gestion du probleme de transport

GESTION DU PROBLEME DE
TRANSPORT
Réalisé par :
Salma ADNAN & Ghita ACHOUAK
2008-2009
SOMMAIRE






INTRODUCTION
RAPPEL SUR LA THEORIE DES
GRAPHES
PRESENTATION DU PROBLEME DE
TRANSPORT
PROBLEME D’AFFECTATION
PROBLEME DE FLOTS
CONCLUSION
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
2
INTRODUCTION


La gestion du problème de transport
est parmi les préoccupations
majeures des entreprises.
La RO permet une modélisation de
ces problèmes en utilisant plusieurs
méthodes.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
3
La théorie des graphes




Un graphe est une représentation symbolique d’un
réseau. Il s’agit d’une abstraction de la réalité de
sorte à permettre sa modélisation.
Un réseau de transport, comme tout réseau, peut
être représenté sous forme de graphe. Un graphe
G consiste en un ensemble de noeuds v et d’arcs e.
Par suite, G=(v,e).
Un sommet v (nœud )est un point d’extrémité ou un
point d’intersection d’un graphe .
Un arc e est un lien entre deux sommets. Un arc
possède une direction souvent symbolisée par une
flèche.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
4
La théorie des graphes

Ce graphe se définit de
façon suivante:
G = (v,e)
v = (1,2,3,4,5)
e = (1,2), (1,3), (2,2),
(2,5), (4,2), (4,3), (4,5)
On appelle un sous-graphe d'un graphe un graphe dont on a enlevé
des sommets. Dans le graphe G précédant, le sous graphe
p=1.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
5
la théorie des graphes

Une arête est un groupe de deux sommets tels que
chaque sommet fait partie de l’ensemble des
correspondants de l’autre sommet.
Ce graphe comporte 5 arcs
[(1,2), (2,1),(2,3), (4,3), (4,4)]
et 3 arêtes [(1-2), (2-3), (3-4)].
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
6
la théorie des graphes




L’établissement de chemins est une étape fondamentale
dans la mesure d’accessibilité et de flux de trafic au sein
d’un réseau.
Un chemin eulérien est un chemin simple qui passe une
fois et une seule par chaque arc.
Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois
et une seule par chaque sommet.
Une chaîne est une suite d’arcs telle que chaque arc de
la suite a une extrémité en commun avec l’arc
précedent. La direction n’a pas d’importance.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
7
la théorie des graphes



Un circuit est un chemin fini et fermé dont
l’extrémité terminale du dernier arc coïncide avec
l’extrémité initiale du premier.
Un cycle est une chaîne dont le sommet initial et
terminal coïncide et qui n’emprunte pas le même
arc constitue un cycle.
Il convient de distinguer deux grands types de
graphes : les graphes orientés et ceux qui ne le
sont pas (les graphes non orientées).
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
8
LE problème de transport
PRESENTATION



Le P.T est un problème classique de la
R.O
La solution du P.T est celle qui permet
de transporter les flux du point de
départ au point d’arrivée.
La solution doit également être la plus
économique.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
9
LE problème de transport
FOMRMULATION
Données :





un ensemble K d'usines,
un ensemble L de clients,
les offres a k des usines,
les demandes b l des clients,
les coûts de transports unitaires c(k,l)
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
10
LE problème de transport
FOMRMULATION
c11 x11
a1
1
a2
2
ap
p
b1
2
b2
q
bq
c12 x12
cp2
xp2
cpq
Recherche Opérationnelle
1
xpq
Management Logistique
11
LE problème de transport
FOMRMULATION

On suppose que:
p
Hypothèse 1:
q
a  b
k 1
k
l 1
l
où ak >0 et bl > 0.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
12
LE problème de transport
FOMRMULATION

Le P.T peut être modélisé de la méthode
suivante:
p
q
Min z   c kl x kl
(T)
k 1 l 1
q
x
l 1
kl
 ak
k  1,2,..., p
(disponibi lité)
kl
 bl
l  1,2,..., q
(demande)
p
x
k 1
x kl  0
Recherche Opérationnelle
k  1,2,..., p et l  1,2,..., q
Management Logistique
13
LE problème de transport
FOMRMULATION

