1- Les Grands Principes du Rayonnement

4ème année du Département Génie Électrique
Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes
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Premier état des lieux
Deux points importants :
la plupart des antennes sont métalliques
la grande majorité est de type antennes résonantes
Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut
de façon erratique. Quand on crée une différence de
potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne
commande alors la répartition de ces charges.
Les courants et charges créés sont alors autant de sources
élémentaires de champ électromagnétique.
Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ
global délivré par un élément métallique est la somme de
toutes les contributions de ces sources élémentaires.
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Mécanisme de rayonnement
Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante
ne produisent pas de rayonnement.
+++
pas de rayonnement
Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture,
courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement.
+++
rayonnement
Dans une structure en résonance, les charges oscillent en
permanence, créant un flux de rayonnement continu.
rayonnement
+++
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La ligne bifilaire sur une charge
Rappels sur les lignes de transmission :
Zr
x
Ligne bifilaire fermée sur une charge
i
x
 Ae
 jβ x
superposition d’une onde
incidente et d’une onde
réfléchie
 Be
jβ x
ligne sans pertes
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La ligne bifilaire ouverte
Ligne en circuit ouvert :
C.O.
y
Ligne en circuit ouvert
i
 jβ y
i e
 2 ji sin y
r
r
v
i
  r sin  y cos t
 y, t 
Zc

y
jβ y
phénomène d’ondes stationnaires
i e
r

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
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Ligne en résonance
C.O.
Ligne en circuit ouvert
i
phénomène d’ondes stationnaires
 jβ y


i e
 2 ji sin y
r
r
v
i
  r sin  y cos t
 y, t 
Zc

i e
x
r
jβ y
En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants
étant en opposition de phase, le champ global rayonné est
pratiquement nul (heureusement d’ailleurs).
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Écartement des brins
L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la
ligne, la répartition du courant reste la même.
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21
Le dipôle rayonnant
On se retrouve
alors avec des
courants en phase
permettant un
rayonnement
efficace : principe
de l’antenne dipôle
Pb : en pratique, il y a désadaptation.
On cherchera alors une antenne
résonante présentant une impédance
d’entrée adaptée à une ligne en onde
progressive.
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Rappels sur le champ EM
Caractéristiques du milieu :
Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes
électromagnétiques, un milieu sera définit par :
Sa permittivité électrique complexe
 'j''
(F/m)
Sa perméabilité magnétique complexe
 'j''
Sa conductivité

(S/m)
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pertes ohmiques
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Sources de rayonnement
Des courants et des charges présents dans ce milieu sont
appelés sources primaires :
Densité surfacique de courants I p (A/m²)
Densité volumique de charges
Qp
(Cb/m3)
Ces sources créent :
Des champs électrique et magnétique
D’autres courants et charges
E
(V/m)
H
(A/m)
Ic et Qc
phénomènes d’induction
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Equations de Maxwell
Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on
obtient les équations suivantes :

b   h
h
rot e   
t

div d   q
e
rot h   e  
t
c

d   e
ic   e

div b  0
Les sources peuvent présenter des densités linéiques,
surfaciques ou même volumiques.
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Domaine de résolution
On considère deux domaines distincts de résolution
de ces équations : en présence de charges et
courants ou hors de toute charge ou courant.
La résolution en présence de charges et courants
permet de déterminer le champ produit par une
répartition linéique, surfacique ou volumique de charges
et courants (ce qui conduit au diagramme de
rayonnement de l’antenne).
Le second type de résolution permet de calculer les
ondes électromagnétiques propagées en espace libre.
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Régime sinusoïdal
Toujours dans le cas de milieux homogènes,
isotropes en régime harmonique on obtient les
équations suivantes :

div D   Q
rot E   j  H
C
 
div B   0
rot H   E  j  E
On peut alors résoudre ces équations pour
déterminer le champ produit par les charges et
courants présents sur un conducteur.
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Relation à la surface
Interface avec un conducteur parfait
1, 1, 1
n  E1  0
n  H1  I S
n. E 1  Q S
n.H 1  0
E1 H 1
 Le champ électrique est toujours
perpendiculaire au conducteur.
 Le champ magnétique est toujours
tangent au conducteur.
 Le champ électrique est
proportionnel aux charges à la
surface.
 Le champ magnétique est
proportionnel aux courants à la
surface.
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Potentiels électromagnétiques
Pour évaluer les effets d’une source isotrope en un
point P de l’espace on peut introduire les potentiels
vecteur et scalaire :

