Exemple

CHAPITRE 3:
LES NOMBRES
I- Les ensembles de nombres
-Les entiers naturels servent à dénombrer une
quantité fini d’objets. 0;1;2;3… sont des nombres
naturels. L’ensemble des entiers naturels est noté
N.
-Les entiers relatifs sont des entiers naturels
précédés ou non d’un signe « - ». …-4;-3;-2;-1;0;
1;2…sont des entiers relatifs. L’ensemble des
entiers relatifs est noté Z.
-Les nombres décimaux sont des nombres à
virgule avec un nombre fini de chiffre après la
virgule. L’ensembles des nombres es noté D.
Exemple: -7,23 est un nombre décimal
6,53596 est un nombre décimal
-Les nombres rationnels sont des nombres pouvant
s’écrire sous forme de fraction. En écriture décimal, un
nombre rationnel peut avoir une infinité de chiffres après
la virgule mais toujours avec une périodicité. L’ensemble
des nombres rationnels est noté Q.
Exemples: 1/3=0,33….. est un nombre rationnel
23/7 est un nombre rationnel
-Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne
peuvent s’écrire sous forme de fraction. La partie
décimale d’un nombre irrationnel est infinie et n’a
aucune périodicité.
Exemple: ; 2 ;
7
L’ensemble de tous les nombres, rationnels et
irrationnels, est l’ensemble des réels noté R.
1;2;3…
-1
-2
N
Z -3
D
Q
R
II- Règle de calcul dans IR
1) Pour ajouter deux rationnels
Pour ajouter deux fractions ayant le même
dénominateur, on ajoute uniquement les
numérateurs. Si les deux fractions n’ont pas le
même dénominateur, on fait en sorte qu’elles
aient le même dénominateur en multipliant en
haut et en bas par le même nombre.
Exemple: 1/7 + 2/7 = 3/7
¾ + 5/3 = 3x3/4x3 + 5x4/3x4 = 9/12 + 20/12 =
29/12
2) Pour multiplier deux rationnels
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
Exemple: 1/3 x 5/6 = 5/18
-5/2 x 3/2 = -15/4
3) Pour diviser deux rationnels
Diviser par une fraction revient à multiplier par
l’inverse.
!
On ne divise jamais par 0
Exemples: 3/2 / 5/7 = 3/2 x 7/5 = 21/10
10/5 / 2 = 10/5 x ½ = 10/10 = 1
4) Manipuler des irrationnels
Dans la majorité des cas, effectuer un calcul avec
un irrationnel conduit à un résultat ne pouvant
être simplifier. Par exemple 2 +1 est un calcul
entre un irrationnel et un entier, le résultat est
alors un nombre irrationnel mais qui ne peut être
écrit sous une forme simplifiée.
a) Ajouter des racines carrés
On ne peut ajouter des racines carrés entres
elles uniquement si elles ont le même nombre.
Autrement dit, 2 + 3 ne peut être écrit
différemment alors que 5 + 5 donne 2 5 .
De même, 2 3 + 5 7 ne peuvent être écrit
différemment alors que 5 3 + 4 3 donne 9 3 .
b) Multiplier des racines carrés
Soit a et b deux entiers naturels alors a x b =
axb .
Exemple: 3 x 5 = 3x5 = 15
(cette propriété permet donc aussi de simplifier
l’écriture d’une racine carré).
c) Diviser des racines carrés
Soit a et b des entiers naturels avec b≠0:
a
b
a
=
Exemple:
b
12
3
=
12
3
=
4 =2
III- Développer et factoriser
Pour résoudre un calcul (ou une équation ou une
inéquation), il est parfois nécessaire de
développer ou factoriser.
Développer une expression revient à augmenter
le nombre de multiplication alors que factoriser
revient à diminuer le nombre de multiplication.
