Séance 2

Gestion de Portefeuille
3-203-99
Albert Lee Chun
L'environnement
institutionnel
Séance 2
09-02-2008
0
Liste des séances
Séances 1 et 2 : L'environnement institutionnel
 Séances 3, 4 et 5: Construction de portefeuilles
 Séances 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs financiers
 Séance 8: Efficience de marché
 Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions
 Séance 10: Gestion de portefeuilles obligataires
 Séance 11: Mesures de performances des portefeuilles

1
Séances 1 et 2 : L'environnement
institutionnel











Institutions financiers
Fonds mutuels
Coûts des fonds mutuels
Performance des fonds mutuels
Fonds indiciels
Politique de placements
Performance des catégories d'actifs
Corrélations
Espérance et Volatilité des rendements
Fonction de probabilité normale
Valeur-à-risque
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Portfolio Management
2
Rendement pendant la période de détention
Albert Lee Chun
Portfolio Management
3
Rendement pendant la période de détention
HPR 
P
1

P
P
0

D
1
0
HPR = <<Holding period return>>
P0 = Prix de depart
P1 = Prix final
D1 = Dividende à la fin de la période
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Portfolio Management
4
Rendement pendant la période de détention
Le HPR est le changement de pourcentage dans la valeur (avec
dividendes) de l’actif pendant la période.
P1  D1  P0 P1  D1
HPR 

 1  % de Prix
P0
P0
Supposons P0  $200, P1  $210 et D1  $10
$220
HPR 
- 1  1.10  1  .10  10%.
$200
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Portfolio Management
5
Rendement pendant la période de détention
Supposons qu’on veut évaluer le rendement de HP
pour une obligation sans coupon avec une valeur nominale
de 100$
100
(
T
)


1
rf
P(T )
C’est un rendement sans risque pendant la période
de détention pour un horizon d’investissement de période T.
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6
Portefeuille d’investissement

Le taux de rendement du portefeuille
d’investissement est le changement de
pourcentage de la valeur (avec dividendes) du
portefeuille pendant la période.

Le taux de rendement du portefeuille
d’investissement est aussi la moyenne
pondérée de rendement de chaque actif du
portefeuille.
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Portfolio Management
7
Le calcul du HPR
Methode 1: Calculez directement le HPR.
#
Shares
100 000
200 000
500 000
r=
Begin
Price
$ 10
$ 20
$ 30
1,095
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Beginning Ending
Ending
Market
Mkt. Value Price Mkt. Value HPR HPY Wt.
$ 1 000 000
$ 12 $ 1 200 000 1,20 20% 0,05
$ 4 000 000
$ 21 $ 4 200 000 1,05 5% 0,20
$ 15 000 000
$ 33 $ 16 500 000 1,10 10% 0,75
$ 20 000 000
$ 21 900 000
$ 21 900 000
$ 20 000 000
=
1,095
-1
=
0,095
=
9,5%
Portfolio Management
Wtd.
HPY
0,010
0,010
0,075
0,095
8
Le calcul du HPR
Méthode 2: Moyenne pondérée.
#
Shares
100 000
200 000
500 000
r=
Begin
Price
$ 10
$ 20
$ 30
1,095
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Beginning Ending
Ending
Mkt. Value Price Mkt. Value
$ 1 000 000
$ 12 $ 1 200 000
$ 4 000 000
$ 21 $ 4 200 000
$ 15 000 000
$ 33 $ 16 500 000
$ 20 000 000
$ 21 900 000
$ 21 900 000
$ 20 000 000
=
-1
=
0,095
=
9,5%
Market
return Wt.
1,20
20% 0,05
1,05
5% 0,20
1,10
10% 0,75
Wtd.
return
0,010
0,010
0,075
0,095
9,50%
1,095
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Les deux
méthodes
donnent le même
résultat 9.5%.
9
Espérance et volatilité des rendements
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10
L’avenir est imprevisible


