Atelier, Aire triangle et Parallelogramme

Formule de l’aire du triangle
Pré-requis : Formule de l’aire du parallélogramme.
Objectif : Déduire la formule de l’aire du triangle de celle de
l’aire du parallélogramme.
ACTIVITE :
On considère un triangle ABC.
1°) Construire le point E tel que ABCE soit un
parallélogramme. On note I le milieu des diagonales.
Construire la hauteur [AH] du parallélogramme.
A
En utilisant les points de la figure,
donner une formule qui permet
B
de calculer l’aire du parallélogramme
ABCE.
C
• 2°) a) Quel est le symétrique du triangle ABC par
rapport à I ?
•
b) Comparer alors les aires des triangles
ABC et AEC.
• Comment obtenir l’aire du triangle ABC à partir
de l’aire du parallélogramme ABCE ? Déduire
alors une formule pour obtenir l’aire du triangle
ABC en utilisant la formule trouvée au 1°) en
complétant la phrase ci –dessous :
• L’aire du triangle ABC est égale à la
……………………de l’aire de ABCE . Alors, pour
calculer l’aire de ABC, on fait : (…… ……).
• Que représente [AH] pour le triangle ABC ?
• 3°) Ecrire une formule qui permet de calculer
l’aire du parallélogramme ABEC ;
• En déduire alors une formule pour avoir l’aire
du triangle ABC.
• Que représente [BR] pour le triangle ABC ?
A
R
B
C
E
A
E
s
B
C
• 4°)Ecrire une formule qui permet de calculer l’aire
du parallélogramme ABCE.
• En déduire alors une formule pour avoir l’aire du
triangle ABC.
• Que représente [CS] pour le triangle ABC ?
• 5°) Compléter :
• Bilan : « L’aire d’un triangle est égal à :
… mesure d’un côté x mesure de la … relative
à ce côté...»
RECONNAÎTRE UN PARALLELOGRAMME PAR SES DIAGONALES
• Pré-requis :
• définition du parallélogramme (quadrilatère qui a les côtés opposés
parallèles ).
• Propriétés de la symétrie centrale.
•
•
•
•
•
Activité :
1°) On observe
A l’aide du logiciel géoplan, construire trois points A, B et I.
Construire A’ et B’ symétriques respectifs de A et B par rapport à I.
Quel est le symétrique du quadrilatère ABA’B’ par rapport à I?
Que
représente alors I pour ce quadrilatère?
• Quelle semble être la nature de ABA’B’ ?
• Déplacer les points A et B. Votre conjecture est-elle encore vérifiée ?
• 2°) On démontre
• Construire trois points A,B,I puis les points A’ et B’ symétriques
respectifs de A et B par rapport à I.
• On considère la symétrie de centre I.
• Compléter :
a) Le symétrique de A est A’ et le symétrique de B est B’. Alors le
symétrique de la droite (AB) est …………………………………… .
Comme l’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite
………………………….. alors les droites (……) et (……) sont
…………………..
• Démontrer comme au a) que les droites (BA’) et (AB’) sont parallèles.
• Expliquer alors pourquoi ABA’B’ est un parallélogramme.
• Compléter :
Bilan :
• Résumé: « Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
…………………. alors c’est un …………………………….. »
Ou
« Si un quadrilatère a un centre de …………………… alors c’est un
………………………… »
CARACTERISATION ANGULAIRE DU PARALLELISME
•
•
•
•
Pré-requis :
définition du parallélogramme ( quadrilatère qui a
les côtés opposés parallèles ).
Propriétés de la symétrie centrale.
( D)
Reconnaître deux angles alternes-internes.
E
A
•
Activité (réciproque) :
Reproduire la figure suivante.
1°) Comment semblent les droites (D) et
(D’) ?
( D' )
2°) Démontrons :
On note I le milieu de [AB]. Construire E’ le
symétrique de E par rapport à I.
Quel est le symétrique de l’angle EAˆ B ?
Quelle propriété de la symétrie permet de dire
que cet angle mesure 53° ?
Que dire alors des points B, F et E’ et des
droites (BF) et (BE’) ?
Démontrer que EAE’B est un parallélogramme.
Que dire alors des droites (AE) et (BE’) ?
Qu’en est-il des droites (AE) et (BF) ?
