Cours 1 - Laboratoire de Physique des Plasmas

COURS 1
INTRODUCTION
Deux types de descriptions des plasmas
 Description fluide
quelques paramètres macroscopiques : n, u, p, q, …
 Description microscopique
fonctions de distribution : fs(v) (distinguer les espèces, e ou i)
Lien entre les deux descriptions = moments (centrés)

n   f (v)dv



nu   vf (v)dv p / m   (v  u ) 2 f (v)dv



q / m   (v  u )3 f (v)dv

etc...
Signification des premiers moments
f
u
v
n = surface sous la courbe
u = valeur moyenne
Vth = largeur de la courbe autour de sa moyenne (p = nVth2)
q = dissymétrie de la courbe autour de sa moyenne
etc...
NB. Ces définitions très générales sont indépendantes de la collisionnalité. Dans
ce cadre, on ne peut pas utiliser la notion thermodynamique de température
(limitée au collisionnel). Ici, quand on parle de T, c’est juste le paramètre T=p/n
Interaction vent solaire/ champ magnétique terrestre
Peut se raconter en termes des seuls moments
Mais est-ce modélisable sans connaître le f(v) qui se cache derrière?
Au choc, n ↗, p ↗, v ↘ et tourne, B ↗ et tourne, etc...
Modèles fluides et cinétiques
 L'évolution des fs(v) est régie par une équation connue
(Vlasov si pas de collisions)
 si on connaît les fs(v) initiaux complètement, on sait exactement
comment elles évoluent (et les moments aussi, évidemment). Mais
luxe de détails lourd et cher (surtout en 3-D et pour les grandes
échelles)
 codes Vlasov, PIC, hybrides, etc...
• En général, connaître l'évolution de n, u, p est suffisant,
mais
Si on connaît n, u, p initialement, leur évolution ultérieure n'est a priori pas
unique
 codes fluides (MHD, bi fluides, etc...) : demandent des hypothèses pas
universelles, ne pas utiliser sans précaution dans un plasma sans collisions
En pratique, dans les milieux sans collisions :
 Les codes fluides (en particulier MHD) sont généralement utilisés pour décrire
les grands échelles (L>rayons de Larmor, longueurs d'inertie, longueur résistive,
…), éventuellement en 3-D : modélisation globale d'une magnétosphère, expansion du
vent solaire, ...
 Les codes cinétiques sont plutôt employés pour étudier des "détails" de petites
dimensions et souvent en 1-D ou 2-D pour des raisons d'économie : étude locale
et fine d'une couche frontière comme la magnétopause, voisinage des points de
reconnexion, ...
 Ces choix ne sont que partiellement justifiables. Un code fluide ne donne pas
toujours des résultats satisfaisants, même à grande échelle. Un code cinétique
n'est pas forcément indispensable, même à petite échelle.

L'objet de la semaine est de manipuler les deux sortes de codes sur quelques exemples simples pour
faire réfléchir et aider à se faire une idée concrète des limites et des applications possibles de chaque
type.

Quelques exemples de physique spatiale seront également présentés rapidement en cours pour illustrer
comment ce problème se pose aux chercheurs
Description fluide (moments)
ne veut pas dire
mouvements moyens identiques pour toutes les particules
Collisionnel
Non collisionnel
 Mais équations de moments (conservation du nombre de particules, de
l'impulsion, de l'énergie, ...) toujours vérifiées dans tous les cas, avec ou
sans collisions
Comportement collectif et comportement fluide