Supposons que vous achetez une obligation a $900 et
que sa valeur nominale est de $1000 dollars. Il n’y a pas
de risque. Vous pouvez être certain que votre
rendement sera de $1000/$900 – 1 = 11.11%.
Maintenant, supposons que vous achetez une action à
$90 dollars. Vous ne savez pas, quelle sera sa valeur
dans un an. Donc, vous ne connaissez pas le
rendement. Mais vous pouvez estimer l’espérance de
rendement.
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11
Distribution des probabilités
Investissement sans risque
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-5%
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0%
5%
Portfolio Management
10% 15%
12
Distribution des probabilités
Investissement risqué avec 10 possibilités de rendement,
chacun avec la même probabilité.
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-40% -20% 0%
Albert Lee Chun
Portfolio Management
20% 40%
13
Distribution de probabilités
Investissement risqué avec 3 possibilités de rendement,
chacun avec une différente probabilité.
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-30%
Albert Lee Chun
-10%
Portfolio Management
10%
30%
14
Rendement espéré d’un investissement
risqué
4 états possibles du monde
Aujourd`hui
p = .3
p =.4
Po = $2
Demain
HPR
1. Good
$2.20
10%
2. Bad
$2.04
2%
3. Ugly
$1.90
-5%
p=.2
p=.1
4. Nasty
$1.80
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-10%
15
Rendement espéré
I
E(ri )   Probabilit é(i)  Rendement( i)
i 1
I
  p i ri  p1r1  p 2 r2  ....  p n rn
i 1
où p i est la probabilit é
d' être dans l' état i et
ri est le rendement dans l' état i,
1  i  I.
.
Synonyme: rendement attendu.
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16
Rendement espéré d’un investissement
risqué
4 états possibles du monde
Aujourd`hui
p = .3
p =.4
Demain
HPR
1. Good
.10x.3
10%
2. Bad
.02x.4
2%
3. Ugly
-.05x.2
-5%
p=.2
Rendement espéré
p1 r1  p 2 r2  ....  p n rn
p=.1
 .1x.3  .02 x.4  .05 x.2  .1x.1
 0.18%
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4. Nasty
-.10x.1
-10%
17
Variance
Mesure de la dispersion d'une série d'observations
statistiques par rapport à leur moyenne. On peut
interpréter la variance comme l'espérance des carrés des
écarts à l'espérance. Lorsque la variance est nulle, cela
signifie que la variable n'est pas une variable aléatoire.
Variance  E(ri  E (ri )) 2  E (ri 2 )  E (ri ) 2
n
  Probabilit é(i)  (Rendement (i) - Rendement espéré) 2
i 1
I
   (p i )[ri  E(ri )]
2
2
i 1
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18
L’écart-type
L’écart-type est la racine carrée de la variance.
écart-type = [variance]1/2
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19
Le calcul de l’écart-type
Scénario
Probabilité
Rendement
Ugly
0.1
-5%
Bad
0.2
5%
Good
0.4
15%
Super
0.2
25%
Super-Duper
0.1
35%
Étape 1: E(r) = (.1)(-.05)+(.2)(.05)...+(.1)(.35)
E(r) = .15 = 15%
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20
Le calcul de l’écart-type
Scénario
Probabilité
Rendement
Ugly
0.1
-5%
Bad
0.2
5%
Good
0.4
15%
Super
0.2
25%
Super-Duper
0.1
35%
Étape 2: 2=[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2+…]
=.01199
Étape 3:  = [ .01199]1/2 = .1095 = 10.95%
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21
L’analyse de séries historiques
Albert Lee Chun
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22
L’analyse de séries historiques



L’analyse de scénario qui s’orientent vers le futur
implique de déterminer les rendements possibles et
leurs probabilités, ou simplement les attributs qui
caractérisent leurs distributions.
Comment allons-nous déterminer ces probabilités?
Si le passé est garant du futur, nous pourrions en
premier lieu regarder en arrière avant de se projeter en
avant.
Donc nous allons étudier les séries temporelles
d’anciens rendements historiques pour déduire les
caractéristiques telles que la moyenne et la variance de la
distribution dont nous avons les données. Ça va nous
aider à nous projecter en avant.
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23
Moyenne arithmétique
Moyenne arithmétiq ue
1
r
(rt )
n
quand n est égal au nombre de periodes.
n
t 1
1
Remarque que p t  .
n
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24
Moyenne arithmétique

