sera donnée par :
y B  100  4,905(t A  2) 2
y B  100 4,905(2,26) 2
y B  74,9 m
Résultat probable:
J’obtiens les résultats suivants :les deux
balles se rencontrent à une hauteur de
74,9 m du sol à 4,26 s du lancement de la
première balle.
19
3.7 La chute libre verticale
Illustration du résultat probable:
y
Les deux balles se rencontrent à une
hauteur de 74,9 m du sol à 4,26 s du
lancement de la première balle.
Position de la rencontre
20
3.7 La chute libre verticale
En résumé
y
vy
Après des années de questionnement, nous sommes arrivés
à la conclusion qu’en absence de résistance de l’air, tous les
corps tombent avec la même accélération, quelle que soit
leur taille ou leur forme
ay = - ag
ay = -9,81 m/s2
ag = 9,81 m/s2
x
Le mouvement d’un objet en chute libre verticale
est décrit par les équations suivantes:
1
y f  yo  v yo t  a g t 2
2
v fy  voy  a g t
m/s
2
v 2fy  voy
 2ag Dy
m
(m/s) 2
Comme approximation, on prend ag = 9,81 m/s2 près de la
surface de la Terre. On verra plus tard que ag dépend de la
latitude, de l’altitude et de la rotation de la Terre autour de son
axe.
Hyperphysics velocity acceleration,free fall
21