Sous l’hypothèse (1), (T) est dit :
« Le problème Standard de Transport » (PST)
p
p q
q p
q
k 1
k 1l1
l1k 1
l1
 a k    x kl    x kl   b l
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
14
LE problème de transport
FOMRMULATION
p
q
k 1
l1
 ak   bl
Si
alors on crée un client fictif :
b  a  b
 q1  k  l
k 1
l1

c kq 1  0, k  1,2,..., p
p
Recherche Opérationnelle
q
Management Logistique
15
LE problème de transport
FOMRMULATION
Si
p
q
k 1
l1
 ak   bl
alors on crée un entrepôt fictif :
a  p b  q a
 p1  l  k
k 1
l1

c p1k  0, k  1,2,..., p
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
16
LE problème de transport

La solution de base initiale:
(a)
La règle du coin Nord-Ouest
(b)
La règle des Coûts Minimums
(c)
Méthode des Approximations de
Vogel
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
17
LE problème de transport

A- La règle du coin Nord-ouest :Soit le problème suivant:
Une E/se de vente représentant trois dépôts et 5 client. La
Matrice des couts ainsi que la disponibilité et la demande du
Client 1 2 3 4 5 Dispo
produit sont
Dépôt
I
II
III
DDE
Recherche Opérationnelle
5
7
8
40
6
9
3
20
4 8
1 52
6
60 30
Management Logistique
10
6
4
50
80
50
70
200
18
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest
(The Northwest Corner Rule)
1
2
3
4
5
ai
I
80
II
50
III
70
b J 40 20 60 30 50
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
19
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest :
On répète cette
étape
Jusqu’à ce que la
Solution initiale soit
obtenue
1
I
2
3
4
5
40 20
II
III
ai
80 40 20
50
70
b J 40 20 60 30 50
0
Recherche Opérationnelle
0
Management Logistique
20
LE problème de transport
La solution initiale est atteinte
I
Matrice de S.I
II
III
bJ
Recherche Opérationnelle
1 2 3 4
40 20 20
5
ai
80 40 20 0
40 10
50 10 0
20 50 70 50 0
40 20 60 30 50
0 0 40 20 0
0 0
Management Logistique
21
LE problème de transport
B- la méthode de Vogel
Appelée également méthode des regrets
ou de la différence maximale, ou de
Balas-Hammer
Cette méthode permet d’obtenir la solution
optimale en moins d’itération
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
22
LE problème de transport
1
I
2
3
4
5
ai
5
6
4
8
10
80
1 5-4
II 7
9
10
5
6
50
1 6-5
III 8
3
6
2
4
70 40
1 3-2
30
bj 40
20
2
7-5
Recherche Opérationnelle
3
6-3
60
2
6-4
30
0
50
3
5-2
Management Logistique
2
6-4
23
LE problème de transport
1
I
2
3
4
5
ai
5
6
4
10
80
1 5-4
II 7
9
10
6
50
1 6-5
III 8
3
6
4
40 20
1 3-2
20
bj 40
2
7-5
Recherche Opérationnelle
20
0
3
6-3
30
60
0 50
2
6-4
__
2
6-4
Management Logistique
24
LE problème de transport
1
I
2
5
3
4
4
5
ai
10
80 20
1
60
II 7
10
6
50
1
III 8
6
4
20
2
20
bj 40
2
Recherche Opérationnelle
0
__
30
60
0
0
2
__
50
2
Management Logistique
25
LE problème de transport
1
I
2
3
4
5
20
5
ai
10
20 0 5
60
II
7
6
50
1
III
8
4
20
4
20
bj
40
20
0
2
Recherche Opérationnelle
30
0
__ __
0
50
__
Management Logistique
2
26
LE problème de transport
1
2
3
4
5
I
ai
0
20
60
II 7
6
50 1
III 8
4
20 4
20
bj 20
2
Recherche Opérationnelle
0
30
0
0
__ __ __
20
50
30
2
Management Logistique
27
LE problème de transport
1
2
3
4
5
I
0
20
II
60
7
6
50 0
20
30
III
0
20
bj
ai
20
0
2
Recherche Opérationnelle
0
__
30
20
0
0
30
0
__
__
Management Logistique
2
28
LE problème de Transport
Exemple du transport de M/SE
La société GALAXY ELECTRONICS est spécialisée
dans la vente d’articles électroménager, cette dernière
doit livrer ses 4 clients, qui lui achètent respectivement
10, 8, 5 et 7 de produit. Il lui reste exactement 30 articles
mais ils sont répartis sur 3 entrepôts : 6, dans le 1er, 9
dans le 2e et 15 dans le 3e.
Les coûts de transport, en DH/A, entre chaque entrepôts
Ri et chaque point de livraison Lj sont donnés dans le
tableau suivant:
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
29
LE problème de transport
Points de
livraison
L1
L2
L3
L4
R1
4
3
7
2
R2
3
4
5
2
R3
5
6
9
7
Entrepôt
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
30
LE problème de transport
Destinations
Sources
L1
L2
2)
Disponibilités
4)
R2
3)
4)
5)
2)
6
0
9
R3
5)
6)
9)
7)
15
Recherche Opérationnelle
7)
L4
R1
Demandes
3)
L3
6
10
8
5
7
1
Management Logistique
Z=?
31
LE problème de transport
Destinations
Sources
L1
R2
3)
R3
5)
Demandes
Recherche Opérationnelle
L2
4)
L3
5)
L4
2)
1
10
6)
8
9)
7)
5
Management Logistique
1
0
Disponibilités
9
8
15
Z=?
32
LE problème de transport
Destinations
L1
L2
L3
Disponibilités
Sources
R2
3)
R3
5)
Demandes
Recherche Opérationnelle
4)
5)
6)
9)
8
10
2
8
5
Management Logistique
8
0
15
Z=?
33
LE problème de transport
Destinations
Sources
R3
Demandes
Recherche Opérationnelle
L1
L2
6)
5)
2
2
0
8
8
0
L3
9)
5
5
0
Management Logistique
Disponibilités
15
0
Z=?
34
LE problème de transport
Destinations
Sources
L1
R1
4)
R2
3)
R3
5)
Demandes
Recherche Opérationnelle
L2
3)
L3
7)
L4
2)
Disponibilités
6
6
4)
5)
2)
8
9
1
6)
9)
2
8
5
10
8
5
7)
Management Logistique
7
15
Z=131
35
L’aLgorithme de stepping
stone