 
Puisque div B  0 on peut écrire B(r , t )    A(r , t )

z
P
q
r
o
Le vecteur A est donc défini à un
gradient près, il existe alors une
fonction V vérifiant :
y
j



A(r, t )
E(r, t )   V(r, t ) 
t
x
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Potentiels électromagnétiques
En exprimant les équations de Maxwell en fonction
des potentiels, on obtient les équations d’ondes :
2
 2V
Q
 V   2  
t 

2

2 A
 A   2   I
t
La résolution (complexe basée sur les fonctions
de Green) donne pour une répartition linéique :
e  j r
V
  Ql (r )
.dl potentiel scalaire
40 L
r
 

e  j r
A
  I l (r )
.dl
potentiel vecteur
4 L
r
1
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Source élémentaire
Le doublet électrique élémentaire est un élément
conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer
le courant constant sur la longueur (vitesse infinie).

z
E(r )
P
q r0
+q
i(t)
-q
r
r1
x
charges
courant
Qe jt
jQ
C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de
toute antenne comme la somme de sources élémentaires.
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Calcul du champ rayonné
Le problème apparaît à symétrie de révolution par
rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une
composante Az :

e  jr
Az 
 I m .dl.
4
r
On obtient alors :

H
Hr  0
Hq  0
1
1
 j r  j 
Hj 
 I m .dl. sin q .e 
 2
4
 r r 
Champ magnétique à une seule composante
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32
Hj
Calcul du champ électrique
On peut déduire par la suite le champ électrique produit :
1
1 
 jr  
Er 
 I m .dl. cos q .e  2 
3
2

r
j

r



E Ej  0
1

1 
 jr  j
Eq 
 I m .dl. sin q .e 
 2
3
4
r
r
j

r


Champ électrique à deux composantes Er et Eq
On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de
champ rayonné.
Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la
source, on va faire des approximations différentes pour
simplifier les expressions.
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33
Approximations en fonction de r
1
1
 j r  j 
Hj 
 I m .dl. sin q .e 
 2
4
 r r 
1
1 
 jr  
Er 
 I m .dl. cos q .e  2 
3
2
r
j

r


1

1 
 jr  j
Eq 
 I m .dl. sin q .e 
 2
3
4
r
r
j

r


Les termes en 1/r représentent le champ rayonné
(prédominant quand r grand), les termes en 1/r2 donnent
les champs induits et les termes en 1/r3 le champ
électrostatique.
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Rayonnement du doublet
Approximation en champ lointain :
H j (r , t ) 
j
 I  dl  sin q  e j (t  r )
2r
j

Eq (r , t ) 
 I  dl  sin q  e j (t  r )
2r 
i(t)
o
dans le vide

 120  377
o
H (r , t )
Eq (r , t )
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35
Les zones de rayonnement
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36
Les zones de rayonnement
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37
Propagation champ lointain
En revenant aux équations dans le cas de milieux
homogènes, isotropes et ne contenant pas les
sources primaires, en régime harmonique on obtient
les équations suivantes :

div D   0
rot E   j  H
 
rot H  j E

div B  0
Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont
presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges
et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources
magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du
problème électrique donne alors celle du problème magnétique et
inversement.
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Equations de propagation
Les équations de propagation pour les champs et (exprimés
en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme
suivante :
 h
 h   2  0
t
 e
e   2  0
t
2
2
Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction
Oz : 2
2
2
 e
2 e

h

h
et
 
0
 
0
z 2
t 2
z 2
t 2
1
v

Le rapport
 représente la vitesse de propagation de l’onde.
Sachant que généralement on considère que  r  1
ionisés et magnétiques) on écrit :
(sauf
milieux
1
1
c
c
v




 0 0  r
r n
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39
Solutions
En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme :
e(z, t)  E exp j(t  kz) et h(z, t )  H exp j(t  kz)
avec : k    2   
(paramètre de phase de l’onde)
v

Le rapport des modules de E et H exprime l’impédance d’onde du milieu
considéré (en W) :

c’est une quantité réelle.



