De la relativité restreinte à la relativité générale

Masse et énergie
z x3
Mouvement
Horloge
t x0 / c
Ceci est un
référentiel
y x2
Décor
fixe
x x1
Intervalle Unité : le mètre !
Son carré = ds2 = c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2
La seule grandeur qui se conserve d’un référentiel à un autre !
Signature = + - - -
hi j =
1
0
0
0
= carré de dx0 – carré de dx1 – carré de dx2 – carré de dx3
0
-1 0
0
= somme (de i et j = 0 à 3) des hi j dxi dxj
0
0
-1
0
0
0
0
-1
Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps
Idée essentielle 2 : quatre dimensions
Tenseur métrique
Pour les corps lents, ds = c dt
Ancienne vitesse = vα = dxα / dt
Quadri vitesse = ui = dxi / ds
Ancienne accélération = aα = dvα / dt
Quadri accélération = γi = dui / ds
Ancienne force = Fα = m aα
Quadri force = F i = m γi
Avant 1905
Après 1905
Signature = + - - -
hi j =
1
0
0
0
0
-1 0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps
Idée essentielle 2 : quatre dimensions
Tenseur métrique
Pour les corps lents, ds = c dt
Ancienne vitesse = vα = dxα / dt
Quadri vitesse = ui = dxi / ds
Ancienne accélération = aα = dvα / dt
Quadri accélération = γi = dui / ds
Ancienne force = Fα = m aα
Quadri force = F i = m γi
Euh … les unités ?
Une ancienne force est
en N = kg m s-2
Une quadri vitesse n’a pas d’unité
Une quadri accélération est en m-1
Une quadri force est en kg m-1 ?
Signature = + - - -
hi j =
1
0
0
0
0
-1 0
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
Idée essentielle 1 : l’intervalle remplace le temps
Idée essentielle 2 : quatre dimensions
Tenseur métrique
Pour les corps lents, ds = c dt
Ancienne vitesse = vα = dxα / dt
Quadri vitesse = ui = dxi / ds
Ancienne accélération = aα = dvα / dt
Quadri accélération = γi = dui / ds
Ancienne force = Fα = m aα
Quadri force = F i = m γi
Euh … les unités ?
Une ancienne force est
en N = kg m s-2
Une quadri vitesse n’a pas d’unité
Une quadri accélération est en m-1
Une quadri force est en kg m-1 ?
ui = dxi / c dt = vi / c
ui = vi / c
Pour les corps lents (vitesse << c)
Il faut multiplier par le carré de c !
i
Quadri force = F = m
c2
γi
γi = dui / c dt = dvi / c2 dt
γi = ai / c2
Pour les corps lents, ds = c dt
Quadri vitesse = ui = dxi / ds
Quadri accélération = γi = dui / ds
dx / dt
ux = dx / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2 =
u1 = dx1 / ds
c
1–
v
v2
c2
u0 =
c
1–
v2
c2
1
1–
v2
c2
u0 = dx0 / ds
= c dt / (c2 dt2 – dx2 – dy2 – dz2)1/2
c dt / dt
=
c
En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0
Fi ds = dui
1–
v2
c2
est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail
Quadri force = F i = m c2 γi
Retour à la physique
m c2 u0 =
1
Pour un lycéen en classe
de première s
m v2 + m c2
2
u0(X) = u0(0) + δu0 = u0’(0) δx + u0(0) =
1
X+1 =
2
1
v2 / c2 + 1
2
u0’(0) = δu0 / δx quand δx est petit
δu0 = u0’ (X ) δx, avec δx = X
u0(X) = (1 – X)1/2
1
1
(1 – X)-1/2 (– 1) donc u0’(0) =
2
2
u0 =
1
1–
Dérivée = u0’(X) =
= u0 (X) Avec X = v2 / c2
u0(0) = 1
Petit pour les corps lents !
v2
c2
En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0
Fi ds = dui
Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail
Quadri force = F i = m c2 γi
Pour un corps lent :
ε=
v2
Pour un élève en2 collège
(1 + e) (1 – ε) = 1
est très petit devant 1
c2
u0
1–
v2 = 1
c2
(Carré de
u0)
1–
v2
(1 + 2 e + e2) (1 – ε) = 1
=1
(1 + (2 + e) e) (1 – ε) = 1
c2
u0 = u00 + e = 1 + e
Quand v est petit et
non nul
u0 =
v2
–ε+2e–2εe=0
– ε + 2 e (1 – ε e) = 0
u0 = 1 +
c2
1–ε+2e–2εe=1
correction
–ε+2e=0
1
e= ε
2
1
1–
Quand v est
nul
(1 + 2 e) (1 – ε) = 1
1
Très petit
devant 1
ε
2
En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0
F0 ds =
m c2
1–
Soit pour les corps lents = m c2 +
v2
c2
1
2
m v2
u0
= 1+
1 v2
2 c2
Retour à la physique
m c2 u0 =
1
m v2 + m c2
2
Energie du corps au repos = m c2
Rappel : c = 300 000 km s-1 = 300 000 000 m s-1
1 kg : 90 000 000 000 000 000 Joules
Joules
kg
= 9 x 1016 Joules
m s-1
6,3×1013 J est l'énergie dégagée par le
bombardement d'Hiroshima.
Ordre de grandeur : 1000 fois moins …
1 g TNT = 4184 Joules
En particulier F 0 ds = m c2 γ0 ds = m c2 du0 = variation de m c2 u0
Fi ds = dui
Est une multiplication d’une force par une distance parcourue, donc est un travail
Quadri force = F i = m c2 γi