Généralités sur les automatismes et les automates

Les automates programmables
« 1.6. Les opérateurs logiques »
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Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction OUI
Les équations logiques sont composées de fonctions élémentaires.
Chacune de ces fonctions assure une opération, ce qui fait qu’on les appelle aussi des
opérateurs logiques.
1 - Fonction OUI
Cette fonction n’est pas utilisée en tant que fonction.
a
0
1
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s
0
1
S=a
La sortie S est égale à 1 si la variable a est à 1.
2
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction NON
2 - Fonction NON, ou complément (NO)
L’opérateur NON inverse le signal d’entrée, on dit qu’il le complémente.
a
0
s
1
1
0
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S=a
La sortie est à l’état 1 si l’entrée est à l’état 0 et
inversement.
3
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction ET
3 - Fonction ET, ou produit logique (AND)
a
0
0
1
b
0
1
0
s
0
0
0
1
1
1
S = a . b (S = a ET b)
La sortie est à l’état 1 si toutes les entrées sont à
l’état 1.
a
b
s
Si un opérateur ET possède n entrées, il faut
que ces n entrées soient à l’état 1 pour que la
sortie soit à l’état 1, ce qui oblige à mettre au
1 logique les entrées non utilisées.
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4
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction OU INCLUSIF
4 - Fonction OU INCLUSIF, ou somme logique (OR)
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
s
0
1
1
1
S=a+b
(S = a OU b)
La sortie est à l’état 1 si unes ou plusieurs
entrées sont à l’état 1.
a
S
b
En regardant la table de vérité, on voit que cette fonction inclut la fonction ET (ab = S), de ce
fait, on l’appelle OU INCLUSIF.
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5
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction OU EXCLUSIF
5 - Fonction OU EXCLUSIF (XOR – OUX – EXOR)
a
0
0
1
1
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b
0
1
0
1
s
0
1
1
0
S=ab
( S = a OU exclusif b)
La sortie est à l’état 1 si une ou l'autre, mais une et une seule
des entrées est à l’état 1.
6
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction NON ET
6 - Fonction NON ET (ET NON) (NAND)
C’est la réunion de la fonction ET et de la fonction NON.
C’est donc la fonction ET complémentée.
a
0
0
1
b
0
1
0
s
1
1
1
1
1
0
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S = a + b => S = a + b (d’après De Morgan)
La sortie est à l’état 0 si toutes les entrées sont à l’état 1.
7
Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques – Fonction NON OU
7 - Fonction NON OU (OU NON) (NOR)
C’est la réunion de la fonction OU et de la fonction NON.
C’est donc la fonction OU complémentée.
a
b
s
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
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S = a + b => S = ab (d’après De Morgan)
La sortie est à l’état 0 si une ou plusieurs entrées sont à l’état 1.
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Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
Relations fondamentales d’algèbre de Boole
PROPRIETES
PRODUIT
ADDITION
Indempotence
a.a = a
a+a = a
Commutativité
a.b = b.a
a+b = b+a
Associativité
a.(b.c) = (a.b).c
+
a + (b+c) = (a+b) + c
Absorption
a.(a.b) = a.b
a + a.b = a
Distributivité
a.(b+c) = a.b + a.c
a + b.c = (a+b) (a+c)
Complémentarité
_
a.a=0
_
a+a=1
Involution
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=
a=a
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Séquence 1 animation 6 – Les opérateurs logiques
De Morgan - Théorème
Augustus De Morgan, mathématicien et logicien anglais (1806 – 1871).
Le complément d’une somme booléenne est égal au produit
booléen des compléments de chaque facteur de la somme.
____ _ _
a+b =a.b
Le complément d’un produit booléen est égal à la somme
booléenne des compléments de chaque facteur du produit.
____ _ _
a.b =a+b
Les relations fondamentales ainsi que le théorème de De Morgan sont très utilisées pour :
- simplifier des équations logiques,
- pour l’écriture de certains programmes quand les fonctions logiques de
base ne sont pas toutes implémentées dans le langage de l’automate ou
de l’ordinateur utilisé.
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