Transparents de la semaine - Université catholique de Louvain

ELEC 2670
cours n° 13
MHD
2014 - Université catholique de Louvain
Principe
2014 - Université catholique de Louvain
La Magnéto-Hydro-Dynamique (MHD) est la filière la plus proche de la conversion
électromécanique classique. La différence fondamentale vient de ce que la matière en
mouvement n’est pas un corps solide mais un fluide.
Un fluide n’a pas de saillance magnétique (?).
Donc, il faut qu’il y ait passage d’un courant dans le fluide pour qu’il y ait conversion
d’énergie.
Le fluide doit donc être conducteur. Cela élimine les gaz non ionisés.
On distingue
• La MHD en phase liquide
• La MHD à plasma (gaz ionisé)
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Les équations de base sont celles du magnétisme quasistatique.
Pour rappel, ces équations sont associées au changement de
référentiel de Galilée. On retiendra
 
 
E  E'  v x B
et
  
F J x B
E est le champ électrique dans le référentiel du laboratoire,
E’ le champ électrique dans un référentiel propre à la matière,
v la vitesse de la matière (par rapport au référentiel du laboratoire)
B le champ d’induction magnétique,
F la densité de force,
J la densité de courant.
Les trois dernières grandeurs sont les mêmes dans tous les référentiels
galiléens.
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   
E  E'  v x B
et
  
F J x B
Note : le fait d’avoir un canal divergent dans la figure ci-dessus vient de ce
que le fluide se dilate au fur et à mesure que sa pression diminue. Il faut donc
une tuyère divergente si l’on veut une vitesse constante dans le convertisseur
MHD.
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Dans l’équation
   
E  E'  v x B
le champ E’ se réduit souvent à une chute ohmique


J   E'
où  est la conductivité électrique du milieu. Il y a un écart significatif
dans le cas de la MHD à plasma parce que, dans ce cas, l’effet Hall
joue un rôle non négligeable. Ceci vient du fait que le libre parcourt
moyen des porteurs de charge est plus long dans ce cas.
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   
E  E'  v x B
et
  
F J x B
Comme dans le cas des convertisseurs électromécaniques, le phénomène à la
base de la MHD est réversible : la MHD convient aussi bien pour réaliser des
pompes que des générateurs électriques.
On notera que, en supposant E’ purement résistif,
 
 
 