L’idée est que selon les suppositions, le plus de
données vous incorporez, meilleure sera la
approximation de la moyenne de la population,
E(rt).
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25
Exemple


Supposez que vous investissez un dollar aujourd’hui.
Le taux de rendement par période sur les 3 prochaines
périodes est la suivante:
1
2
3
0.05
0.06
0.07
•À la fin de 3 périodes nous avons:
$1(1.05)(1.06)(1.07) =1.19091.
•Le rendement moyen est .06. Investissant à .06 sur les
rendements des 3 périodes : $(1.06)3 = 1.19106.
•Donc ce n’est pas la même chose que d’avoir 6% chaque
année!
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26
Exemple (suite)
Supposons que nous investissons dans un actif à taux
constant de rendement égal à .059969.
 Après 3 ans, nous aurions
$(1+ .059969)3 = $1.19091
Ceci est exactement le même montant que celui investit
dans l’actif précédent
$1(1.05)(1.06)(1.07) =$1.19091

La moyenne arithmétique est 6%, la moyenne
géométrique est moins 5.9969%.
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27
Moyenne géométrique
TV
n
 (1  r1)(1  r 2)(1  r n)
TVn = Valeur terminale de l’investissement à t = n
g= moyenne géométrique du taux de rendement
g  TV
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1/ n
1
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28
Moyenne géométrique
Ceci peut être exprimé par
g

(1  rt )
t 1
n

1
n
1
où le produit est défini :

n
t 1
(1  rt )  1  r1  1  r2  1  rn .
Attention: La moyenne géométrique est toujours plus petite
(ou égale) à la moyenne arithmétique!
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29
Exemple (suite)
Dans le dernier exemple, la valeur terminale (TV)
après 3 ans était
$1(1.05)(1.06)(1.07) =$1.09091
g  TV
1/ n
1
En utilisant la formule du dessus, la moyenne géométrique est:
g = (1.1909)1/3 -1
= .059969
La moyenne arithmétique est 6% mais la moyenne géométrique
est 5.9969%.
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30
Rendement nominal et réel d’actif dans le
monde entier de 1900 à 2000
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31
Variance de l'échantillon
n
1
2
ˆ   [rt  r ]
n t 1
2
ˆ 2 
rt 
r
n
Albert Lee Chun
variance de l'échantillon
rendement pendant de la période t
moyenne arithmétique
nombre d'observations
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32
Estimateurs sans biais
Variance
n
1
2
ˆ 
[
r

r
]

t
n  1 t 1
2
Écart-type
n
1
2
ˆ 
[rt  r ]

n  1 t 1
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33
Écart type des rendements du réel actif ou des obligations
dans le monde entier entre 1900 et 2000
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34
Rendements annualisés
Canada, 1957-2006
Séries
Moyenne
(%)
11.13
Écart Type(%)
LT Bonds
8.99
10.08
T-bills
6.74
3.75
Inflation
4.21
3.22
Stocks
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16.12
35
Rendement et Risque
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36
Rendement et Risque
Geometric
Mean
Standard
Deviation
Arithmetic
Mean
Small company stocks
12.6%
33.6%
17.6%
Large company stocks
11.3%
20.1%
13.3%
Long-term corporate bonds
5.6%
8.7%
5.9%
Long-term government bonds
5.1%
9.3%
5.5%
Intermediate-term government bonds
5.2%
5.8%
5.4%
U.S. Treasury Bills
3.8%
3.2%
3.8%
Inflation
3.1%
4.5%
3.2%
Asset Class
Plus le risque est élevé,
plus le rendement est
élevé!
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37
Rendement et Risque