53°
53°
B
F
3°) Compléter :
Bilan : « Si deux droites forment avec une
sécante deux angles alternes-internes
………………………. alors elles sont
………………………………. . »
ANGLES ALTERNES – INTERNES, CORRESPONDANTS
PROPRIETES
• Activité 1 : « On observe ».
• A l’aide d’un logiciel de géométrie,
construire (D1) et (D2) parallèles et
une sécante (AB).
• Placer E sur (D1) et F sur (D2) de
façon que E et F soient de part et
d’autre de la sécante (AB).
• Que dire des angles … et … ?
• Afficher les mesures de ces angles.
• Déplacer le point A. Qu’observe
t’on ?
• Activité 2 : « On démontre ».
Reproduire la figure suivante où les droites (D1) et (D2) sont
parallèles et E est sur (D1).
Construire F sur (D2) tel que AEBF soit un parallélogramme.
Où est F ? Pourquoi ?
On note I le milieu de [AB].
On considère la symétrie de centre I.
Quel est le symétrique de A ? Justifier.
Quel est le symétrique de E ? Justifier.
Quel est le symétrique de l’angle …?
Quelle propriété de la symétrie centrale permet de dire que
les angles … et … sont égaux ?
A
( D1)
E
B
( D2)
( D1)
E
A
M
I
( D2)
B
F
P
• - On considère les points M et P
respectivement sur (D1) et (D2) situés de part
et d’autre de la sécante (AB).
Comparer les angles ..et .. . Justifier la réponse.
Comparer aussi les angles marqués en rouge
en justifiant.
Compléter :
Bilan : « Les angles alternes-internes
formés par deux droites parallèles et une
sécante sont ………………….. »
ACTIVITES : Parallélogramme et propriétés
• Pré-requis :
• définition du parallélogramme
( quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles ).
• Propriétés de la symétrie centrale.
Activité 1 : « On observe ».
A l’aide d’un logiciel de géométrie( ici, géoplan ),
• construire un parallélogramme ABCD.
• Nommer I le point d’intersection des diagonales.
• a) Afficher les mesures IA et IC, IB et ID. Qu’observe
t’on ?
• b) Afficher les mesures AB et DC, BC et AD.
Qu’observe t’on ?
• c) Afficher les mesures des 4 angles du
parallélogramme. Qu’observe t’on ?
• d) Déplacer les sommets du parallélogramme.
Observez-vous les mêmes choses qu’au a), b), c) ?
• Activité 2 : « On démontre ».
Construire avec la règle et l’équerre un
parallélogramme ABCD.
On note I le milieu de la diagonale [AC]. Placer I.
On considère la symétrie centrale de centre I.
Quelle est l’image du point A ? du point C ?
Justifier.
Connaît-on l’image de B ? Quelle semble être
l’image de B ?
Cherchons l’image de B.
Par quel point passe l’image de la droite (AB) ?
Que sait-on encore de l’image de cette droite ?
• Compléter alors : « L’image de la droite (AB) est la droite
……………à (AB) et qui passe par le point … . C’est donc la droite
……».
De même, compléter :
• « L’image de la droite (BC) est la droite ……………à (BC) et qui
passe par le point … . C’est donc la droite ……».
• « Le point B est sur les droites …… et …… ; son symétrique par
rapport à I est donc sur la droite ……,symétrique de …… et sur la
droite ……, symétrique de …… ; c’est donc le point … » .
On récapitule : Par la symétrie de centre I ,
A a pour image C.
B a pour image D.
Que représente alors I pour la diagonale [BD] ?
Quelle est l’image du parallélogramme ABCD par rapport à I ?
Compléter :
Bilan 1 : « Dans un parallélogramme, les diagonales ont le
même ………… qui est le ………………… de …………………. du
parallélogramme.
•
– Quelles sont les images des segments [AB] et
[BC] ?
Compléter alors : « Les longueurs AB et …… sont
égales ainsi que les longueurs …… et …… car
…………………………………………………………
……………….. ».
Compléter :
Bilan 2 : « Dans un parallélogramme, les côtés
opposés ont la même ………………....
e) Quelles sont les images des angles … et … ?
Expliquer alors pourquoi les angles … et … sont
égaux ainsi que les angles … et ...
Compléter :
Bilan 3 : « Dans un parallélogramme, les angles
…………… ont la même …………... »