2
E.J  E' J  v x B.J   E'  v.JxB
et
  
v.F  v.J x B
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donc
 
 E.J  v.F  E '2
La puissance électrique correspond à la puissance
mécanique aux pertes ohmiques près !
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Tesla aurait déjà eu l’idée d’un dispositif capable d’extraire l’énergie de l’air.
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La conversion électrique vers mécanique est largement utilisée pour pomper des
fluides conducteurs. Elle est envisagée pour la propulsion de navires et de torpilles
en profitant de la conductivité électrique de l’eau de mer.
Les sites Internet dédiés aux OVNI citent souvent la propulsion MHD comme une
explication de certains phénomènes.
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Les fluides conducteurs
Les liquides qui ont la résistivité électrique la plus basse sont les métaux
liquides (mercure déjà à température ambiante, sodium ou potassium fondus…).
La MHD à métal liquide est utilisée sous la forme de pompes MHD.
Ces pompes sont utilisée notamment pour faire circuler le sodium liquide utilisé
pour le refroidissement des réacteurs nucléaires surgénérateurs.
Pour utiliser ces convertisseurs en générateur, la difficulté est de mettre le fluide
en mouvement. Les liquides se dilatent peu en fonction de la température, et ne
sont donc pas adaptés à la réalisation de cycles thermodynamiques.
Nous citons pour mémoire une tentative de mettre du mercure en oscillation par
effet thermoacoustique : le mouvement oscillant peut alors être utilisé dans un
générateur MHD.
Les recherches se sont (s’étaient ?) plutôt orientées vers l’utilisation
d’émulsions formées d’un métal liquide (phase continue) et d’un gaz inerte,
comme l’argon, (phase discontinue).
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Plusieurs expressions ont été proposées dans la littérature pour calculer la
résistivité électrique « macroscopique » d’une émulsion en fonction du taux a
(en volume) de la phase dispersée.
En fait, les formules récentes ne sont pas meilleures que la plus ancienne, due
à Maxwell.
Si nous désignons par l’indice 1 la phase continue et par l’indice 2 la phase
dispersée, la formule de Maxwell s’écrit
1   2
2 1   2
  1
  2
1 a 1
2 1   2
1  2a
J’ai montré que la formule de Maxwell peut s’obtenir par un calcul
d’homogénéisation à l’approximation sphérique.
E. Matagne, La correspondance entre modèles microscopiques et
macroscopiques, Portugaliae Physica, 9,4 (1975) 141-176
Dans le cas qui nous intéresse, 2 = 0 .
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Les émulsions ont des propriétés thermodynamiques. A noter que, lors de la
dilatation du gaz, le métal liquide sert de réservoir de chaleur.
Pour la production d’électricité à grande échelle, les générateurs MHD
pourraient être intéressant comme premier étage (entre la température de la
chaudière et la température du générateur de vapeur d’un cycle classique).
Mais
• La température des réacteurs nucléaires est trop basse pour que le dispositif
soit intéressant
• Le processus est difficile à gérer
fuites
agressivité des oxydes de sodium et de potassium
difficultés pour éviter la séparation des constituants de
l’émulsion
Cette loge économique est actuellement prise par les turbines à gaz (centrales
TGV) !
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Une autre catégorie de liquides conducteurs sont les électrolytes. Les
inconvénients de ces liquides sont
• qu’ils sont des conducteurs médiocres,
• que le passage d’un courant s’accompagne de réactions chimiques aux
électrodes
Le second inconvénient peut être contourné en utilisant des dispositifs sans
électrodes. Les seuls courants qui traversent le fluide sont alors des courants
induits… mais la mauvaise conductivité des électrolytes rend difficile l’obtention
de courants importants.
La MHD est utilisée pour pomper des liquides électrolytes.
Elle est envisagée pour la propulsion de navires militaires en mer.
Pourquoi pas pour la production d’énergie électrique à partir de l’énergie des
courants marins ?
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En ce qui concerne les gaz, ils sont isolants et ne deviennent des plasmas qu’à des
températures très élevées. On a pu abaisser ces températures à 2200°C – 2800°C
par adjonction de vapeurs métalliques de césium et de potassium (agents
ionisants).
On distingue deux types de générateurs MHD à plasma, selon que le cycle
thermodynamique est ouvert ou fermé.
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Dans le cas d’un cycle ouvert, on introduit dans la chambre de combustion l’air
préchauffé et l’agent ionisant. Après passage dans le générateur MHD, les gaz
sont utilisés pour préchauffer l’air, puis pour alimenter une chaudière classique.
Ils sont ensuite rejetés.
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Pour éviter la perte dans l’atmosphère de l’agent ionisant, on peut réaliser un circuit
fermé où circule le fluide ionisé à haute température. Le fluide est alors un gaz rare
(argon ou hélium) chauffé dans un échangeur à très haute température.
Actuellement, les générateurs MHD à plasma, tout comme ceux à émulsion d’un
métal liquide, ont été supplantés par les turbines à gaz !
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Aspect circuit du convertisseur
Plutôt que de décrire le fonctionnement du convertisseur MHD en termes de champ,
l’utilisateur préfère une description en termes de circuit. Si la zone utile était
rectangulaire et si les champs étaient uniformes (champ de vitesse, champ magnétique
et champ électrique), la correspondance entre champs et circuit serait triviale.
Avec
I = J L 1 L2
U = E L3
Q = v L 2 L3
Dp = F L1
On obtiendrait
I
L3
Q
B
LL
U
B L3  1 2 L3  Q 
I
L 2 L3