1) Formules de bases
Pour tous réels k, a et b:
k(a+b)=ka+kb
k(a-b)=ka-kb
Exemple:
7x103=7(100+3)=7x100+7x3=700+21=721
2) Identités remarquables
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
Exemple: (1+2)²=1²+2x1x2+2²=1+4+4=9
(1-3)²=1²+2x1x3+3²=1+6+9=16
(7-2)(7+2)=7²-2²=49-4=45
IV- Résoudre une équation
Une équation est une égalité comportant une
inconnue (en générale notée x). Résoudre une
équation revient à déterminer la (ou les) valeur(s)
de l’inconnue rendant l’égalité vraie.
1) Du premier degré
Une équation est du premier degré si l’égalité ne
comporte que des « x » et pas de « x² » ni de
« x³ »… pour résoudre une telle équation, il suffit
d’isoler les « x » dans un membre de l’égalité et
les nombres seuls dans l’autre.
On obtient alors une égalité du type Ax=B où A et
B sont des réels. Différents cas se présentent
alors:
1er cas: si A≠0. l’équation a alors une seule
solution: x=B/A.
2ème cas: si A=0 et B≠0. L’équation n’admet
aucune solution.
3ème cas: si A=0 et B=0. L’équation admet une
infinité de solutions: ce sont tous des
réels.
Méthode:
Pour isoler les x, on a le droit d’ajouter un même
nombre des deux côtés (ou soustraire). On a le
droit de multiplier (ou diviser) par un même
nombre des deux côtés de l’égalité.
Exemple: 7x-3=2(x-2)+5
7x-3+3=2x-4+5+3
7x=2x-4
7x-2x=2x-2x+4
5x=4
x=4/5
2) Du second degré
Une équation est du second degré lorsque
l’égalité comporte des « x² » (et pas de x³…).
Pour résoudre les équations du second degré, on
passe tous les termes dans le membre de
gauche, on factorise ce dernier puis on utilise la
propriété: un produit de facteurs est nul si et
seulement si l’un des facteurs est nul.
Chacun des facteurs étant du premier degré, cela
nous conduit à la résolution d’équations du
premier degré.
Exemple: résoudre (2x+3)(x-1)=(2x+3)
(2x+3)(x-1)-(2x+3)=0
(2x+3)(x-1)-(2x+3)x1=0
(2x+3)(x-1-1)=0
(2x+3)(x-2)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si
l’un des facteurs est nul:
2x+3=0 ou x-2=0
2x=-3
x=2
x=-3/2
L’équation a pour solution: -3/2 et 2
V- Résoudre une inéquation
1) Du premier degré
Pour résoudre une inéquation du premier degré,
on isole « les x » dans le membre de gauche et
les nombres dans le membre de droite en veillant
à changer l’ordre de l’inéquation uniquement si on
multiplie ou on divise par un nombre strictement
négatif des deux côtés. Ensuite on isole x dans le
membre de gauche en respectant les mêmes
règles.
Exemple: 7(x-3)<8(x+2)-6x
7x-21<8x+16-6x
7x-21<2x+16
7x-2x<16+21
5x<37
x<37/5
Les solutions sont les réels de ]- ;37/5[.
2) Tableau de signe
On peut résumer les différents signes, on prend
l’expression ax+b (où a et b sont des réels) dans
un tableau:
Si a<0
-
0
x
-
ax+b
+
-b/a
+
0
+
8
ax+b
+
8
8
-b/a
8
Si a>0
x
-
-
-
0
+
8
8
3x-2
8
8
Exemple: dresser le tableau de signe 3x-2 et
-x+4
x
4
+
x
2/3
+
-x+4
+
0
-
Remarque: pour étudier le signe d’une expression
factorisée, on étudie le signe de chacun
des facteurs et on utilise la règle des
signes vu en activité page 117. Lorsque
l’expression est du type rationnel, on
met une double barre lorsque le
dénominateur s’annule.
3) Du second degré
Pour résoudre une inéquation du second degré,
on passe le membre de droite à gauche afin
D’avoir un second membre nul. On factorise le
membre de gauche. On dresse le tableau de
signe de l’expression ainsi factorisée et on
conclue.
Remarque: si l’inéquation comporte des
expressions rationnels, on ramène le
tout dans le membre de gauche, on
réduit au même dénominateur afin
d’avoir une seule expression rationnel
où le numérateur et le dénominateur
sont factorisés.