Hypothèse - openMaths

Théorème des milieux
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Hypothèses:
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I milieu de [AB]
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J milieu de [AC]
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Conclusion:
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(IJ) est parallèle à (BC)
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La longueur IJ est la
moitié de la longueur BC
Réciproque du « théorème des milieux »
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Hypothèses:
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I milieu de [AB]
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Double-clic pour insérer une image
La droite (IJ) est
parallèle à la
droite(BC)
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Conclusion:
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J est le milieu de [AC]
Théorème de Pythagore
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Hypothèse:
Le triangle ABC est
rectangle en A
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Conclusion:
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BC²=AB²+AC²
Double-clic pour insérer une image
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(le carré de la mesure
de son hypothénuse est
égal à la somme des
carrés des mesures de
ses autres côtés.)
Réciproque du théorème de Pythagore
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Hypothèse:
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BC²=AB²+AC²
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(le carré de la mesure
de son hypothénuse est
égal à la somme des
carrés des mesures de
ses autres côtés.)
Conclusion:
Le triangle ABC est
rectangle en A
Droites remarquables du triangles(1)
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Les médiatrices des trois
côtés d'un triangle ABC
sont concourantes;ce
point O est équidistant
des trois sommets.Il
existe donc un cercle qui
a pour centre ce point et
qui passe par les trois
sommets.
C'est le cercle
circonscrit au triangle
Caractérisation du triangle rectangle
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Hypothèses:
Le triangle ABC est
rectangle en A
J est le milieu de
l'hypoténuse [BC]
Conclusions:
Le cercle circonscrit au
triangle ABC a pour
diamètre [BC]
La longueur AJ est la
moitié de la longueur BC
Caractérisation du triangle rectangle
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Hypothèses:
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Les points A, B et C
appartiennent au cercle
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[BC] est un diamètre du cercle.
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Ou
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La longueur AJ est la moitié de
la longueur BC et J milieu de
[BC]
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Conclusions:
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ABC est rectangle en A
Droites remarquables du triangles(2)
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Hauteur d'un triangle
On appelle hauteur d'un
triangle la droite passant
par un sommet et
perpendiculaire au côté
opposé.
Propriété:
Les trois hauteurs d'un
triangle sont concourantes
en un point nommé
orthocentre de ce triangle
Droites remarquables du triangles(3)
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Médiane d'un triangle
On appelle médiane d'un
triangle la droite joignant
un sommet et le milieu du
côté opposé.
Propriétés:
Les trois médianes d'un
triangle sont concourantes
en un point nommé centre
de gravité de ce triangle
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GA'=1/3AA'et
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GA=2/3AA'
Théorème de Thalès
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Hypothèses:
M est un point du côté
[AB]
N est un point du côté
[AC]
(MN) est parallèle à
(BC)
Conclusion:
AM/AB= AN/AC=
MN/BC
Droites remarquables du triangles(4)
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Cercle circonscrit dans un
triangle
Propriété:
Les bissectrices des angles
d'un triangle sont
concourantes en un point
équidistant des trois côtés
de ce triangle.
Il existe donc un cercle qui a
pour centre ce point et qui
est tangent aux trois côtés.
Définition:On appelle cercle
inscrit dans ce triangle le
cercle tangent aux trois
côtés du triangle.
Distance d'un point à une droite
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On appelle distance
d'un point M à une
droite (d) la plus courte
distance du point M à
un point de (d).
C'est la longueur du
segment [MH], H
appartenant à la droite
(d) et (MH) étant
perpendiculaire à (d).
Tangente à un cercle
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Une droite (d) et un cercle
(C) qui n'ont qu'un seul
point commun A, sont dits
tangents en A.
Propriétés:
Si une droite est tangente à
un cercle alors cette droite
est perpendiculaire au
rayon correspondant
Si une droite est
perpendiculaire en A au
rayon[OA] d'un cercle alors
cette droite est tangente à
ce cercle en A
Bissectrice d'un angle
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Définition:
On appelle bissectrice d'un
angle, la demi-droite qui
partage l'angle en deux
angles adjacents égaux
Propriétés:
Si un point appartient à la
bissectrice d'un angle, alors
il est à égale distance des
côtés de l'angle.
Si un point est à égale
distance des côtés d'un
angle alors il appartient à la
bissectrice de cet angle.
Cosinus d'un angle aigu
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Vocabulaire:
Dans un triangle ABC
rectangle en C, on appelle:
Hypoténuse, le côté [AB],
Côté de l'angle droit
adjacent à l'angle B:le côté
[BC],
Côté de l'angle droit opposé
à l'angle B: le côté [AC]
Cosinus d'un angle aigu (suite)
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.Définition:
Dans un triangle rectangle,
on appelle cosinus d'un des
angles aigus la quotient de la
mesure de la longueur du
côté de l'angle droit
adjacent à cet angle par
celle de l'hypoténuse du
triangle
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Cos MNO=MN/NO
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Cos MON=MO/NO
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Remarque pour tout angle µ
dont la mesure en degrés est
telle que:0°≤ µ ≤ 90°, on a:
0≤ cosµ ≤ 1