I k - LaCIM

MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
Vingt-quatrième cours
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une
obligation
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une obligation
• Formule Prime/escompte du prix d’une
obligation
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une obligation
• Formule Prime/escompte du prix d’une
obligation
• Formule du montant de base du prix d’une
obligation
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une obligation
• Formule Prime/escompte du prix d’une
obligation
• Formule du montant de base du prix d’une
obligation
• Formule de Makeham du prix d’une obligation
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une obligation
• Formule Prime/escompte du prix d’une
obligation
• Formule du montant de base du prix d’une
obligation
• Formule de Makeham du prix d’une obligation
• Valeur comptable d’une obligation
29/11/07
Rappel du dernier cours
• Formule basique du prix d’une obligation
• Formule Prime/escompte du prix d’une
obligation
• Formule du montant de base du prix d’une
obligation
• Formule de Makeham du prix d’une obligation
• Valeur comptable d’une obligation
• Amortissement d’une obligation
29/11/07
Rappel:
La formule basique pour le prix
d’une obligation est
29/11/07
Rappel:
La formule prime/escompte pour
le prix d’une obligation est
29/11/07
Rappel:
La formule du montant de base
pour le prix d’une obligation est
29/11/07
Rappel:
La formule de Makeham pour le
prix d’une obligation est
29/11/07
Rappel:
Si P > C, nous disons que l’obligation est
vendue à prime.
Si P < C, alors nous disons que l’obligation
est vendue à escompte.
29/11/07
Rappel de notations:
• la valeur comptable de l’obligation après
le versement du ke coupon sera notée
par Bk
• la portion d’intérêt du ke coupon sera
notée par Ik
• l’ajustement à être apporté à la valeur
comptable de l’obligation dans le ke
coupon sera notée Pk
29/11/07
Rappel:
Si l’obligation a n versements
de coupon, alors B0 = P et
Bn = C .
29/11/07
Rappel:
La valeur comptable Bk immédiatement après
le ke coupon est obtenue en utilisant une des
formules (formule basique ou encore formule
prime/escompte ou les deux autres) du prix de
l’obligation au taux de rendement i obtenu lors
de l’achat de l’obligation. Il faut considérer la
somme des valeurs actuelles des coupons et
de la valeur de remboursement.
29/11/07
Rappel:
La portion d’intérêt Ik du ke coupon est
iB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter
l’obligation pour une période au taux i.
L’ajustement Pk à apporter à la valeur
comptable dans le ke coupon est
Pk = Fr - Ik .
Nous avons Bk = Bk-1 - Pk .
29/11/07
Considérons maintenant la table
d’amortissement d’une obligation dont la
valeur de remboursement C = 1$ et les
montants des coupons sont égaux. Par
la définition de taux modifié d’intérêt, les
coupons sont au montant de g dollars. Le
prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p
peut être négatif ou positif.
29/11/07
À cause de la formule prime/escompte,
nous avons
où i est le taux de rendement .
29/11/07
Mais nous aurions aussi pu utiliser la
formule basique et obtenir
où i est le taux de rendement .
29/11/07
29/11/07
Exemple 1:
Considérons l’obligation 5.625 May 08n du Département
du Trésor américain achetée le 22 novembre 2004 au prix
de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six
mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque
semestre. La table d’amortissement est alors
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Période de
capitalisation
Coupon
Intérêt Ik
Ajustement
Pk
0
29/11/07
Valeur
comptable Bk
107.80
1
2.8125
1.75175
1.06075
106.74
2
2.8125
1.734525
1.077975
105.66
3
2.8125
1.716975
1.095525
104.56
4
2.8125
1.6991
1.1134
103.45
5
2.8125
1.6810625
1.1314375
102.32
6
2.8125
1.6627
1.1498
101.17
7
2.8125
1.6440125
1.1684875
100
Exemple 2:
Considérons une obligation dont la valeur nominale est
1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial
est de 5% par année et les coupons sont versés une fois
par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans.
Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par
année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement.
Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année.
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Exemple 2: (suite)
En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix
Cette obligation est achetée à escompte, car son prix
P = 1010.68 est inférieur à sa valeur de remboursement
C = 1010.
29/11/07
Période de
capitalisation
Coupon
Intérêt Ik
Ajustement
Pk
0
29/11/07
Valeur
comptable Bk
1010.68
1
50
60.6408
-10.6408
1021.32
2
50
61.2792
-11.2792
1032.60
3
50
61.956
-11.956
1044.56
4
50
62.6736
-12.6736
1057.23
5
50
63.4338
-13.4338
1070.66
6
50
64.2396
-14.2396
1084.90
7
50
65.094
-15.094
1010
Dans l’exemple précédent, si nous
voulons calculer la valeur comptable B4,
nous utilisons la formule basique et
obtenons puisqu’il reste 3 périodes de
capitalisation et 3 coupons de 50$ . Donc
29/11/07
Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable
B4, retrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la
valeur accumulée du prix au taux de rendement à la
date du 4e coupon, auquel nous soustrayons la somme
des valeurs accumulées des coupons versés à la même
date, à savoir celle du 4e coupon. Il faut inclure le 4e
coupon. Donc
29/11/07
Ainsi nous avons deux approches pour
calculer la valeur comptable Bk d’une
obligation: prospectivement ou encore
rétrospectivement.