Le 19 Octobre 1987 la Bourse internationale a crashé
(une perte de 22,6% pour le DJIA)
Toutefois, elle a réussi dans les années 80 à cloturer
avec un gain.
Il se peut que les grosses fluctuations de prix à court
terme ne soient pas importantes à long terme.
Jetons un coup d’oeil aux historiques.
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38
Rendement et Risque
Maximum Value
Series
Return
Year(s)
Minimum Value
Return
Year(s)
Times
Positive (out
of 74 years)
Times
Highest
Returning
Asset
Annual Returns
Large Company Stocks
53.99
1933
-43.34
1931
54
16
Small Company Stocks
142.87
1933
-58.01
1937
52
32
Long-Term Corporate Bonds
42.56
1982
-8.09
1969
57
6
Long-Term Government Bonds
40.36
1982
-9.18
1967
53
6
Intermediate-Term Government Bonds
29.10
1982
-5.14
1994
66
2
U.S. Treasury Bills
14.71
1981
-0.02
1938
73
6
Inflation
18.16
1946
-10.30
1932
64
6
17.87
1980-99
3.11
1929-48
55
5
21.13
1942-61
5.74
1929-48
55
50
10.86
1979-98
1.34
1950-69
55
0
11.14
1979-98
0.69
1950-69
55
0
9.85
1979-98
1.58
1940-59
55
0
7.72
1972-91
0.42
1931-50
55
0
6.36
1966-85
0.07
1926-45
55
0
20-Year Rolling Period Returns (n= 55 years)
Large Company Stocks
Le
Small Company Stocks
rendement
Long-Term Corporate Bonds
minimal et
Long-Term Government Bonds
maximal
Intermediate-Term Government Bonds
sont très
U.S. Treasury Bills
proches.
Inflation
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39
Rendement et risque



Si vous investissez des plus longues périodes de temps,
la probabilité de gagner un rendement positif augmente
à 100 %, 55 des 55 périodes.
Retour à la moyenne : Si le rendement est à un extrême
(soit + ou -) pendant une période de temps, il a
tendance à revenir vers la moyenne au cours d'une
période ultérieure.
La diversification temporelle réduit l'impact des
fluctuations à court terme, et réduit le risque.
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40
Prime de risque
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Portfolio Management
41
Le taux sans risque



Le taux sans risque est le taux de rendement que
l'on peut retirer d'un investissement ne
comportant qu'un risque négligeable.
Le taux de rendement des bons du Trésor est
souvent considéré comme un taux sans risque.
La raison est qu’il y a une faible probabilité de
défaut par le gouvernement des E.U. ou du
Canada.
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42
Prime de risque

Taux de rendement additionnel attendu d'un
investissement à risque, pour compenser le
risque additionnel qu'il comporte par rapport à
un investissement sans risque.


Rendement excédentaire = rendement d`un actif
– le taux de rendement sans risque
Plus le risque est élevé, plus il y a un potentiel de
gain.
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43
Prime de risque
Source: Ross, Westerfield, Jordan, and Roberts, Fundamentals of Corporate Finance, 5th Canadian
edition, McGraw-Hill Ryerson.
Prime de risque = Moyenne arithmétique – Rendement de
bons de Trésor
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44
D'autres types de primes de risque
Type de prime
Définition
Prime
Rend. petites cap. –
Rend. grandes cap.
17.6% - 13.3% = 4.3%
Rend. grandes cap. –
Rend. Bons du Trésor
13.3% - 3.8% = 9.5%
Prime temporelle
Rend. Oblig. –Rend.
Bons du Trésor
5.9% - 3.8% = 2.1%
Prime d’inflation
Rend. Bons du Trésor
- inflation
3.8% - 3.2% = 0.6%
Prime pour petites
capitalisations
Prime d’actions
Les primes de risques sont les incitations nécessaires pour
encourager des investisseurs à prendre divers types de risques.
.
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45
Corrélation
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46
Covariance et corrélation
cov(x, y)  E[(x i  E[ xi ])(y i  E[ yi ])]
 E[ xi y i ]  E[ xi ]E[ y i ]
I
  p i  (x i - E[ xi ])  (y i - E[ y i ])
i 1
  xy
corr(x, y)   xy
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 xy
cov(x, y)


