Performance de algorithmes à véracité garantie pour l

Performance des algorithmes
à véracité garantie pour
l'ordonnancement de tâches
individualistes
F. Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble
En collaboration avec :
 G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias
 E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia
Ordonnancement P||Cmax
m machines identiques
 n tâches
 toute tâche i a - une longueur li
- un numéro d’identification

M1
M2
M1
M2
Objectif : minimiser le makespan (la plus
grande date de fin)
SOGEA - 16/02/2007
2
Algorithmes d’approximation

SPT (Shortest Processing Time first)
 2-1/m

approché
LPT (Largest Processing Time first)
 4/3-1/(3m)

approché
Schéma d’approximation
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3
Ordonnancement de tâches
individualistes

Chaque tâche i est contrôlée par un agent
qui seul connaît li
(tâche ≡ agent)

Les tâches communiquent leur longueur à
un protocole qui doit les ordonnancer de
sorte à minimiser le makespan
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4
Stratégies des agents
L’algorithme d’ordonnancement est connu.
 Le but de chaque tâche est de minimiser
sa date de fin d’exécution.
 Chaque tâche i déclare une valeur bi
représentant sa longueur.
 Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)

bi
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li
5
Un exemple
Le protocole utilise l’algorithme LPT
 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur
afin de minimiser sa date de fin d’exécution.
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6
Algorithmes à véracité garantie
Algorithme à véracité garantie : algorithme
avec lequel les tâches ne peuvent pas
diminuer leur date de fin en mentant sur
leur longueur.
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7
Retour sur l’exemple

Le protocole utilise l’algorithme SPT
C’est un algorithme déterministe, à
véracité garantie et 2-1/m approché.
[Christodoulou et al. ICALP’04]
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Objectif
Borner la performance d’un protocole
(algorithme) à véracité garantie
 Pas de paiements

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9
Autres travaux en ordonnancement
Algorithmes à véracité garantie : économie
 Paiement des agents
 Ordonnancement :

 Les
agents sont les tâches : veulent
minimiser la charge de leurs machines
[Auletta et al, SPAA’04]
 Les
agents sont les machines
 Mécanisme de coordination [Christodoulou et al,
ICALP’04]
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10
Objectif
Borner la performance d’un protocole
(algorithme) à véracité garantie dans
divers contextes
 Déterministe
ou randomisé
 Modèle d’exécution fort ou souple
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11
Modèles d’exécution

Modèle fort
 Une
tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat li unités de temps après le début de
son exécution.

Modèle souple

Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat bi unités de temps après le début de
son exécution.
bi = 3
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li = 2
12
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
inf.
Fort
sup.
Randomisé
inf.
sup.
2-1/m *
Souple
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
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13
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
inf.
sup.
?
2-1/m *
Randomisé
inf.
sup.
Souple
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
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14
Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (1/2)
Hyp : Algorithme déterministe et de rapport
d’approximation < 2-1/m .
m machines
 m(m-1)+1 tâches de longueur 1

M1
1
1
M2
1
1
M3
1
1
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1
Au moins une tâche t se
termine à la date m.
15
Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure (2/2)


la tâche t déclare 1 :
1
1
1
1
1
1
1
fin(t) ≥ 3
La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :
Ordonnancement optimal
Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché
3
3
1
1
1
1
1
1
OPT = 3
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Makespan < (2-1/m) OPT = 5
début(t) < 2, fin(t) < 3
16
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Randomisé
inf.
sup.
inf.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
sup.
Souple
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17
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
?
Souple
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18
Modèle fort, algorithme randomisé

Idée : combiner :
- un algorithme avec véracité garantie
- un algorithme pas à véracité garantie mais avec un meilleur
rapport d’approximation.

Exemple : algorithme SPT-LPT
- avec une probabilité p : retourner un ordonnancement SPT
- avec une probabilité (1-p) : retourner un ordonnancement
.
LPT
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19
Modèle fort, algorithme randomisé

SPT-LPT n’est pas à véracité garantie.

On a trois tâches :
,
3
2
,
J’ai intérêt à
déclarer 2.5
plutôt que 1
1
- La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1
SPT :
1
3
LPT :
2
E[C1] = p + 3(1-p)
= 3 - 2p
3
2
1
- La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5
SPT :
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2.5
2
LPT :
3
3
2.5
2
E[C1] = 1
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Algorithme DSPT
Ordonnancer les tâches t.q. b1 < b2 < … < bn.
La tâche i+1 commence quand 1/m de la
tâche i a été exécuté.
 Exemple : (m=3)

1
4
7
2
8
5
3
0
1
6
2
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3
9
4
5
6
7
8
9
10
11
12
21
Algorithme DSPT
Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché
 Idée de la preuve :

1
4
7
5
2
8
3
0
1
6
2
3
9
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Temps d’inactivité :
inactivite_avant(i) = ∑ (1/3 lj)
inactivite_milieu(i) = 1/3 ( li-3 + li-2 + li-1 ) – li-3
inactivite_fin(i) = li+1 – 2/3 li + inactivite_fin(i+1)
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Algorithme DSPT
Propriété : DSPT est (2-1/m)-approché
 Idée de la preuve :
Cmax

1
4
7
5
2
8
3
0
1
6
2
3
9
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Cmax = (∑(idle times) + ∑(li)) / m
∑(idle times) ≤ (m-1) ln and ln ≤ OPT
 Cmax ≤ ( 2 – 1/m ) OPT
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Un algorithme à véracité garantie

Algorithme DSPT-LPT :
- Avec une probabilité m/(m+1), retourner DSPT
- Avec une probabilité 1/(m+1), retourner LPT.