29/11/07
Prospectivement il suffit d’utiliser une des
formules du prix pour calculer la somme
des valeurs actuelles des (n - k) coupons
non versés et la valeur actuelle de la
valeur de remboursement pour (n - k)
périodes de capitalisation. Ces calculs
sont faits avec le taux de rendement i
obtenu lors de l’achat
29/11/07
Rétrospectivement il suffit de calculer la
valeur accumulée du prix d’achat P de
l’obligation après le ke coupon, auquel
nous soustrayons la somme des valeurs
accumulées des k premiers coupons.
Ces calculs sont faits avec le taux de
rendement i obtenu lors de l’achat
29/11/07
Exemple 3:
Reprenons l’exemple 1 du 23e cours. Considérons une
obligation dont la valeur nominale est 75000$ d’une durée
de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux
facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée
semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette
obligation est achetée pour que le taux de rendement soit
10% par année capitalisé semestriellement.
29/11/07
Exemple 3: (suite)
Avec nos notations précédentes, nous avons
F = 75000$
C = 78000$
r = 8%/2 = 4% par semestre
n = 15 x 2 = 30 semestres
i = 10%/2 = 5% par semestre
Nous avons aussi calculé le prix P = 64164.79$
29/11/07
Exemple 3: (suite)
Déterminons la valeur comptable B17
immédiatement après le 17e coupon, la
portion d’intérêt I18 de la 18e période et
l’ajustement à apporter P18 à la valeur
comptable au 18e coupon.
29/11/07
Exemple 3: (suite)
Prospectivement nous obtenons que
Rétrospectivement nous obtenons que
29/11/07
Exemple 3: (suite)
La portion d’intérêt I18 de la 18e période est
L’ajustement P18 à apporter à la valeur comptable est
29/11/07
Exemple 3: (suite)
Conséquemment la valeur comptable à la fin de
la 18e période est
B18 = B17 - P18 = 69545.78 - (-477.29) = 70023.07.
Nous pourrions vérifier aussi ceci.
Prospectivement
ou encore rétrospectivement
29/11/07
Lorsque les coupons de l’obligation sont
égaux, nous pouvons remarquer que les
ajustements Pk de la valeur comptable
forment une suite géométrique de raison
(1 + i).
29/11/07
L’amortissement est tout à fait similaire à
ce qui se produit pour l’amortissement
des prêts. Lorsque les coupons sont
égaux pour l’obligation et que les
paiements sont égaux pour le prêt. La
valeur comptable de l’obligation au ke
coupon est similaire au solde restant du
prêt après le ke paiement. La portion
d’intérêt de la ke période pour l’obligation
correspond à la portion d’intérêt du ke
paiement.
29/11/07
Finalement l’ajustement pour l’obligation
est similaire à la portion de principal.
Cependant pour l’obligation, l’ajustement
peut être négatif ou positif; alors que la
portion de principal pour les prêts est
toujours positive.
29/11/07
Nous avons décrit jusqu’à maintenant la
méthode actuarielle pour la construction
de la table d’amortissement de
l’obligation. Il existe une seconde
méthode beaucoup plus simple: la
méthode linéaire.
29/11/07
Dans la méthode linéaire, l’ajustement à
apporter à chaque valeur comptable est
constant à chaque période et est égal à
s’il y a n coupons. La portion d’intérêt
de chaque coupon est constante et
égale à Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n].
29/11/07
Exemple 4:
Reprenons l’exemple de l’obligation 5.625 May 08n du
Département du Trésor américain considérée à l’exemple
1. Cette obligation achetée le 22 novembre 2004 au prix
de 107.80 pour un taux de rendement de 1.625% par six
mois. Le coupon est de 5.625/2 = 2.8125$ à chaque
semestre. Dans ce cas, l’ajustement sera toujours
(107.80 - 100)/7 = 1.1143$
La table d’amortissement est alors
29/11/07
Période de
capitalisation
Coupon
Ajustement Pk
0
29/11/07
Valeur
comptable Bk
107.80
1
2.8125
1.1143
106.69
2
2.8125
1.1143
105.58
3
2.8125
1.1143
104.47
4
2.8125
1.1143
103.36
5
2.8125
1.1143
102.25
6
2.8125
1.1143
101.11
7
2.8125
1.1143
100
Nous allons maintenant considérer le prix
d’une obligation entre des paiements de
coupon. Avant d’analyser plus en détail
ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant
l’hypothèse que le taux de rendement
demeure constant pour toute la durée de
vie de l’obligation.
29/11/07
Considérons le prix P(x) d’une obligation
au moment x de sa durée de vie dont les
valeurs nominale et de remboursement
sont de 100$, le taux facial est r = 4% par
période de capitalisation, d’une durée de
vie de 8 périodes de capitalisation en
supposant que le taux de rendement est
6% par période de capitalisation. Ici x est
compris entre 0 et 8.
29/11/07
Alors P(x) est obtenu prospectivement en
considérant la somme des valeurs
actuelles des coupons de 4$ et de la valeur
actuelle de la valeur de remboursement de
100$. Nous obtenons donc que
Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant:
29/11/07
29/11/07
Notons qu’il y a un saut à chaque x égal à un
entier et il est égal à -4. En effet,
29/11/07
À cause de ces sauts, il est
nécessaire de considérer deux
prix: le prix uniforme (« flat
price ») et le prix du marché
(« market price ») ou encore la
valeur comptable de l’obligation.
29/11/07