Application:
Soit le tableau suivant traduisant les coûts pour chaque
unitée transférée entre les sources et les puits :
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
36
L’aLgorithme de stepping
stone

1- Recherche d’une solution de base
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
37
L’aLgorithme de
stepping stone

2- Amélioration de la solution de base
a/ Calculer les coûts marginaux notés
pour chaque
liaison non-affectée
b/ Si tous les
sont positifs ou nuls Fin
Sinon, prendre le cycle de substitution associé au
le plus petit.
c/ Retour en a
Les quantités constituent les couts marginaux
unitaires.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
38
L’algorithme de stepping
stone

Il faut prendre toutes les lignes non utilisées avec la
solution de base déterminée en 1, et pour chacune d’elle
essayer de faire passer une unité sur celle-ci tout en
préservant l’équilibre original du graphe.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
39
L’aLgorithme de stepping
stone

Détermination des coûts marginaux :
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
40
L’algorithme de stepping
stone

On détermine maintenant le cycle de substitution de
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
:
41
L’algorithme de stepping
stone

On détermine donc les modifications à effectuer au
final :
On retourne maintenant à l’étape 1 de l’algorithme
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
42
probLème d’affectation
Les problèmes d’affectation sont des cas
spéciaux du problème de transport où la
demande associée à chaque destination est
égale à 1.
 Il existe une méthode, “la méthode
hongroise” qui simplifie la résolution du
problème d’affectation.