Intuitivement, on devine qu'un comportement "fluide" (à définir) ne peut exister que
si chaque particule est suffisamment en interaction avec les autres pour que sa
trajectoire partage avec celles-ci quelque chose de commun, un comportement un
minimum "collectif". Si chaque particule va simplement en ligne droite, toute
perturbation de densité, par exemple, va rapidement se diluer et disparaître : pas de
possibilité de propagation d'onde par exemple.
 On verra que cette idée n'est pas fausse et qu'un tel comportement "collectif"
peut se produire essentiellement pour trois raisons :
 - Collisions : les particules se poussent les unes les autres  même vitesse
moyenne, dans toutes les directions
 - Champ magnétique : les particules ont toutes quasiment la même vitesse
moyenne perpendiculairement à B: v^= ExB/B2
 - Champ électrique : il impose une force commune sur toutes les particules
chargées : cause possible de comportement collectif (parallèlement à B si
champ magnétique). Dépend de la valeur de E ( température électronique)
Cas collisionnel
(pour mémoire)
 Quand les collisions sont suffisamment nombreuses,
la forme de f(v) est déterminée de façon unique (via des
développements rigoureux et bien établis) :
-
Tout état uniforme stationnaire est Maxwellien et isotrope (équilibre
thermodynamique)
-
Tous les gradients macroscopiques correspondent à une petite
déformation de f(v) calculable et unique (équilibre thermodynamique
local)  possibilité d'un modèle fluide "exact" , avec des
"coefficients de transport " ~ linéaires :
q  (T )
p  po I  σ
avec σ  ν.(u)
Plasmas "sans collisions"
 Pas de distribution d'équilibre universelle
tout f(v) uniforme est aussi stationnaire, quelle que soit sa
forme*
*Attention quand même : certaines distributions sont des équilibres instables
(instabilités cinétiques). Dans ces cas, f(v) évolue donc spontanément et
irréversiblement vers des fonctions plus stables
 L'évolution des moments, à partir d’un f(v) donné,
n'obéit pas a priori à un modèle universel
néanmoins, cette évolution reste souvent peu dépendante au moins qualitativement- de la forme exacte de f(v)
 puissance reconnue de la MHD et autres codes fluides
Exemple : le vent solaire
 Modèle fluide très simple de Parker , 1958 (isotherme,
B radial)
 allure très raisonnable de l'expansion du vent solaire.
Erreur numerique ~ facteur 2 sur la valeur de la vitesse à
1UA.
Possible de faire mieux par des modèles cinétiques
(récent), mais très difficile et incomplet aussi (rôle des
ondes?)
Distributions dans le vent solaire
Electrons
Protons
 Pas vraiment Maxwelliennes!
 Peut être pas si important pour comprendre
qualitativement les grandes échelles de l'expansion (?)
Les modèles fluides
 Equations fluides: suite infinie d'équations différentielles exactes
Obtenues par intégrations de Vlasov
 toujours vérifiées, dans la nature ou dans n'importe quel modèle, cinétique ou
fluide
 Mais modèle fluide (prédictif) = système d'un petit nombre
d'équations reliant les seuls 1ers moments
(par exemple n, u, p)
 nécessité de tronquer le système par une équation "de fermeture"
approximative, pas toujours évidente à trouver ou à justifier sans collisions
(parfois impossible)
 Modèle fluide = N-1 équations exactes +1 équation approximative
(+ équations de Maxwell et autres équations de forces extérieures s’il y en a)
Phénomènes "cinétiques"
 = déformations de f(v) qui ne sont pas directement dus
à des variations des paramètres macroscopiques
 L'espace des vitesses peut avoir une dynamique propre (a priori
inaccessible aux calculs fluides). Principal exemple : les instabilités
cinétiques, dues à la forme de f(v), même en milieu homogène.
 Particules résonnantes  phénomènes irréversibles de diffusion dans
l'espace des vitesses  induit des termes de "viscosité" dans l'espace
de configuration, et de la dissipation
f
f
plateau
v
v
Modélisation fluide d'un plasma sans collisions
Puissance et limites
 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques de la semaine:
1.
Quand elle est justifiée, l'approche fluide est beaucoup plus rapide, plus
souple et plus efficace
2.
Un milieu est toujours descriptible par ses moments, quels que soient les
phénomènes en jeu (prévisibles ou non par des modèles fluides)
3.
L'évolution de ces moments est généralement "raisonnable" , même
lorsqu'aucun mécanisme ne cause de comportement collectif .
Ceci rend souvent possible l'existence d'une fermeture adaptée (mais non
universelle). Une telle fermeture repose sur des hypothèses concernant la
forme de la fonction de distribution sous-jacente
Modélisation fluide d'un plasma sans collisions
Puissance et limites
 5 ou 6 idées à retenir des expériences numériques de la semaine:
4.
Dans une description mono-fluide, le rôle des électrons et des ions est très
différent. Les électrons sont capables de créer un comportement collectif, via
le champ électrique.
5.
Le rôle des "effets cinétiques" (instabilités et résonances), s'il y en a, est
particulièrement difficile à prendre en compte dans une fermeture fluide (
termes dissipatifs)
6.
Dans un plasma magnétisé, la direction perpendiculaire à B a un
comportement naturellement collectif, indépendamment des électrons
Du cinétique au fluide (1-D)
Toutes les équations fluides s’obtiennent en intégrant l’équation
cinétique (Vlasov) sur les vitesses. Ce sont des équations de
conservation ( pas de dissipation)
Chacune relie la dérivée temporelle du moment d’ordre n à la
dérivée spatiale du moment d’ordre n+1  système infini
f  f (t , x, v)
dt ( f )  C
 t ( f )  v x ( f )  F / m  v ( f )  C