Le rapport d’approximation de DSPT-LPT est
inférieur à celui de SPT.
si m=2, rapport(SPT-LPT) < 1.39, rapport(SPT)=1.5

Propriété : DSPT-LPT is à véracité garantie.
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24
Un algorithme à véracité garantie

DSPT-LPT est à véracité garantie.

On a trois tâches :
,
3
2
Je n’ai pas
intérêt à
mentir.
,
1
- La tâche 1 déclare sa vraie longueur : 1
DSPT :
1
3
LPT :
2
E[C1] = 5/3
3
2
1
- La tâche 1 déclare une fausse valeur : 2.5
DSPT :
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2
3
2.5
LPT :
3
2.5
2
E[C1] = 5/3
25
Un algorithme à véracité garantie


Propriété : DSPT-LPT est à véracité garantie.
Idée de la preuve :
Supposons que i déclare b>li. Elle est maintenant plus
grande que les tâches 1,…, x, plus petite que la tâche x+1.
l1 < … < li < li+1 < … < lx < bb << lx+1 < … < ln



LPT : diminution de Ci(lpt) ≤ (li+1 + … + lx)
DSPT : augmentation de Ci(dspt) = 1/m (li+1 + … + lx)
DSPT-LPT:
changement = - m/(m+1) Ci(lpt) + 1/(m+1) Ci(dspt) ≥ 0
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26
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
SOGEA - 16/02/2007
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
?
27
Un algorithme déterministe pour le
modèle souple
Idée : bénéficier de l’avantage de LPT
(son rapport d’approx) mais pas de son
inconvénient (les tâches mentent pour être
exécutées en premier)
 Construire un ordonnancement LPT puis
l’exécuter en sens opposé, i.e. du
makespan (Cmax) à la date 0

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28
LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se
termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur
réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t)
ne peut que diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m)
approché.
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29
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
m=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/6
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Randomisé
4/3-1/(3m)
30
Block : un algorithme randomisé
pour le modèle souple
Ordonnancer les tâches de façon optimale.
Makespan = OPT; Sommes des longueurs sur Mi = Li.
Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li sur Mi.
Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans
un ordre aléatoire.
M1
9
M2
10
M3
9
SOGEA - 16/02/2007
9
3
2
5
4
3
31
Block : un algorithme randomisé
pour le modèle souple

Lemme : Soit un ensemble de tâches à
ordonnancer selon un ordre aléatoire.
E[ fin de i ] = li + ½ ( lj)= ½ (( lj) + li)
ij

Block est à véracité garantie.
- i déclare li : Makespan= OPTli.
E[ fin de i ] = ½ (OPTli + li)
- i déclare bi>li : Makespan= OPTbi ≥ OPTli.
E[ fin de i ] = ½ (OPTbi + bi)
SOGEA - 16/02/2007
32
Bornes pour un système centralisé
Déterministe
Fort
Souple
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
4/3-1/(3m)
1
1
m=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/6
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Randomisé
33
Système distribué
Les tâches décident sur quelle machine
elles vont être exécutées.
 La stratégie de la tâche i est (bi,mi)
 Chaque machine j a un algorithme local
d’ordonnancement. Cet algorithme ne
dépend que des tâches ayant choisi j :
mécanisme de coordination [Christodoulou et al.

ICALP’04]
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34
Prix de l’anarchie

Équilibre de Nash : Situation dans laquelle
aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en
changeant unilatéralement de stratégie.

Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}
Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les
mécanismes de coordination à véracité garantie.
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35
Bornes pour un système distribué
Déterministe
Fort
Souple
SOGEA - 16/02/2007
Randomisé
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-1/m
?
2-1/m
2-1/m
36
Modèle souple, mécanisme de
coordination déterministe, borne inf
M1
M1
M2
M2
M1
M1
M2
M2
ρ < (2+ε)/2
et
ρ ≥ 2/(1+ε)
→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28
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37
Bornes pour un système distribué
Déterministe
Fort
Souple
inf.
sup.
inf.
sup.
2–1/m
2-1/m
3/2-1/(2m)
2-1/m
2-1/m
1+(√13-3)/4>1.15
2-1/m
(1+√17)/4 > 1.28
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Randomisé
38
Perspectives
Réduire les écarts entre bornes sup et inf
 Mécanismes de coordination avec véracité
garantie
 Agents contrôlant plusieurs tâches
 Machines avec vitesses

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39
SOGEA - 16/02/2007
40
Modèle fort, algorithme randomisé,
borne inférieure
Hyp : Existence d’un algorithme à véracité
garantie, randomisé et de rapport
d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε


m machines identiques
xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier)
Existence d’une tâche t telle que :
E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1
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41
Modèle fort, algorithme randomisé,
borne inférieure

Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut
déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer
l’espérance de sa date de fin
E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’
E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1)
E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1
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42
Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
(1)
Hyp : algorithme à véracité garantie de
rapport d’approximation 11/10 – ε
 2 machines et 5 tâches de longueurs
{5,4,3,3,3}

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43
Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
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(2)
44
Modèle souple, algorithme
déterministe, borne inférieure
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(3)
45
Modèle fort, algorithme
déterministe, borne inférieure
C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’
C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm
C(t) ≤ (1-ε)m < m
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