Recherche Opérationnelle
Management Logistique
43
Problème d’affectation
Formulation
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
44
Problème d’affectation
La méthode hongroise
( algorithme de KHUN)


L’algorithme de résolution du problème d’affectation
fut crée par Harold KUHN en 1955. Il est utilisé
pour minimiser un cout ou maximiser une
satisfaction suite à différentes affectations .
Il s'agit d'affecter :
- des famille de produits à des zones de stock,
- des commerciaux à des secteurs,
- des ouvriers sur des machines,
- ...
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
45
probLème d’affectation
La méthode hongroise

Application :
• Les coûts de fabrication des ouvriers sur les diverses
machines sont donnés par le tableau ci-dessous.
• Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût
de fabrication minimal
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
46
Problème d’affectation
La méthode hongroise

Etape 1: Obtention des zéros
Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le
coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant
de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ).
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
47
Problème d’affectation
La méthode hongroise

Etape 2:Recherche d’une solution optimale
- On cherche la ligne ou des lignes comptant le
moins de zéro.
- On encadre un des zéros de cette ligne, puis on
barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et
dans la même colonne que les zéros encadrés.
- On répète le processus pour les lignes restantes.
Un zéro encadré par ligne ⇒ Solution optimale
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
48
Problème d’affectation
La méthode hongroise

La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va
appliquer l’étape 3 et 4 de l’algorithme.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
49
Problème d’affectation
La méthode hongroise

Etape 3:Recherche des rangées en nombre minimal
contenant tous les zéros:
a. On marque d’une croix toute ligne ne contenant
aucun zéro encadré.
b. On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une
ou plusieurs lignes marquées.
c. On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une
ou plusieurs colonnes marquées.
d. On répète b) et c) jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de
colonne ou de ligne à marquer.
On trace un trait sur toute colonne marquée.
On trace un trait sur toute ligne non marquée.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
50
probLème d’affectation
La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
51
Problème d’affectation
La méthode hongroise

Etape 4: Déplacement de certains zéros:
-Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait.
- Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux
éléments rayés deux fois et retranché des éléments du
tableau.
- Retour à la phase 2.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
52
Problème d’affectation
La méthode hongroise

Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau cidessous:
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
53
Problème d’affectation
La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
54
Problème d’affectation
La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
55
Le Problème de flots
DEFINITION DU FLOT
Un flot dans un graphe est une valuation
des arcs respectant la loi de conservation
des flux (loi de Kirchhoff)

u 
Recherche Opérationnelle
u


u 
u
Management Logistique
56
Le Problème de flots

G
Soit un graphe G=(X ,U),( , c, s, t) est réseau
SSI :
 est un graphe orienté connexe sans boucle;
 Ce graphe est valué : chaque arc (u, v) du
graphe a une capacité c(u, v);
 la source s de degré entrant nul :
 le puits t de degré sortant nul.
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
57
Le Problème de flots
Un flot est complet si pour tout chemin allant
de la source au puits, il y a au moins un arc
Saturé.

P.S
Un flot complet n’est pas forcément
Maximum.
o Un flot maximum est forcément complet
o
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
58
Le Problème de flots
Exemple de flot complet
On veut acheminer un produit à partir de 3
entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d)

Quantités en stock : 45, 25, 25
Demande des clients : 30,10, 20, 30
Limitations en matière de transport d’un entrepôt à un
client



a
1
2
a
b
c
d
10
1
5
-
20
5
5
20
-
1
E
[0,25]
b
2
S
c
3
-
-
10
Recherche Opérationnelle
10
3
Management Logistique
d
59
Le Problème de flots
Exemple de flot complet
a
1
E
[0,25], 25
b
2
S
c
3
d
Valeur du flot = 80
Ce flot est un flot complet, c-à-d, tout chemin de
E à S comporte au moins un arc saturé
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
60
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson

Cas d’utilisation :Problèmes de charge maximale
admissible par des réseaux (électriques, informatiques,
routiers)
 Principe fondamental :A tout moment, la loi de
Kirchhoff doit être vérifiée sur chaque sommet x
de G
 But : Augmenter le flot jusqu’à son maximum tout
en respectant cette règle
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
61
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson

Principe général :

On part d’un flot compatible
(généralement 0)

On utilise deux fonctions alternativement


Procédure de marquage
Procédure d’augmentation du flot
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
62
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson


But :


Procédure de marquage
trouver une chaîne améliorante
Principe :

Marquage des sommets selon deux critères :


Delta (flot max que l’on peut faire parvenir au
sommet)
Sommet de provenance
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
63
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Procédure d’augmentation du flot


But :


augmenter le flot dans le graphe selon la valeur et
le marquage obtenu par la procédure de
marquage
Principe :

Parcours du graphe du puit vers la source suivant
les indications de provenance de la procédure de
marquage
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
64
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Chercher le flot complet du réseau.
8
a
c
4
7
3
8
2
S
10
b
3
d
4
4
7
P
6
3
e
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
Capacité
65
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
1er marquage
a
(+S)
7 [0]
S
(+)
8 [0]
4 [0]
8 [0]
2 [0]
(+S)
(+a)
4 [0]
3 [0]
b
10 [0]
c
d
3 [0]
(+a)
4 [0]
3 [0]
(+b)
Management Logistique
P
(+c)
6 [0]
() Marquage
e
Recherche Opérationnelle
7 [0]
[] Flot
Capacité 66
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Le flot sur cette chaîne
est maintenant F1=4
7 [4]
S
(+)
a
(+S)
8 [4]
4 [0]
8 [0]
2 [0]
1
1
(+S)
4 [4]
d
3 [0]
On remarque que le flot est
complet dans , c  P
cet arc est saturé.
Recherche Opérationnelle
(+a)
3 [0]
b
f /v  4
[0]
10
c
(+a)
4 [0]
3 [0]
Management Logistique
7 [0]
P
(+c)
6 [0]
() Marquage
e
(+b)
[] Flot
Capacité
67
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Le flot sur cette chaîne
est maintenant F2=3
8 [4]
a
(+S)
4 [3]
7 [4+3] 8 [0]
2 [0]
S
(+)
(+a)
4 [4]
3 [0]
b
10 [0]
c
d
(+S)
3 [0]
(+a)
4 [0]
S a
3 [0]
:cet arc est saturé.
Management Logistique
P
(+d)
6 [0]
() Marquage
e
(+b)
Recherche Opérationnelle
7 [3]
[] Flot
Capacité
68
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
a
F3=3
(-c)
7 [7]
8 [4]
4 [3]
8 [0]
2 [0]
S
10 [3]
(+S)
(+b)
4 [4]
3 [0]
b
(+)
c
d
3 [3]
(+b)
4 [0]
3 [0]
bd
Est saturé
Recherche Opérationnelle
P
(+d)
6 [0]
() Marquage
e
(+b)
Management Logistique
7 [3+3]
[] Flot
Capacité
69
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
F4=3
8 [4]
a
(-c)
7 [7]
4 [3]
8 [0]
c
(+b)
3 [0]
4 [4]
2 [0]
S
(+)
b
d
10 [3+3] (+S)
3 [3]
(+b)
4 [0]
3 [3]
be
Recherche Opérationnelle
(+b)
Management Logistique
P
(+e)
6 [3]
() Marquage
e
Est saturé
7 [6]
[] Flot
Capacité
70
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
F5=1
a
(-c)
7 [7]
S
8 [4]
4 [3]
8 [0]
2 [1]
(+b)
4 [4]
3 [1]
b
10 [6+1] (+)
c
d
3 [3]
(+c)
4 [0]
(+)
d P
S)
3 [3]
Recherche Opérationnelle
(+d)
Management Logistique
P
(+d)
6 [3]
() Marquage
e
Est saturé
7 [6+1]
[] Flot
Capacité
71
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
F6= 1
a
(-c)
7 [7]
S
(+)
8 [4]
4 [3]
8 [0]
2 [1+1]
b
10 [7+1] (+S)
c
(+b)
4 [4]
3 [1+1]
d
3 [3]
3 [3]
bc
f ( S  P) / v  15
Recherche Opérationnelle
(+e)
6 [3+1]
() Marquage
e
(+d)
Management Logistique
P
(+c)
4 [1]
Est saturé
7 [7]
[] Flot
Capacité
72
CONCLUSION
Recherche Opérationnelle
Management Logistique
73