à 1-D :
 t (n)   x (nu )  0
 t (nmu )   x ( p  nmu 2 )  nF
 t ( p  nmu 2 )   x (q  3 pu  nmu 3 )  2nuF
...
Autre forme des équations fluides
d t ( n)
  x (u )  0
n
nmdt (u )   x ( p )  nF
 (q)
p
d t  3   x 3  0
n 
n
...
Attention: on ne donne ici que les équations sous leur forme 1-D
En 3-D, les dérivées par rapport à x deviennent des nablas, la
pression devient tensorielle et la 3ième équation (énergie) fait
intervenir n5/3 au lieu de n3.
Equations de fermeture
Le plus souvent à l’ordre 3
Fermeture la plus simple : fermeture adiabatique q=0 : (symétrie)
p


dt  3   0
n 
Tous les phénomènes ne respectent évidemment pas q=0.
Le choix d’une bonne équation de fermeture est la difficulté principale des
méthodes fluides.
Une fermeture usuelle est de garder la même forme (polytrope) et de remplacer la
puissance 3 par un g bien choisi. De façon générale, toutes les formes q = q(p,n)
correspondent à des fermetures non dissipatives
Les formes avec dérivées q = q(p,n,p’,n’) sont des fermetures dissipatives. Voir
terme de conduction q = kT ’ (loi de Fourier dans les milieux collisionnels)
Code fluide (MHD) utilisé en TP : fermeture q = kT ’  adapté a priori aux
milieux collisionnels. Intéressant de voir ce qu'il prévoit de correct ou non
pour un milieu sans collisions (comparaison résultat hybride). Et de réfléchir
à d'autres fermetures meilleures pour décrire ce qui est mal décrit avec ce
code.
Ondes sonores linéaires
(rappel de méca flu élémentaire, utile pour le TP)
d t ( n)
  x (u )  0
n
nmdt (u )   x ( p)  0
p

dt  g
n
0


 
n
 1  ku1
no
  no mu1  kp1
p1
n1
g
po
no
cs2
2
po
   g
no m
k

po
g
no m
p1
u1
n1
 g n  g
o
po
cs
u1
n1

no  / k
p1

 u1
 no m
k
p1
n1
g
po
no
Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques ioniques)
Rôle des électrons et de E

 d t ( n)
 n   x (u )  0

nmi d t (u )   x ( pi )  nqE

  pi 
d t  n g i   0

 
 x ( pe )   nqE

  pe 
d t  n g e   0
 

 d t ( n)
 n   x (u )  0

nmi d t (u )   x ( pi  pe )  0

 d t ( pi )  g d t (n)
i
 pi
n

 d t ( pe )  g d t ( n )
e
 pe
n
Ondes sonores linéaires en plasma (acoustiques ioniques)
Rôle des électrons et de E

n1
 ku1
no
 no mu1  k ( pi1  pe1 )
cs2

g i pio  g e peo
no mi
n1
pi1  pe1  g i pio  g e peo 
no
Si électrons froids et pas de collisions :
Ions simplement balistiques. Rien de collectif. La fermeture choisie a
peu de chances d'être valable. Résultat de l'expérience numérique?
Ondes propagatives? Amortissement?
Si électrons chauds: ions dans le même champ collectif E  plus de
chance d'avoir un comportement collectif. Réaliste?