La géometrie tropicale - Mathématiques au lycée français Saint

La géométrie tropicale
présentée par
Le lycée Saint-Louis de
Stockholm
Le lycée d'Altitude
de Briançon
Le collège Fontreyne
de Gap
On définit deux nouvelles opérations :
a b = min{a;b}
a b = a+b
Par exemple :
Les propriétés des opérations
tropicales
I/ Les éléments neutres
Exemple : a×1=a
Pour la multiplication tropicale,
a b = a+b
I/ Les éléments neutres
Pour l'addition tropicale,
a b = min{a;b}
II/ La multiplication tropicale
On peut changer l'ordre des facteurs d'un produit.
Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on
peut placer des parenthèses où on veut.
a b = a+b
III/ L'addition tropicale
On peut changer l'ordre des termes d'une somme.
a b =b a
Pour calculer une somme de plusieurs termes, on
peut placer des parenthèses où l'on veut.
(a b) c = a b c)
a b = min{a;b}
IV/ La division tropicale
La division tropicale correspond à la soustraction
que l'on connaît.
On ne peut pas changer l'ordre des nombres
dans une division.
S'il y a plusieurs divisions successives, on ne
peut pas mettre des parenthèses où l'on veut.
V/ La soustraction tropicale
La soustraction tropicale n'existe
pas.
VII/ Les fractions tropicales
ab = a+b
VIII ) Les carrés et les identités
remarquables de la géométrie tropicale
 Nous prendrons d’abord le carré tropical : x ’²’
x’²’ = x ⊗ x  x’²’ = x + x = 2x
Exemple : 4’²’ = 4 ⊗ 4  4’²’ = 4 + 4 = 8
A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:
PROPRIETE : soit n un entier naturel
x ’n’ = x ⊗ x … = x + x … = nx
n fois
n fois
VIII ) Les identités remarquables de la
géométrie tropicale
 Voyons l’identité remarquable (a+b)²
(a  b)’²’ = min {a ; b} ⊗ min {a ; b} = min {a ; b} + min {a ; b} = 2 x min {a ; b}
A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:
PROPRIETE : soit n un entier naturel
(a  b)’n’ = an  bn
VIII ) Les racines n- ièmes
 On sait que :
x '^' 2 = 2 × x
VIII ) Les racines n- ièmes
 Si on prend un entier naturel n : on a
'RACINEn'( x '^' n ) = x.
Donc 'RACINEn'(x) = x / n.
Représentations graphiques : 1er et 2nd degré
1er degré – Représentation graphique
 Cas général :
y = (ax)  b
Équivalent à y = min { a + x ; b }
Droite en deux morceaux
Morceau
croissant
Morceau
constant
Point De Cassage
1er degré - Partie Croissante
 Le morceau croissant correspond à la partie de l’équation y = a + x tant que x ≤ b-a
 La droite a un coefficient directeur de 1
er
1
degré - Point de Cassage
 Le point de cassage est le point où la fonction devient constante
 On peut déterminer les coordonnées de ce point. En effet, son abscisse est
solution de l’équation a+x=b. Or a+x=b  x = b-a.
On en déduit donc les coordonnées de ce point : (b – a ; b).
1er degré - Partie Constante
 La fonction est constante
er
1
degré – Aspect algébrique
 On peut déterminer les solutions de l’équation :
y = axb qui équivaut à y = min{a+x ; b}
Le résultat sera a+x si a+x < b pour x Є ] -∞ ; b-a[
Le résultat sera b si a+x > b pour x Є [ b-a ; +∞[
Exemple : (2  x)  3
(b - a ; b)
= (3 – 2 ; 3)
= (1 ; 3)
2nd degré - Les 2 sortes de droites
 Pour le 2nd degré, il existe deux sortes de courbes :
une en deux morceaux et une en trois morceaux.
 Nous avons cherché à savoir quand nous avions
deux morceaux et quand nous en avions trois.
 Nous avons donc décomposé une équation du
type y = (ax²)(bx)  c en trois parties : ax² ;
bx et c.
2nd degré – Exemple 1 :
y = (3x²)(5x)  10
2 Points de Cassage,
Il y a trois morceaux
2nd degré – Exemple 2 :
y = (3x²)(5x)  7
1 Point de Cassage,
Il y a un deux morceaux
nd
2
degré – Nombres de morceaux
 Nous avons trouvé que lorsque les deux premières
droites se coupent en un point dont l’ordonnée est
supérieure ou égale à b il y aura 2 morceaux , sinon il y
aura trois morceaux.
2 morceaux
L’ordonnée
est supérieure
ou égale à b
3 morceaux
L’ordonnée
est inférieure
àb
2nd degré – Représentation graphique
Cas général :
y = (ax2)(bx) c
Équivalent à y = min ( a+2x ; b+x ; c )
Droite en 3 parties
Point de
Cassage 2
Point de
Cassage 1
Partie
Constante
Partie croissante 1
Partie croissante 2
nd
2
degré –Partie croissante 1
 Correspond à la partie de l’équation y = a+2x tant que x>b-a
 Son coefficient directeur est 2
nd
2
degré – Point de Cassage 1
 Ses coordonnées sont ( c-a ; b-a)
nd
2
degré – Partie croissante 2
 Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a<x<c-b
 Son coefficient directeur est 1
nd
2
degré – Point de Cassage 2
 Ses coordonnées sont (c - b; b)
2nd degré – Droite constante
 La fonction est constante
Loi générale sur les polynômes
 Si on a le polynôme tropical :
P(x)= (an  xn)  (an-1  xn-1)  …  (a1 x)  a0
Il équivaut à : P(x) = min {an + nx ; an-1 + (n-1)x ; … ; a1 + x; a0}
Graphiquement, on obtient une
succession de droites avec des pentes
décroissantes de n à 0.
Premier problème de géométrie
 Soit une droite d et un point A extérieur à la droite d.
Peut-on tracer une droite parallèle à d passant par A ?
Deuxième problème
 Si on prend deux points du plan. Peut-on tracer une
droite passant par ces deux points ?
Si le point B est dans une zone verte, il
n'existe pas de droite (tropicale) passant
par A et B
Si le point B est dans
une zone jaune, il existe
une droite (tropicale)
passant par A et B
Si le point B est sur une des droites
bleues, il existe une infinité de droites
(tropicales) passant par A et B