std(x)(std (y)  x y
Portfolio Management
47
Corrélation
Séries
Long-term
and
intermediate
term bond
indexes are
highly
positively
correlated.
grandes
capitalis
ations
Petites
capitalisa
tions
Oblig.
Long
terme
corpo.
Oblig.
Long
terme gvt
Oblig.
Intermédiare
gvt
Bons du
Trésor
U.S.
grandes
capitalisations
1.00
Petites
capitalisations
0.79
1.00
Oblig. Long terme
corporatives
0.25
0.10
Oblig. Long terme
Gvt
0.19
0.02
0.94
1.00
Oblig. Moyen
terme
corporatives
0.11
-0.04
0.91
0.91
1.00
Bons du Trésor
U.S.
-0.02
-0.09
0.21
0.24
0.49
1.00
Inflation
-0.03
0.05
-0.15
-0.15
0.01
0.41
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Inflation
Large & small company
stocks tend to vary
together closely.
1.00
Portfolio Management
Bond and stock
indexes tend to
vary together
weakly.
1.00
48
Autocorrélation

L’autocorrélation mesure la liaison entre les
termes successifs d'une suite.

Une corrélation positive consécutive se produit quand les
données bougent doucement

Les corrélations négatives successives se produisent quand
l’expérience des données s’inversent
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Portfolio Management
49
Autocorrélation
Petites
capitlisation
Obligatio
n
LT
corpo.
Obligation.
LT
gvt.
Obligation
moyen-terme
govt.
Bons du
Trésor U.S.
Inflation
0.08
0.09
-0.03
0.17
0.92
0.65
Autocorrélation


L'inflation et les bons du Trésor expriment une haute
autocorrélation.
L'absence d’autocorrélation de série dans les actions et les
obligations à long terme suggère que ses rendements ont
tendance à fluctuer de façon aléatoire, ce qui les rend difficiles à
prévoir.
Albert Lee Chun
Portfolio Management
50
Loi normale gaussienne
Albert Lee Chun
Portfolio Management
51
Courbe en cloche
Distribution
gaussienne
Source: Ross, Westerfield, Jordan, and Roberts, Fundamentals of Corporate Finance, 5th Canadian
edition, McGraw-Hill Ryerson.
Albert Lee Chun
Portfolio Management
52
Interpretation de courbe en cloche




La probabilité d’être dans le premier écart type de la moyenne est
68%.
Pour le deuxième écart type, la probabilité est 95% et pour le
troisième écart type la probabilité est plus grande que 99%.
Le rendement moyen des actions ordinaires canadiennes est
10.49% et l’écart type 16.41%.
En supposant que la fréquence de distribution des rendements
des actions est approximativement normale, la sélection des
écarts types va de -6.12% (=10.49% - 16.41%) à 27.10%
(=10.49% + 16.41%) . Donc en moyenne, nous nous attendons
à des rendements à l’exterieur de la sélection 68% du temps ou
1fois chaque 3 ans.
Albert Lee Chun
Portfolio Management
53
La distribution de fréquences




Est-ce que la distribution normale est la bonne
hypothèse pour le rendement des actifs?
Parfois, on voudrait un graphique qui permet de
représenter la répartition des rendements.
On peut tracer un diagramme de la distribution
de fréquences ou un histogramme.
Après avoir déterminé le nombre de classes de
l’histogramme, on compte le nombre de fois ou
le rendement se situe a l’intérieur de chaque
intervalle.
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54
La distribution de fréquences du rendement
Actions ordinaires canadiennes
Rendement (en pourcentage)
Source: Ross, Westerfield, Jordan, and Roberts, Fundamentals of Corporate Finance, 5th Canadian
edition, McGraw-Hill Ryerson.
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55
Action des petites entreprises
300
Series: SMALL
Sample 1926:06 2005:11
Observations 954
250
200
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
150
100
0.007821
0.005700
1.475000
-0.493600
0.124988
2.714894
30.31216
50
Jarque-Bera
Probability
30823.60
0.000000
0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Source: Tolga
Albert Lee Chun
Portfolio Management
56
S&P 500
240
Series: SP500
Sample 1926:01 2005:12
Observations 960
200
160
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
120
80
0.006354
0.009019
0.422222
-0.299423
0.055656
0.350952
12.51791
40
Jarque-Bera
Probability
3643.331
0.000000
0
-0.25
0.00
0.25
Source: Tolga
Albert Lee Chun
Portfolio Management
57
Bons du Trésor
200
Series: TBILL
Sample 1926:01 2005:12
Observations 960
160
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
120
80
0.003035
0.002717
0.015158
-0.000265
0.002567
1.102930
4.597335
40
Jarque-Bera
Probability
296.6920
0.000000
0
0.000
0.005
0.010
0.015
Source: Tolga
Albert Lee Chun
Portfolio Management
58
Obligations à long terme
160
Series: BOND
Sample 1941:05 2005:12
Observations 776
140
120
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
100
80
60
40
20
Jarque-Bera
Probability
0.004586
0.002786
0.099993
-0.066819
0.019845
0.552011
5.497628
241.1100
0.000000
0
-0.05
0.00
0.05
0.10
Source: Tolga
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59
L'asymétrie et l'aplatissement
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Portfolio Management
60
Caracteristiques de distribution de
probabilités
1) moyenne
2) variance
3) coefficient de dissymétrie
4) coefficient d'aplatissement.
Dans le cas d'une distribution normale, la
moyenne et la variance d'une variable
aléatoire permettent de caractériser sa
distribution. La distribution est
symétrique et le coefficient
d'aplatissement égal 3.
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Portfolio Management
61
Courbe de distribution normale gaussienne
Albert Lee Chun
Portfolio Management
62
Normale gaussienne vs. dissymétrie
Albert Lee Chun
Portfolio Management
63
Normale gaussienne vs. aplatissement
Albert Lee Chun
Portfolio Management
64
Valeur à risque
Albert Lee Chun
Portfolio Management
65
Valeur à risque (VaR)