L2
 L1L 2
Dp 
17
I
B
B L1  I
L1L 2
L2
Ce sont des formules simples analogues à celles
d’une machine DC. Malheureusement,
• les géométries sont plus complexes,
• les champs, notamment le champ de vitesse qui
doit être nul contre les parois, ne sont pas uniformes,
• pertes dues à la viscosité du fluide.
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Quelle topologie pour le convertisseur ?
Entrefer cylindrique
La solution la plus proche des machines classiques consiste à utiliser un entrefer
cylindrique. Dans ce cas, il n’y a pas d’effet d’extrémité (le champ tournant se mord la
queue), mais il y a des effets de bord.
Le conduit ne peut pas être purement longitudinal : le tube contenant le fluide en
mouvement est enroulé en spirale dans l’entrefer. Le courant doit donc traverser plusieurs
fois le tube : on prend un tube rectangulaire pour offrir une plus grande surface de contact
entre les boucles de la spirale.
Chercher une image !
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Entrefer plan
Comme dans le cas des moteurs linéaires, on peut « dérouler » la structure
cylindrique pour donner à l’entrefer la forme d’un plan.
Dans ce cas, il y a à la fois des effets d’extrémité (le champ glissant ne
peut pas être parfait) et des effets de bord. Le conduit peut être purement
longitudinal !
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J.P. Hansen,
Contribution à
l’étude de la
production
magnétohydro
dynamique
d’énergie
électrique en
veine liquide,
Thèse Paris
VI, 1974
La partie inférieure de ce dispositif doit être insérée dans l’entrefer d’un stator
produisant un champ glissant (analogue du champ tournant dans les machines
rotatives). Il s’agit d’une variante du moteur à induction (asynchrone) à cage.
Les barres de fermeture du courant sont analogues aux anneaux de court-circuit
dont sont munis les rotors des machines asynchrones à cage.
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Entrefer annulaire
Il existe en MHD une topologie qui n’a pas son correspondant parmi les
machines classiques. On l’obtient en repliant le plan d’entrefer de façon à
réunir les deux bords. Dans ce cas, on garde les effets d’extrémité, mais on
supprime l’effet de bord.
Cette géométrie est particulièrement intéressante dans le cas des
convertisseurs à induction (analogue de la machine asynchrone à cage) car les
courants induits se referment sans avoir besoin d’électrodes ni de bague de
court circuit.
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E. DE COSTER, Étude d’un
convertisseur
magnétohydrodynamique à
sodium liquide, TFE UCL,
1977
La forme des pièces
magnétiques vient du fait
qu’elles doivent être
feuilletées dans la direction
longitudinale.
A noter le peu d’espace
occupé par la veine fluide.
22
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Autre vue de la même machine. A noter la forme très simple des
bobines.
23
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On peut aussi utiliser la topologie annulaire avec des électrodes, ce qui permet de
réaliser un convertisseur à courant continu (et surtout d’utiliser des aimants
permanents pour obtenir un champ magnétique sans dépense d’énergie).
Rapport du
stage en LEI de
Nedjoua
Bennecib, 2007
Communication
ELECTRIMACS en 2011
Sur cette figure, le circuit magnétique extérieur à la veine liquide n’est
pas représenté. Puisque le champ va partout du centre vers l’extérieur, il
faut un autre tronçon où le champ va de l’extérieur vers l’intérieur.
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Ici, on a un tronçon principal équipé d’électrodes, deux tronçons inactifs sous
les bobines et deux tronçons de retour, qui peuvent être ou non équipés
d’électrodes.
25
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Études analytiques
En toute généralité, le problème de l’analyse de tels dispositifs est 4D (3D + temps).
On peut réduire la dimension du problème d’une unité en supposant
• le mouvement stationnaire,
• ou la symétrie de rotation (champs indépendants de j ),
• ou la symétrie dans le sens longitudinal (champs indépendants de z).
Nous allons utiliser les trois approximations simultanément pour obtenir un problème à une
seule dimension ! Le problème est traité en coordonnées cylindriques r, j et z .
Pour cela, il faut négliger les effets de bord aux frontières entre les différents tronçons du
canal. On doit aussi supposer que le fluide n’adhère pas aux électrodes ainsi que
• soit que les paires d’électrodes sont infiniment minces,
• soit que le courant électrique circulant dans le fluide n’a pas d’effet sur le champ
magnétique B (donc que ce dernier est dû uniquement à l’apport du flux F par l’armature
centrale).
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On suppose aussi
• que le fluide est incompressible,
• qu’il est caractérisé par une viscosité dynamique h et une conductivité
électrique  constantes,
• que le mouvement est laminaire.
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On suppose que les limites r = r1 et r = r2 sont isolantes. Compte tenu de la
symétrie, il ne peut y avoir de courant radial, donc la composante radiale
du champ électrique n’a pas d’effet et n’a pas besoin d’être calculée.
La composante azimutale du champ électrique vaut
• soit
Ejˆ 
m
2 r
U
où U est la tension
et m le nombre de paires d’électrodes, donc le nombre de subdivision du
canal.
28
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Par ailleurs, puisque le champ magnétique ne dépend pas de z, la symétrie cylindrique
et la loi de Gauss nous donnent l’expression du champ d’entrefer radial :
F
B 
2Lr
r̂
où F est le flux qui traverse l’entrefer dans le tronçon considéré et L sa
longueur.
Pour que cette approximation soit valide, il faut que le champ de réaction
d’induit (celui qui est associé au courant circulant dans le fluide) soit
négligeable.
29
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A cause de la symétrie cylindrique du problème, les forces électromagnétiques ne
dépendent ni de j ni de z . Le seul résultat des forces radiales sera l’apparition d’un
gradient de pression dans la direction radiale, sans influence sur le mouvement.
On peut donc supposer que la seule composante de la vitesse est
vz = - v(r)
où le signe – a été introduit pour tenir compte du fait que, pour un fonctionnement
normal en pompe avec I et F positifs, vz est négative.
La loi d’Ohm permet d’écrire
ˆ
j
J   (E  v B )
30
r̂
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Les forces radiales ne pouvant produire de mouvement, nous ne nous intéressons
qu’à la force dans la direction longitudinale
Fẑ   J(r) B (r)
r̂
Cette densité de force doit, en régime permanent, être égalée à la densité de
force mécanique. Cette dernière est la divergence du tenseur de contrainte.
Celui-ci comporte comme éléments
• la pression p ,
• et le cisaillement
  h  r̂ v   h  r v
ẑ
31
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L’équation d’équilibre s’écrira donc
1
F
 z p    r ( r h  r v)  J ( r )
r
L2r
Soit, en remplaçant p et J par leur expression
1
F 2
Dp
Um F
 r ( r h  r v)  (
) v

