Chapitre 1

Diffusion des Rayons X:
quelques notions de base indispensables
1 - Interaction RX / matière
2 - Production des RX
3 - Détection des RX
4 - Diffraction / diffusion
5 - Eléments d’un montage expérimental
Références:
• P.Lorrain et D.R.Corson: champs et ondes électromagnétiques
Armand Colin_collection U (1979)
• C.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloë, Mécanique Quantique
Enseignement des Sciences, Herrman (1973)
• J. Als-Nielsen, D. McMorrow: elements of modern X-Ray physics
John Wiley & Sons (2000)
• Charles Kittel: introduction to solid state physics, 6th edition
John Wiley & Sons (1986)
• Jean Protas: diffraction des rayonnements
Dunod (1999)
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.1 Ondes électromagnétiques
Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:
 longueur d’onde caractéristique l ~ Å (10-10 m)
i.e ~ distances interatomiques
 fréquence caractéristique n
 vecteur d’onde k
=
1
T
= c
l
vitesse lumière
~ Å (1018 Hz)
direction de propagation
|k| = 2p/l
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.1 Ondes électromagnétiques
Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:
 champ électrique E créé par des « charges en mouvement »
 champ magnétique B « conséquence relativiste » |B| ~|E|/c
on le néglige en première approximation

E B
Ek
Bk
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.1 Ondes électromagnétiques
Les rayons X sont des ondes électromagnétiques:
E
w
n
= 2
p
r = c·T = l
k
B
E(r,t) = Eo · cos{ 2p · (wt - k·r - ) }
E
= 0
r
 r|Emax(t) 
 r|Emax(t)
t
= c =
w
= ln
k
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Photons
Les rayons X vus du point de vue corpusculaire: PHOTONS
 masse nulle !
 quantité de mouvement: hk
 énergie: E = hn = hw ~ 10 keV
>> énergie d ’ionisation et de vibrations dans la matière ( ~ eV)
l
[Å] =
12.398
E [ keV ]
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Diffusion d’un photon par un électron
RX ~ champ électrique  interagit avec particules chargées
 protons: NON
car lourds et écrantés par électrons
 électrons: OUI
-e = -1.6 10-19 C,
me = 9.1 10-31 kg
• e- de conduction: ~ électrons libres
• e- de coeur: électrons liés ~ oscillateurs harmoniques amortis
 approche quantique: « Quantifier potentiel vecteur !!! »
pas traité dans ce cours, mais nécessaire
comprendre l ’origine de l ’absorption ...
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron
 approche quantique: garder la représentation schématique
kf wf
Q = kf-ki
transfert d’impulsion
w = wf - wi transfert d’énergie
ki wi
 approximation diffusion élastique: w  0  |ki |  | kf |
indice de réfraction RX dans la matière très proche de 1
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron
 approche classique: dipôle rayonnant
onde diffusée = onde plane à r  
Eo
déphasage p
Eradiation (r,t) =
conservation énergie dissipée  Erad 2
1
4poc2
1
-i(kr-wt) ·a(0,t’)
· |r|
e
accélération retardée:
on perçoit en r à t, l ’état du dipôle à t’ = t - r/c
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron
 accélération retardée: électron lié ~ oscillateur harmonique
électron libre
-iwt
eEoe
1D 
d2x
dx
+ kx
= m 2 +b
dt
dt
force appliquée
force de frottement ABSORPTION
alié = -eEoe
-iwt
S F = m·a
force de rappel
2
w
(k-mw2 )
bw3

-i
2 2
2 2
(k-mw2 )2 + b2w2
(k-mw ) + b w
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.2 Diffusion cohérente d’un photon par un électron
 Champ électrique diffusé pour un électron libre
alibre =
e
m
Erad = | Eradiation (r)| = -
 Eo e-i
wt
e2
 Eo · 1  e ikr
|r|
4pomc2
longueur de diffusion de Thomson ro= 2.82 10-5 Å
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.3 Polarisation
Erad (q) = Erad  cos(2q)
observation dans plan de polarisation de Eo

r
2q
2
1+cos
(2q)
Puissance dissipée en faisceau non polarisé  Erad(r) 
2
2
 plan de polarisation de Eo
r

