Exam Optique Juin 08 avec corrigé

Licence 1 – UE PHY 111 et PHY 112 – Examen d’optique
2ème session – juin 2008
Aucun document n’est autorisé – calculatrices acceptées
Le sujet comporte 4 pages dont 1 document-réponse à rendre avec la copie
La présentation et la clarté des explications sont évaluées.
Présentation / clarté et cohérence des explications
2pts
1 Du simple au double (durée = environ 30 min) - SUR 15 PTS
Cet exercice aborde les effets de la propagation de la lumière à travers une vitre (simple
et double vitrage).
Dans un premier temps, on néglige tous les phénomènes de réflexion, pour ne
s’intéresser qu’à la réfraction.
1.1
Sur le document-réponse fourni, dessiner le trajet d’un rayon lumineux qui arrive en A
sur une lame de verre d’épaisseur e = 4 mm et d’indice optique n = 1,5 . L’angle
d’incidence à l’interface air → verre est supposé égal à 60° et la lame de verre est
placée dans l’air, d’indice optique 1,0002926. Les calculs de tous les angles nécessaires
au dessin devront être justifiés sur la copie.
Calcul de l’angle de réfraction dans le verre : r = sin-1(sin(60°)*1/1.5)=35,2°
Justification (ou calcul) de l’angle de sortie dans l’air = 60°
Tracé :
angle d’incidence 60° correct
angle de réfraction dans le verre correct
angle de sortie dans l’air correct
Remarque : le dessin symétrique par rapport à une verticale passant par A est aussi possible.
Air
60°
·A
35°
Verre
4 mm
35°
Air
60°
On note D0 la distance horizontale entre le point d’entrée et le point de sortie de la
lumière dans la lame de verre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
1 pt
1 pt
1 pt
1 pt
1 pt
Air
Verre
Air
·
A = point d’entrée du rayon lumineux
D0
· B = point de sortie du rayon lumineux
Exprimer le décalage D0 de façon littérale à partir des données de l’énoncé, puis
calculer sa valeur numérique.
Expression littérale de D0= e*tan(r)
Valeur numérique D0=4*tan(35°)=2,8 mm
1.2
1 pt
1 pt
1.3
Pouvez-vous proposer une valeur de l’angle d’incidence à l’interface air → verre pour
laquelle aucun rayon ne ressort de la lame de verre ?
Pour que la lumière reste dans le verre et ne sorte pas dans l’air, il faut que l’angle de réfraction
dans le verre soit supérieur à la valeur limite de réflexion totale (41,8°). Mais dans ce cas le rayon
ne peut pas rentrer dans le verre par la face supérieure, puisque l’angle d’incidence correspondant
est inexistant ! C’est donc impossible : tout rayon qui pénètre dans la lame de verre en ressort avec
un angle de sortie identique à l’angle d’incidence…
1 pt
Désormais, il sera tenu compte du fait qu’une partie du rayonnement est réfléchie à
chaque interface.
1.4
Sur le document-réponse fourni, compléter le graphe de la question 1.1 en faisant
figurer tous les rayons envisageables.
Le deuxième rayon qui sort vers le « bas »
Les deux rayons qui sortent vers le « haut »
Air
0,18 W
1 pt
1 pt
0,12 W
·A
Verre
Air
4 mm
0,67 W
0,02 W
On peut montrer qu’à chaque interface, 18 % de la puissance incidente est réfléchie, le
reste étant transmis.
1.5
Sur le document-réponse fourni, indiquer pour chacun des rayons sortant de la lame de
verre quelle est la puissance lumineuse associée, en supposant que le faisceau qui arrive
en A contient une puissance initiale de 1 Watt.
Principe du calcul expliqué : Prayon 1=1W*(18%) =0,18 W. Prayon 2=1W*(82 %*82%) = 0,67 W. 1 pt
Prayon 3=1W*(82%*18%*82%) =0,12 W.
