Cours
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Automate Cellulaire A.C et complexité 2D A.C : Conway’s Game of Life 1D A.C : Automate Cellulaire de Wolfram Automate Cellulaire Simulation informatique qui émule les lois de la nature Cellules = "agents" répondant à des stimuli selon des règles simples, mais collectives 2-d : Game of Life (Conway 1970) 1-d : Automate Cellulaire (Wolfram 1980) UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Automate Cellulaire et Complexité Avant 1980, on pensait que les équations mathématiques étaient le meilleur moyen de modéliser la nature En 1980, Stephen Wolfram proposa des modèles basés directement sur de simples programmes informatique Même si les règles sont très simples, le comportement peut être complexe et imiter des phénomènes naturels UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life: un automate cellulaire Le Jeu de la Vie montre comment un automate cellulaire simple, gouverné par des règles de transition simples peut exhiber des "propriétés émergentes" : Un haut degré de complexité semble être plus que la simple somme de ses composants On est tenté de faire un parallèle avec la vie réelle, ou les particules obéissant aux lois de la physique ont, au cours de l'évolution, permis l'émergence d'un monde complexe UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life: un automate cellulaire Inventé par le mathématicien Conway 1970 Les "individus vivent" sur une grille rectangulaire (2D) Un case est vide ou occupée (automate à 2 états) Une case a 8 voisins Voisinage de Moore 1 2 8 7 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC 3 4 6 5 Conway's Game of Life 2 ou 3 voisines pour survivre, 3 pour naître A chaque génération l'état de chaque case à la génération suivante est fonction de son état et de celui des 8 cellules qui l'entourent n états, v voisins nn^(v+1) = 22^(8+1) = 2512 règles Naissance Si 3 voisins sont vivants, naissance dans un site vide Décès Isolation : moins de 2 voisins vivants (0 ou 1) Sur-population : plus de 3 voisins vivants (4,5,6,7 ou 8) UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Survie : 2 ou 3 voisins 3 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Mort : 4 voisins ou plus 4 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Mort : 0 ou1 voisin 0 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Naissance : 3 voisins 3 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un exemple à la main … 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3 4 3 1 1 3 3 3 1 1 1 1 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un exemple à la main … 1 2 3 2 1 2 2 4 2 2 3 4 8 4 3 2 2 4 2 2 1 2 3 2 1 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un exemple à la main … 1 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 4 3 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 1 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un exemple à la main … 1 3 3 3 1 3 4 5 4 3 3 5 8 5 3 3 4 5 4 3 1 3 3 3 1 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un exemple à la main … 3 3 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 2 3 0 3 2 2 4 3 2 2 2 2 4 2 3 2 3 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Un oscillateur et d'autres exemples ... 0 0 0 1 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 2 1 0 0 0 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Conway's Game of Life Période 3 ! UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un double oscillateur : temps/espace UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un double oscillateur : temps/espace UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un double oscillateur : temps/espace UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un double oscillateur : temps/espace UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un double oscillateur : temps/espace UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC The glider gun UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Eco-système Proie / Prédateur Comportement des loups • Reproduction : 2 loups adultes côte à côte • Nourriture : le loup mange un mouton, s'il y en a un à côté de lui • Le loup choisit la nourriture avant la reproduction Comportement des moutons • Reproduction : 2 moutons adultes côte à côte • Nourriture : Le mouton mange de l'herbe, s'il y en a à côté de lui • Le mouton choisit la reproduction en priorité Mort d'un animal • Atteint la limite d'âge • Dépasse la durée maximal de jeûne UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un Calculateur Universel Peut-on créer des courants de glisseurs et les faire interagir entre eux pour obtenir des portes logiques et,ou, non, comme dans un circuit électronique ? Les éléments de base pour construire un ordinateur universel (c’est-à-dire capable de calculer toute fonction calculable) sont donc présents Il est donc possible de faire calculer les nombres premiers à une configuration, ou les coefficients du binôme ou tout ce qu’un ordinateur sait calculer UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un Calculateur Universel Un automate qui permet de construire des circuits composé de "fils" dans lesquels se propagent des signaux composés chacun d'un électron et de sa trace 4 états : vide , fil , électron , trace Règles de transitions : •Une cellule vide reste vide •Un électron devient trace •Une trace devient fil •Un fil devient un électron si le nombre d'électrons parmi les huit cellules voisines est 1ou 2, sinon le fil reste un fil UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un peu d'électronique ... UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Porte logique OU UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Porte logique XOR UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Automate auto-réplicatif de Langton Automate proposé en 1978 • • La 'machine' de base est une boucle de 86 cellules – – 8 états voisinage de 5 cellules formant un conduit de circulation de données fermé (cellules bleues) entouré par une gaine (cellules rouges) comprend également un bras de projection qui permet sa duplication UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Automate auto-réplicatif de Langton Le conduit permet la circulation de l'information sous forme de signaux : couples de cellules (bleu clair-noir ou jaune-noir)qui