BertandHESPEL ordinateur quantique

L’ordinateur quantique
Une révolution…
1
… sous le(s) signe(s) de Leibniz
2
Platon
Aristote
Newton
Descartes
Hume
1646
1716
Kant
Mondes possibles
Machine à calculer
Calcul dyadique
3
Mondes possibles
Machine à calculer
Calcul dyadique
=
=
=
Thèse
Automatisation
Calcul binaire
métaphysique
+
+
Utilisation de la
physique classique
Codage de
l’information
Ordinateur
classique
4
Ordinateur
classique
Utilisation de
la physique
quantique
?
Ordinateur
quantique
?
5
1. Le monde et la théorie
quantique
6
1. Un peu d’histoire
Planck
Einstein
Bohr
de Broglie
Schrödinger - Heisenberg
Born
La mécanique
quantique est la théorie
exacte la plus complète
possible
von Neumann - Dirac
Théorie
7
2. Quelques faits
Expérience de Stern-Gerlach
Z
X
Z
8
Mesure de polarisation
9
Réflexion partielle
10
Expérience de Young
11
12
3. La théorie
1. État de Q isolé
 H
2. Observable A de Q
Opérateur hermitien A
3. Évolution au cours du temps
h d
i
t   H t 
2 dt
4. État de S composé de
Q et Q’
  H  H'

   ij  i ' j
 i , j




13
5. Résultats de mesure de
A sur Q dans l’état

de norme 1
ai
tels que A  i  a i  i
n
 
c
i
 i
i 1
où  i  j   ij
avec une probabilité p  a i / A   c j     j
2
j
pour j tels que a j  a i
j
14
2
4. Quelques interprétations
• Copenhague (Bohr-Heisenberg):
Un système non observé ne possède pas de
propriétés bien définies
• Potentialité (Heisenberg)
Le monde est une superposition de
potentialités, actualisées lors des mesures
15
•
•
•
Copenhague’ (Wheeler):
Les propriétés d’un système sont créées
par l’observation
Conscience (London-Bauer-Wigner):
C’est la conscience qui crée la réalité
Logique quantique (Birkhoff-von
Neumann)
Le monde obéit à une logique non
classique
16
• Variables cachées (Bohm):
Le monde est non local
• Mondes multiples (Everett):
Il n’y a pas de réduction du vecteur d’état
mais autant de mondes que de résultats
possibles d’une mesure
• Néoréalisme (?):
Il existe une réalité au-delà du monde des
phénomènes
17
5. Encore un peu d’histoire
Théorie
La mécanique
quantique est la théorie
exacte la plus complète
possible
J.S.Bell
Il se pourrait que la
mécanique quantique ne soit
pas la théorie exacte la plus
complète possible
18
6. Un fait nouveau
a
a’
a  a'  a
b  b'  b
A  1
λ
b
Ex, y  pA, B / x, y,   Ax,   By,    d

pA, B / x, y,    pA / x,   pB / y,  
b’
B  1
2  Ea, b  Ea ' , b  Ea, b'  Ea ' , b'  2
19
Or, expérimentalement,
Ex, y   cosx  y  E quant x, y
et, par conséquent,
a, a' , b, b'
Ea, b  Ea, b'  Ea' , b  Ea' , b'  2
Donc
pA, B / x, y,    pA / x,   pB / y,  
20
7. Quelques lectures
• Aucune théorie locale, et plus complète que la
mécanique quantique, ne peut décrire le monde
exactement
• Le monde est non local, i.e. il existe v > c
• Le monde est phénoménalement local et réellement
inséparable
21
8. La lecture de R.P. Feynman
 cosx  y  pA / x,   Ax,  pB / y,   By,  . d

La nature effectue certaines
opérations qu’un ordinateur
classique ne peut effectuer
22
Seul un ordinateur quantique pourrait
fidèlement simuler le comportement de la
nature
Pourrait-on construire
un ordinateur un ordinateur quantique ?
23
2. L’information quantique
24
1. qubits
L’unité d’information classique est le bit :
un objet qui vaut 0 ou 1
0
1
L’unité d’information quantique est le qubit :
un vecteur dans un espace de Hilbert de dimension 2
1
   0  1
,   C
2
0
2
   1
25
Remarques
2

•
est la probabilité de trouver le qubit dans l’état 0
2
lors d’une mesure, et  celle de le trouver dans
l’état 1
• Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni
d’un produit intérieur   et complet
•  0 , 1  est une base de vecteurs orthonormés, dite
« computationnelle »
• Il existe d’autres bases de vecteurs orthonormés. Par
exemple, celle constituée de
1
 
2
 
1
2
0
1

0
1

26
• Tant qu’il n’est pas observé, un qubit peut
exister dans un continuum d’états
• La mesure d’un qubit n’a que deux résultats
possibles : 0 et 1.
27
2. Portes quantiques
Portes logiques (classiques)
=
Opérations logiques simples sur des bits
Exemples :
a
a
NOTa
aNANDb
b
28
Portes (logiques) quantiques
=
Opérations unitaires simples sur des qubits
(Unitaires parce que normalisation des états exigée )
29
2.1. Portes sur un seul qubit
La porte phase S
0
0
La porte « NOT » X
0
S
X
i1
1
1 0 
S