2q
Erad indépendant de q
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.4 Absorption
 électron lié: travail de la force de frottement
dx
dW = b
 dx
dt
dW = b  dx
dt
dt
2
e2Eo2
=
2b
Origine microscopique  Méca. Q. potentiel vecteur A
• effet photoélectrique
• fluorescence X
• émission électron Auger
 approche macroscopique (N électrons absorbants) :
Intensité = oc2Eo2
N e2
dW
 N dx
= dI = 2b oc2
dt
coefficient d’absorption linéaire
I dx
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.5 Diffusion Compton
 un exemple de diffusion inélastique
hki
hkf
énergie transférée à un électron
hq
1
 longueur de diffusion de Compton
Ef/Ei
10keV
100keV
50°
processus incohérent
100°
h = 3.86 10-3 Å
lC = mc
2q
sonde pour étudier la matière dans l’espace ( r, p )
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.6 Réfraction / réflexion
 indice de réfraction pour les RX dans la matière :
 ~
n = 1 -  + ib
10-5 dans les solides
10-8 dans l’air
b << 
réfraction : Snell-Descartes
cos(a) = n  cos(a ’)
réflexion totale
ac ~  2
a
a’
change l’angle d ’incidence en profondeur ...
perceptible si très grande résolution ...
cos(a ’) < 1
a < ac
fabrication d’optique pour les rayons X !!!
Chapitre 1: Interaction RX / matière
1.7 Section efficace
r
flux Fo
dS = r2dW
Ao
s=
Nb. part. / unité W /unité temps
 dn =
Fo dW
flux incident
1
I
Fo = o ~ |Eo|2
Ao
dn ~ |E |2  r2
rad
dW
longueur diffusion Thomson
s=
|Erad |2  r2
|Eo|2
= ro2  P
polarisation
Chapitre 2: Production des RX
2.1 Tube de Coolidge
RX
cathode
fenêtre Be
anode
filament W
Cu, Mo, Ag ...
courant
(mA)
circulation d’eau
électrons
HT
(kV)
Chapitre 2: Production des RX
2.1 Tube de Coolidge
rayonnement de freinage
M
L
Ka
transitions atomiques
Kb
K
log(I)
Energie
Chapitre 2: Production des RX
2.2 Anode tournante
rotation > 1000 tr/min
permet d ’augmenter
la puissance et donc
le flux de photons
Chapitre 2: Production des RX
2.3 Rayonnement synchrotron
 conséquence relativiste du rayonnement par des particules
chargées voyageant à très grande vitesse
1
E=
mv2 = g mc2
2
1
g
orbite des e- (ou e+)
accélération  champ magnétique
F = q(E + v  B )
source de rayonnement très intense, polarisée et très de faible divergence
Chapitre 2: Production des RX
2.3 Rayonnement synchrotron
 élément d ’insertion : Wiggler
diminuer le rayon de courbure pour augmenter l’accélération
plan horizontal
K
g
superposition incohérente  intensité 2N où N nombre périodes
plan vertical
N
S
1
g
Chapitre 2: Production des RX
2.3 Rayonnement synchrotron
 élément d ’insertion : Ondulateur
plan horizontal
1
N  g
superposition cohérente  intensité N2  spectre discontinu
plan vertical
N
S
1
N  g
Chapitre 2: Production des RX
2.4 Comparaison des diverses sources
 brillance
photons/s/ mrad2 /mm2 / 0.1%Dl
flux/angle solide
/unité surface échantillon
/résolution en énergie
Chapitre 3: Détection des RX
3.1 Films photographiques
D = KIst
• D : densité photographique
• I : intensité du faisceau X incident (sur le film)
• s : surface de pellicule exposée au rayonnement !!!
• K : constante de proportionnalité caractéristique du film
• t : temps de pose
Chapitre 3: Détection des RX
3.2 Détecteurs ponctuels
 chambre d’ionisation
Un gaz (argon ou krypton sous faible pression + halogène en faible
teneur) est soumis à une haute tension proche du claquage. Lorsqu’un
photon X apporte un excès d ’énergie, le gaz est ionisé et une impulsion
de courant produite que l ’on détecte dans circuit électronique adéquat.
Il existe plusieurs régimes de fonctionnement: proportionnel et GeigerMuller ...
 compteurs à scintillation
Il s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés
en photons visibles par un cristal d’iodure de sodium dopé au thallium et
sont ensuite détecté par une cellule photoélectrique ...
 diodes PIN
Il s ’agit d’un compteur proportionnel où les photons X sont transformés
en paires électrons trous dans un cristal de silicium ou germanium
fortement dopé en lithium. Le dispositif constitue un type jonction PN
qui permet de mesurer un courant...
Chapitre 3: Détection des RX
3.3 Image Plate
fenêtre Be
“Phosphore” ( ions Eu3+)
Ecriture : lorsqu’un photon X frappe le “phosphore”,
des électrons sont excités sur des niveaux pièges de
longue durée de vie ...
fibre optique
désexcitation par laser
rouge, lecture dans le
bleu par photodiode
effacement de l ’information
rémanente par éclairement
blanc intense
Chapitre 3: Détection des RX
3.4 Caméras CCD
fenêtre Be
“Phosphore” (Gd2O2S) : conversion RX visible
condenseur à fibres optiques
refroidisseur à effet Peltier
matrice de capacités MOS couplées
i.e. lorsque qu’un photon frappe un pixel MOS, une charge
électrique est stockée que l ’on peut lire ensuite grâce à un
processus de polarisation séquentielle des capacité MOS ...
Chapitre 3: Détection des RX
3.5 Caractéristiques à retenir des différents détecteurs
 ponctuels
• très bonne dynamique
• très bonne résolution spatiale (dépend géométrie appareillage)
• temps de comptage peut être long (pose + déplacement)
 image-plate
• très bonne dynamique, excellent rapport signal/bruit
• très bonne résolution spatiale: détecteur grand et distance grande
• lecture ~1 minute, temps de pose peut être long
 camera CCD
• bonne dynamique
• résolution spatiale moyenne
• acquisition et lecture rapides
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.1 Diffusion par 2 particules
kf
1
ki
r12
I  A2
2
différence de marche optique  déphasage 1 / 2
ki
Q = kf - ki
kf
Q  r12
amplitude diffusée à , avec référence en 1
r12
pouvoir diffusant de la particule 1
-ro pour 1 électron
A = A1 + A2 e
i Q r12
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.2 Généralisation à N électrons
 origine des positions arbitraire:
N
A = S Aj ei Q rj
j=1
 approximation cinématique pour la densité électronique:
•un élément de volume infinitésimal dV contient dn = n(r)dV électrons
densité électronique
•et donc un pouvoir diffusant -rodn
•l ’amplitude totale diffusée est donc de la forme:

-roEo  

n( r )  ei Q rj  dV = TF[n( r ) ]
transformée de Fourier
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.3 Facteur de diffusion atomique
 modèle d ’atome sphérique:
n(r) ~ S r b  e-ar
 facteur de diffusion atomique:
fj
fj (0) = Ze
fj =

 n( r

)  ei Q rj  dV
électrons de valence
électrons de coeur
petits angles
|Q|
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.4 Diffusion par une assemblée de N atomes
 modèle d’atomes sphériques indépendants
 facteur de structure :
 intensité diffusée :
F(Q) =
N
S
fj e
j=1
i Q rj
< F(Q) F*(Q) >temps
mesure !
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg
 périodicité:  Tm tel que n( r+Tm) = n( r )
où pour un système 3D : Tm = um a + vm b + wm c
u,v,w 
N
les vecteurs a b c définissent une maille élémentaire
Tm
 l’ordre tridimensionnel est ici un ordre à longue portée
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg
 facteur de structure :
F(Q) =
somme sur toutes les mailles
M
N
S
S
fj ei Q ( r + T )
m=1 j=1
j
m
somme sur les atomes de la maille
 réseau réciproque : on introduit une nouvelle base a* b* c*
a* b = b* c = c* a = a* c = c* b = b* a = 0
c
a* a = b* b = c* c = 2p
c*
Q = H  a* + K  b* + L c*
H K L quelconques pour l ’instant
b
a
a*
b*
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.5 Cas de systèmes périodiques - loi de Bragg
 H K L entiers ?
i Q Tm
e
=1 
Q  Tm = H um + K vm + L wm = n2p
N
F(Q) = M  S fj ei Q  rj = M  Fmaille
j=1
 interprétation géométrique :
2q
d
différence de marche optique 2d  sin(q) = n l
|Q|
n
sin(q)
=
=
2
2d
4p
kf
ki
interférences constructives
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.5 Cas de systèmes périodiques - diffraction
 H K L entiers
Q = H  a* + K  b* + L c*
les vecteurs Q forment un réseau appelé réseau réciproque !
Tm
QHKL
et correspondent aux seules directions pour
lesquelles on observe de l ’intensité diffractée !
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.6 Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne
 pour chaque maille “m” il peut exister des fluctuations :
de position, de composition, etc.
 l’intensité mesurée pour un échantillon baignant dans le
faisceau X incident devient aussi une moyenne d’espace
i Q Tmn
*
I(Q)  S
S
<
F

F
>

e
m
m+n n,t
m n
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.6 Désordre dans des systèmes périodiques en moyenne
 diffraction de Bragg
IBragg(Q)  | < Fm> |2
 diffusion diffuse ... après quelques étapes de calcul ...
dépendance en Q liée uniquement au
contenu d’une maille  diffusion “large”
< |Fm|2 > - | < Fm> |2
Idiffus(Q) 
+
S ( < F0F*n > - < F0 > < F*n > )  ei Q T
n0
n
forte dépendance en Q si corrélations
“maille à maille” : transitions de phase,
phases modulées, etc.
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.7 Agitation thermique ...
 Fluctuations quadratique moyenne des atomes autour des
positions d ’équilibre:
 diffraction de Bragg
IBragg(Q)  Fo2 e-aQ
2
pour un système monoatomique avec agitation isotrope !
 diffusion diffuse
Idiffus(Q)  1 - e
-aQ2
Chapitre 4: Diffraction / Diffusion
4.8 Matière “molle” et auto-organisée ...
 Ordre à courte et moyenne portée
 Distances caractéristiques plutôt grandes
 Objet des cours suivants de cette école RX ...
Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental
5.1 Construction d’Ewald
Vecteur Q en condition de diffusion
en contact avec la sphère d’Ewald
Origine de l ’espace réciproque
Sphère d ’Ewald: |k| = cste
Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental
5.1 Construction d’Ewald
Chapitre
5: Eléments
d’un montage
expérimental
Chapitre
4: Diffraction
/ Diffusion
5.2 Exemples de Clichés de diffraction/diffusion des rayons X
composite
incommensurable
cristal 3D
fibres
Chapitre 5: Eléments d’un montage expérimental
5.3 Eléments d’une chaine de mesures
environnement
échantillon
générateur
détecteur
optique:
tête goniométrique
• miroirs
• monochromateur
+ informatique: interfaçage, traitement des données brutes, analyse, etc.