Le théorème du papillon.

Julie Beeckmans
Le théorème du papillon.

Julie Beeckmans
Le théorème du papillon.
Énoncé
Soit un cercle de centre O.
M est le milieu d’une corde [PQ]
de ce cercle.
[AB] et [CD] sont des cordes
passant par le point M.
[AD] coupe [PQ] en X et [BC]
coupe [PQ] en Y.
Prouvons que M est aussi le
milieu de [XY].

Julie Beeckmans
Le théorème du papillon.
Démonstration
1) | | = | | et | | = | |
(angles inscrits interceptant
le même arc).
A
ˆ
C
ˆ
D
ˆ
B
ˆ

Julie Beeckmans
Le théorème du papillon.
2) Les triangles AMD et CMB
sont donc semblables
(angles correspondants de
même amplitude).
Nous obtenons alors une
égalité de rapport entre les
longueurs des côtés
correspondants :
CM
CB
AM
AD 

Julie Beeckmans
Le théorème du papillon.
3) Traçons [OH] [AD] et
[OJ] [CB]. H et J sont
les milieux respectifs de
[AD] et [CB] car toute
perpendiculaire à une
corde passant par le
centre du cercle est la
médiatrice de cette
corde.
Donc, |AD| = 2 |AH| et
|CB| = 2 |CJ|.