Supposons que vous deteniez un portfeuille d’actions
ordinaires canandiennes (moyenne de 10.49% et écart
type de 16.41%), et que vous vouliez savoir combien il
est possible de perdre en une periode.
En supposant que les rendements des action suivent un
courbe de distribution normale, nous savons que nous
serons en dehors de la selection -22.73% – 43.71% avec
une probabilité de (approx.) 5%.
La distribution normale est symétrique, donc la
probabilité que les rendements puissent être moins de 22.53% est de (approx) 2.5%.
Albert Lee Chun
Portfolio Management
66
Valeur à risque (VaR)




Ainsi, 97.5% du temps, votre perte ne devrait pas
excéder -22.73%.
Sur un portfeuille de $100 millions, 97.5% du temps,
votre perte maximale est de $100 millions x (-22.73%)
= 22.73 millions.
Donc la valeur à risque de 2.5% sur un portefeuille de
$100 millions est 22.73 millions ou -22.73%.
VaR est une mesure du risque, c’est un estimé d’une
perte maximale à un niveau donné (i.e 2.5%) sur un
investissement.
Albert Lee Chun
Portfolio Management
67
Valeur à risque




VaR mesure la quantité maximum qui peut être
perdue à un niveau donné de probabilité.
VaR est utilisé pour déterminer les couvertures
adéquates de capital pour les banques.
Les régulations bancaires (i.e. Basel II Accord)
requièrent le calcul de risque tel que la VaR.
Ceci est très utile quand la distribution ne suit
pas une courbe normale.
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Portfolio Management
68
Exemple: VaR à 10%
Albert Lee Chun
Portfolio Management
69
Wikipedia


Consider a trading portfolio. Its market value in US dollars today
is known, but its market value tomorrow is not known. The
investment bank holding that portfolio might report that its
portfolio has a 1-day VaR of $4 million at the 95% confidence
level. This implies that (provided usual conditions will prevail
over the 1 day) the bank can expect that, with a probability of
95%, the value of its portfolio will decrease by at most $4 million
during 1 day, or, in other words, that, with a probability of 5%,
the value of its portfolio will decrease by $4 million or more
during 1 day.
The key thing to note is that the target confidence level (95% in
the above example) is the given parameter here; the output from
the calculation ($4 million in the above example) is the maximum
amount at risk (the value at risk) for that confidence level.
Albert Lee Chun
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Lectures
Lectures pour aujourd'hui:
Chapitre 5, sections 5.4 à 5.6 et 5.8
Chapitre 23, sections 23.1 et 23.2*
 Lectures pour la semaine prochaine:
Chapitre 7
Chapitre 7: L’Appencies

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Portfolio Management
71