0 i 
1
1
0
0 1 
X

1 0
30
La porte Y
0  i 
Y

i
0


i 1
0
Y
1
i0
0
0
La porte Z
1 0 
Z

0

1


Z
1
 1
31
La porte d’Hadamard H
0 1
0
2
H
0 1
1
2
1 1 1 
H


1

1
2

32
2.2. Portes sur deux qubits
Porte « CNOT », « NOTContrôlée », ou « XOR »
U CN : 00  01 , 01  01 , 10  11 , 11  10
U CN
1

0


0

0
0 0 0

1 0 0
0 0 1

0 1 0
a
a
b
ba
33
2.3. Portes sur trois qubits
Porte « de Toffoli »
1



1




1


1




1


1



0 1



1 0
a
a
b
b
c
c  ab
34
2.4. Propriétés caractéristiques
• Il existe une infinité de portes sur un seul qubit ><
il n’existe que deux portes sur un seul bit : I et
NOT
• Y = -i.X.Z, H.Z.H = X, H2 = I, …
• X, Y et Z, sont aussi dites « de Pauli »
• Les portes quantiques sont unitaires
• Les portes quantiques sont inversibles >< certaines
portes classiques ne le sont pas (NAND, XOR,…)
35
• Toute porte pour n qubits peut être
décomposée en portes CNOT et en portes
pour un seul qubit
36
3. Combinaisons de portes
Exemple X1H2XOR13
X

H
X1H 2 XOR13 
t
37
4. Circuits
• Fils
• États pré-préparés
• Interdiction de boucles, « FANIN » et
« FANOUT »
• Combinaisons de portes, y compris pour n
qubits
U
38
• Appareils de mesure
bits
Exemples
• Inverseur
a
b
b
a
• Préparation d’états de Bell
a
b
H
0b   1 1b
a
2
39
5. Une particularité embarrassante:
L’impossibilité du clonage
Un état quantique inconnu ne peut être cloné
i.e.
il est impossible de produire des copies fidèles d’un état
quantique, à moins qu’il existe déjà une information
classique qui le spécifie
40
6. Trois particularités intéressantes
A. Le codage dense
L’intrication quantique est une source
d’information
41
B. La téléportation
Des qubits peuvent être transmis
sans être envoyés
42
C. La cryptographie
Il est possible de distribuer secrètement une
clef aléatoire
43
C. L’aléatoire
Il est possible de générer des nombres de
manière véritablement aléatoire
44
7. L’algorithmique quantique
45
Calculs classiques effectués sur
un ordinateur quantique
On peut (évidemment) simuler un circuit
classique au moyen d’un circuit quantique
46
Mais pas directement !
Parce que les portes quantiques sont
réversibles alors que certaines portes
classiques ne le sont pas
47
Cependant,
Tout circuit classique peut être simulé par un
circuit quantique grâce à l’usage de portes
de Toffoli
Exemple : la porte NAND
a
a
b
b
1
1  ab  ab
48
« Parallélisme » quantique
Un circuit quantique permet d’évaluer
simultanément la valeur de f(x) pour
différentes valeurs de x
49
Le problème de Deutsch:
Soit une fonction f : 0 ,1  0 ,1
déterminer si elle est constante f 0  f 1
ou équilibrée f 0  f 1
Classiquement, il faut calculer f(0) et f(1)
et donc évaluer f deux fois.
50
Quantiquement, il suffit de l’évaluer une fois !
En effet,
x
z
x
Uf
x
z  f x 
x
0 1
Uf

2
51
 0 1
f x   0  x 

2


 0 1
 x 


2



 


 0 1
f x   1  x 

2


 1  0
 x 


2



 0 1
 x 


2


 0 1
x

2


 0 1
   1f x  x 


2


f x 
x   1
x

 






L’information sur la
fonction est dans la phase !
52
L’algorithme de Deutsch
0
H
H
Uf
0 1
2
0 
0  1 
 1
H
U
f 0 
f
 1f 0   0

 1   1
f 1
0
0   1
f 1
1 
H

1 
 1     1    0   1     1    1
f 0
f 1
f 0
f 1
53
donc f constante
équilibrée
 0
 1
Il existe un algorithme démontrant qu’un
ordinateur quantique serait parfois plus
rapide qu’un ordinateur classique
54
Autres algorithmes
Algorithme de Shor
Algorithme de Grover
55
3. L’ordinateur quantique
56
Objections
• Problème lié à l’impossibilité de copier
>< algorithmes de correction d’erreur de
Shor, Steane
• Décohérence (S. Haroche, …)
>< ?
• Mécanique quantique inexacte
>< ?
57
Résultats
IBM 2001
O’Brien 2009 : implémentation de l’algorithme de
Shor dans une puce optique de 1 mm2
58
Recherches
•
•
•
•
•
•
techniques optiques
piégeages d’ions ou d’atomes neutres
résonance magnétique nucléaire
piégeages dans cavités e-m
quantum dots
…
59
Budgets
• Publics : USA (100 M euros), Canada (32
M), Japon (20 M), Australie (20 M), Brésil
(15 M), Chine (14 M), UE (8 M), …,
organismes publics (NSA, …), grands
centres de recherche (Yale, Oxford,
Cambridge, Waterloo, ...)
• Privés : AT&T, IBM, HP, …, D-Wave
60
Quand ?
?
61
4. Une révolution…
…sans précédent
62
Technique
• Croissance exponentielle de la puissance
des ordinateurs et diminution de leur taille
?
?
• Modification de la conception de l’humain
63
Philosophique
Le monde et les (autres) mondes possibles
Acceptation de l’idée que
notre monde est déterminé
par les autres mondes possibles
et de toutes ses conséquences
64