r
L2r
L
2r L 2  r
32
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Solution exacte (du modèle simplifié !)
1
F 2
Dp
Um F
 r ( r h  r v)  (
) v

r
L2r
L
2r L 2  r
Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre. La solution s’obtient en
superposant une solution générale de l’équation homogène et une solution
particulière.
La partie homogène de l’équation peut être mise sous la forme d’une équation
d’Euler-Cauchy :
 F 2
r r v  r rv  (
) v0
h L2
2
2
Sa solution générale est

v  C exp(  ln r)  D exp ( ln r)  C r  D r
où C et D sont des coefficients à
déterminer et
33


F

L2 h
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En ajoutant à la solution générale une solution particulière de l’équation initiale,
on obtient
Dp / L
UmL
2
vCr Dr 
r 
F 2
F
4h  (
)
2L



F

L2 h
Le calcul des coefficients C et D devient incommode lorsque F est faible.
Nous allons donc étudier l’équation directement dans le cas F = 0 .
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Cas particulier
Nous cherchons un cas particulier plus simple à résoudre afin de pouvoir par la
suite introduire des hypothèses simplificatrices supplémentaires de façon
rationnelle.
Nous étudions pour cela le cas F = 0 en détail, bien que ce cas ne soit directement
applicable que pour l’étude des tronçons inactifs du convertisseur.
L’équation différentielle devient simplement
1
Dp
 r ( r h  r v) 
r
L
La solution de cette équation est très simple, puisqu’il suffit pour la trouver
d’intégrer deux fois l’équation. On trouve successivement
r hr v 
puis
Dp 2
r C
2L
1 Dp 2
v (
r  C ln r  D )
h 4L
où C et D sont deux constantes d’intégration.
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En imposant la nullité de la vitesse en r1 et r2 , on a un système d’équations
linéaires en C et D. En réintroduisant les expressions de C et D dans l’expression
de la vitesse, on a finalement
1
(r2  r1 ) r Dp
2
2
v
[( r  r1 ) 
ln ]
r2
4h
r1 L
ln
r1
2
2
En fait, ce qui intéresse l’utilisateur est le débit Q . On l’obtient en intégrant le
profil de vitesse sur la section de la veine liquide, soit
r2
Q 
r1
36
2
2
 Dp 1 4 1 2 2 (r2  r1 ) 1 2 r 1 2 2 r2
2  r v(r ) dr 
[ r  r1 r 
( r ln  r ) ]
r
r1
2Lh 4
2
2
r1 4
ln 2
r1
2014 - Université catholique de Louvain
Après quelques simplifications, on obtient
 Dp (r2  r1 )
4
4
Q
[
 (r2  r1 )]
r2
8Lh
ln
r1
2
soit
Q
2
1
Dp
R hy
avec comme expression de la résistance hydraulique d’un conduit annulaire
R hy 
37
8Lh
2
2
(r2  r1 ) 2
4
4
[( r2  r1 ) 
]
r2
ln
r1
2014 - Université catholique de Louvain
R hy 
8Lh
2
2
(r2  r1 ) 2
4
4
[( r2  r1 ) 
]
r2
ln
r1
Test
Si r1 tend vers 0, on retrouve l’expression bien connue de la résistance hydraulique
d’un tube (expérience de Poiseuille) :
8Lh
R hy 
4
 r2
38
2014 - Université catholique de Louvain
Lorsque F est nul, le calcul de la densité de courant devient également
simple. En effet, il n’y a pas de force électromotrice due au mouvement, de
sorte que la répartition de courant se réduit à
m
J   E jˆ 
U
2r
jˆ
L’intégrale de cette densité de courant fournit le courant :
 ln( r2 / r1 ) L
Im
U
2
2
soit
avec
39
U
I
R elec
2
R elec 
 m 2 ln( r2 / r1 ) L
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En utilisant la relation entre Q et Dp, on peut exprimer la répartition de
vitesse en fonction de Q :
(r2  r1 ) r
2
[
ln  (r 2  r1 )]
r2
r1
ln
2
r1
v( r ) 
Q
2
2 2