constituent en fait le matériau génétique de la structure (génome) et en permet la reproduction Au moment ou les signaux rencontrent la jonction avec le bras de projection, ils sont dupliqués. Une copie est renvoyée dans la boucle, et l'autre copie se propage le long du bras. C'est l'équivalent de la transcription du processus biologique UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Automate auto-réplicatif de Langton En arrivant au bout du bras, les signaux sont transformés en instructions. C'est l'équivalent de la translation du processus biologique Le bras s'étend selon ces mêmes instructions pour former une autre structure similaire à la première et contenant le même patrimoine informationnel permettant la réplication UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Automate auto-réplicatif de Langton UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Où Est L'intérêt ? Permet, à partir de règles simples, de faire émerger des phénomènes complexes Le « jeu de la vie » est considéré comme une référence par les chercheurs s'intéressant à la vie artificielle – il montre que des règles très simples peuvent permettre de mettre en évidences des fonctionnements non triviaux – pouvant simuler la richesse et la diversité de la vie – même si personne ne prétendra que le Jeu de la Vie est aussi riche que la vie UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC 1-D Cellular Automata Le Jeu de la Vie est encore trop compliqué pour être étudié de façon approfondie Stephen Wolfram introduit un AC plus simple (1982) Automate Cellulaire de dimension 1 – 1 dimension spatiale – 2 états possibles par cellule – Voisinage de rayon 1 (état dépend de son propre état et de celui de ses deux voisins) 28 = 256 Règles de transitions : – règle 22 =00010110 111 110 101 100 011 010 001 000 0 0 0 1 0 1 1 0 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Avantage de l’automate cellulaire 1-D Dynamique visible sur une image 2-D 256 règles de transition seulement – – – On peut examiner la dynamique pour toutes les règles K = # états r = rayon du voisinage # automates = k^k^(2r+1) Un tel système peut-il engendrer des comportements complexes ? Le réponse est « oui ». Les règles conduisent à un état – – – – statique périodique chaotique intermédiaire, un état "complexe", l’état de la vie biologique UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Règle 4 (0000100) 010 donne 1, sinon 0 Règle très simple Configuration limite – – contient des ‘1’ isolés Obtenue en 1 cycle UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Règle 110 (01101110) 001,010,011,101,110 donne 1 sinon 0 Une des plus complexes Membre de la Classe 4 de Wolfram Nombreux glisseurs (gliders) qui se propagent périodiquement Entre l’ordre et le chaos UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Règle 30 (00011110) 001, 100, 010, 011 donne 1 sinon 0 Génère des configurations avec un haut degré d’aléatoire Exploité en cryptographie UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Un automate cellulaire en action UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Propriétés Auto-organisation • • Émergence de formes (pattern) Même si l’état initial est aléatoire, les règles « forcent » l’émergence Comportement « Life-like » • • • • • Disparition (die) Stable Cyclique avec une période fixe Expansion à vitesse constante Expansion et contraction irrégulières UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Classification de Wolfram Classification proposée par Stephen Wolfram (1984) – Classe 1 – état limite homogène (indépendant état initial) – Classe 2 – état limite périodique (effet local des modifications) – Classe 3 – chaotique – Classe 4 – complexe (capable de computation universelle) Existe-t-il un paramètre qui détermine l’appartenance à chaque classe ? UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Classe 2 : état limite périodique Voisinage : 6 # Etats : 3 Règle : 111443344111 Motifs périodiques (petite période) ou stable http://www.irdp.ch/math-eco/articles/automa7.htm UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Classe 4 : complexe (computation universelle) Voisinage : 3 # Etats : 4 Règle: 0201313201 Beaucoup de cellules « meurt » Quelques motifs périodiques Capacité de calcul universel : game of life Dynamique irréversible UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Classe 3 : chaos Voisinage : 3 # Etats : 5 Règle: 012344444014 Motifs apériodiques – chaotiques Prédiction difficile Motifs fractals (self-similar) UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC On the Edge of Chaos Concept introduit par Christopher Langton – – Etat le plus « créatif » d’un système dynamique Aller-retour permanent entre ordre et chaos Problème : trouver un paramètre qui caractérise la transition entre l’ordre et le chaos Langton propose le paramètre l : – Probabilité qu’une cellule devienne active à la génération suivante UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC On the Edge of Chaos 0 Pas de développement near 0 une cellule « meurt » rapidement 0 << < 0,3 classe 2 – motifs périodiques Point "critique" ~ 0,3 classe 4 ~ 0,5 classe 3 UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Intérêts Montre que même si notre univers nous apparaît complexe, cela n'entraîne pas que ses lois le sont nécessairement Principe du rasoir d'Occam : – – minimiser ce qu’on fait intervenir dans une explication exploration du minimum générant la complexité Travail scientifique aussi important que bien d’autres qui ne sont pas toujours aussi amusantes et esthétiques! UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC Applications 1. 2. Cellular automata applications are diverse and numerous. Fundamentally, cellular automata constitute completely known universes. Our Universe is submitted to the laws of physics. These laws are only partly known and appear to be highly complex. In a cellular automaton laws are simple and completely known. One can then test and analyse the global behaviour of a simplified universe, for example : Simulation of gas behaviour. A gas is composed of a set of molecules whose behaviour depends on the one of neighbouring molecules. Study of ferromagnetism according to Ising model : this – Maîtrise Informatique - Option SAC model UNSA (1925) represents the material as a network in