H
Valeur dans l’air : 377 ohms
E
On a alors la relation fondamentale :

E Hu

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40
Onde sphérique - onde plane
Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement
d’une onde sphérique.
En effet la résolution des équations de potentiels dans le
cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution
sphérique, et donne pour solution :
E (r ) 
1
4
 Q.e
 j r
 j 1 
 r  r 2 
En champ lointain, cela donne :
Eo  jr
E (r ) 
e
r
La surface d’onde est une sphère centrée sur la source
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41
Approximation d’onde plane
Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses
(dépendant des conditions initiales).
Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes.


E  E0  cost  z  dz
l
E
H
Sens de propagation
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Puissance transportée
x
E
E
z
H
y
Quand la condition de champ lointain est respectée, la
surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde
plane. La puissance transportée par l’onde est traduite
par le vecteur de Poynting :
*
1
P
2
EH
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Polarisation de l’onde
On sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires
entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.
Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de
ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier.
En se basant sur les variations de l’orientation du champ E
au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde.
En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit
par
 ses composantes :


EEq uq Ejuj
avec
Eq Asin ta
et
Ej Bsin tb
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44
Polarisation rectiligne
Première hypothèse : les composantes vibrent en phase
ab



E sin t  Auq Buj 
Ej
Plusieurs possibilités :
polarisation horizontale,
verticale ou oblique

E
animation
Eq
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45
Exemple d’un doublet
i(t)
Polarisation rectiligne verticale
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46
Polarisation rectiligne horizontale
i(t)
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47
Exemple de 2 doublets en phase
i(t)
Polarisation rectiligne oblique
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48
Polarisation circulaire
Deuxième hypothèse : les composantes vibrent en
quadrature de phase et leurs modules sont égaux
ba

 2

E  Asin t auq cost auj 
Ej

E
Eq
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49
i(t)
Polarisation circulaire par
dé-synchronisation
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50
Polarisation elliptique
3 modes de polarisation
– polarisation rectiligne
• verticale, horizontale (plan H ou E)
– polarisation circulaire
• droite ou gauche
– polarisation elliptique
• droite ou gauche
animations
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51
Les grands théorèmes
Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands
théorèmes fondamentaux sont à connaître :
 le théorème de réciprocité de Lorentz
le théorème de Huygens-Fresnel
la théorie des images
le principe de Babinet
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52
Réciprocité de Lorentz
Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui
sont à l’origine de champs E1 et E2, on montre d’après les
équations de Maxwell :
 

E
2.I1.dv
E
1.I2.dv


v
v
les systèmes rayonnants sont réciproques
(attention seulement dans le cadre des antennes
passives).
Pf
Pr
Pr
Pf
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53
Principe de Huyghens-Fresnel
Principe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
surface arbitraire
sources
champs nuls
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sources
superficielles
équivalentes
(électriques et
magnétiques)
54
Application radar
Principe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
onde plane
cible
point
d’observation
Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on
recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par
l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface
constituée de sources fournissant un tel champ.
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55
Théorème des images
Au niveau d’un point d’observation, le champ créé par une
source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de
dimensions infini est équivalent au champ créé par
l’association de cette charge avec son image par symétrie
par rapport au plan de charge –q.
x
+q
P
x
+q
-q
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56
P
Images en courant
Le même principe s’applique pour les sources de courants.
L’image sera formée de la symétrie de la répartition de
courant de signe opposé (opposition de phase).
x
I
P
x
P
I
I
à la base de très nombreuses applications en antennes
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57
Principe de Babinet
Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique
des équations de Maxwell.
H
E
cas 1
cas 2
Le champ total du cas 1 va être égal au champ
diffracté du cas 2 et inversement.
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58
Application aux antennes
Toute fente pratiquée dans un plan de masse de
grande dimension aura le même comportement en
rayonnement que l’antenne métallique complémentaire
à ceci près que les champs E et H sont inversés.
E
H
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59