(r2  r1 )
4
4
[( r2  r1 ) 
]
r2
ln
r1
2
2
De même, en utilisant la relation entre I et U, on peut exprimer la répartition
du courant en fonction de I, soit
1
J
I
r m ln( r2 / r1 ) L
40
2014 - Université catholique de Louvain
Correspondance avec un modèle « circuit »
Le nombre de degrés de liberté des variables de type champ (champ de vitesse,
champ de densité de courant…) est infini. On peut obtenir une solution
approchée en supposant connue la forme des répartitions de vitesse et de
courant. On peut ainsi réduire le nombre de degrés de liberté (infini dans le
modèle de départ) à un nombre fini (Q, I …).
On peut obtenir des répartitions de vitesse et de courant « réalistes » en prenant
celles correspondant au cas particulier où F = 0 .
On définit ainsi un « circuit hydraulique » par une « densité de filets de débit »
(r  r1 ) r
2
[ 2
ln  (r 2  r1 )]
r
r1
ln 2
2
r1
zˆ
N hydraulique  
2
2

(r2  r1 ) 2
4
4
[( r2  r1 ) 
]
r2
ln
r1
2
41
2
2014 - Université catholique de Louvain
On définit de même un « circuit électrique » par une « densité de filets de
courants »
N
42
jˆ
électrique
1

r m ln( r2 / r1 ) L
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Pour trouver l’équation électrique du convertisseur, on commence alors par écrire
l’expression du champ électrique en terme de I et Q . L’équation
J jˆ   (Ejˆ  v Br̂ )
devient, compte tenu des expressions précédentes,
(r2  r1 ) r
2
[
ln  (r 2  r1 )]
r2
r1
ln
1
2
F
r1
Ejˆ 
I
Q
2
2 2
r m ln( r2 / r1 ) L 

L 2 r
(r2  r1 )
4
4
[( r2  r1 ) 
]
r2
ln
r1
2
43
2
Cette expression étant approchée, l’intégrale de ligne de E entre deux électrodes
dépend du chemin d’intégration choisi. On évite ce problème en utilisant la
notion de « densité de filets de courant » introduite aux transparents précédent
pour obtenir une valeur « moyenne ».
2014 - Université catholique de Louvain
Pour obtenir une expression de U en fonction de I et Q, on peut en effet
appliquer une procédure « standard » consistant à multiplier l’expression de E
par la densité de filets de courants Nelec et effectuer l’intégrale sur tout le
volume de la veine concernée. On obtient ainsi une équation analogue à
l’équation électrique d’une machine DC
U  R elec I  k F Q
où l’on a retrouvé pour Relec l’expression déjà introduite plus haut, et
où
1
k
2
2
 L m (r2  r1 )
L’expression de k est aussi celle que l’on obtiendrait en faisant l’hypothèse
d’une vitesse uniforme sur toute la section de la veine. Nous l’avons obtenue
ici sans faire cette approximation.
44
2014 - Université catholique de Louvain
L’équation hydraulique approchée s’obtient de façon similaire. On commence par
exprimer le gradient de pression en fonction de Q et I. On obtient
8
1
1
1
 zp   h
Q
FI
2
2 2
 (r2  r1 )
r m ln( r2 / r1 ) L L 2  r
4
4
[
 (r2  r1 )]
r
ln 2
r1
En multipliant cette expression par la densité de filets de débit,
puis en intégrant sur le volume de la veine liquide, on obtient
Dp   R hy Q  k F I
redécouvrant ainsi les expressions déjà connues de Rhy et k !
Cette expression est similaire à celle du couple d’une
machine DC avec un terme de frottement visqueux.
45
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