Prayon 4=1W*(82 %*18%*18%*82%) =0,02W
Dans le cas d’un double vitrage, le rayon lumineux traverse 2 lames de verre : chacune a
une épaisseur de 4 mm, et la couche d’air qui les sépare mesure 16 mm (il s’agit de
doubles vitrages conformes à la réglementation thermique RT 2005, dits « 4/16/4 »).
1.6
En s’inspirant du dessin fait à la question 1.1, faire un nouveau graphe qui montre la
trajet du rayon lumineux principal (celui qui est transmis sans subir aucune réflexion).
L’angle d’incidence à l’interface air → verre est toujours supposé égal 60°.
Schéma clair
Air
Verre
1 pt
60°
· A35°
4 mm
35°
Air
D0
60°
L
16 mm
D0
60°
Verre
35°
35°
B
4 mm
·
60°
Quelle est la valeur numérique du décalage total D1 occasionné par ce double vitrage ?
La définition de D1 est analogue à celle de D0, mais le point d’entrée (A) est pris à
l’entrée de la première lame traversée, et le point de sortie (B) à la sortie de la seconde
lame.
Principe du calcul : nous avons D1 = D0 + L + D0
Valeur numérique : D1 = 2*e * tan (35°) + 16mm*tan (60°) = 33,3 mm
1.7
1 pt
1 pt
Pour améliorer encore l’isolation thermique, la couche qui sépare les deux lames de
verre peut être remplie d’argon, dont l’indice optique vaut 1,000281.
1.8
Est-il possible de savoir si le double vitrage étudié est rempli d’air ou d’argon en
mesurant le décalage D1 entre le point d’entrée et le point de sortie du rayon lumineux ?
Faisons les calculs avec précision :
Angle dans l’argon = sin-1(sin(60°)*1.000281/1.0002926)=59,9988 °.
Nouveau décalage : D1 = 2*e * tan (35°) + 16mm*tan (59.9988°) = 33,3131 mm
au lieu de 33,3145 mm avec de l’air.
La différence est donc de l’ordre de 1,3 µm (soit 0.004% en relatif), c’est presque impossible de
mesure D avec cette précision !
1 pt
2 Observation lunaire (durée = environ 1h) – SUR 23 POINTS
Pour observer la Lune sur un écran, on dispose de deux lentilles minces, notées L1 et L2,
et d'un écran d'observation (E). La Lune a un diamètre d’environ 3500 km et la distance
Terre-Lune est voisine de 400 000 km. La lentille L1 a une vergence V1 = 2 dioptries.
Pour commencer, on n’utilise que la lentille L1 et l'écran (E).
2.1 Quelle est la nature de la lentille L1 (CV ou DV) ? Calculer sa distance focale image.
La lentille L1 est convergente car sa vergence est positive.
1
1
soit f ' = = 0,5m .
La valeur de sa distance focale image est : V =
f'
V
1 pt
1 pt
2.2
A quelle distance de la lentille L1 faut-il placer l'écran (E) pour observer une image
nette de la Lune ? Expliquer ce résultat.
Pour avoir une image nette de la lune sur l’écran E, on doit satisfaire la relation de conjugaison :
1 1 1
pf '
− =
⇒ p' =
. Or p= - 400 000 000 m, et f ’=0,5m ce qui donne p’=0,50m.
p' p f '
p+ f '
On aurait pu considérer immédiatement que l’objet est situé à l’infini car |p|>>f’ et dans ce cas
l’image doit se trouver au foyer image de la lentille. Il faut donc placer l’écran E à 50cm de la
lentille L1 pour observer une image nette.
Résultat (p’ = 50 cm)
1 pt
Explication
1 pt
2.3
L'image est-elle droite ou renversée ? Quel est le diamètre de l’image de la Lune ?
Le grandissement transversal du système est négatif, car : γ =
donc l’image est renversée.
p'
0.5
=
= −1, 25.10−9 ,
6
p −400.10
1 pt
et son diamètre vaut : A’B’=AB*|γ|=4,38mm.
2.4
1 pt
Retrouver ce résultat sachant que le « diamètre
apparent de la Lune » (id est l’angle θ sous lequel on
voit la lune) est de 0,00875 rad ; un tracé de rayon
pourra être utile.
θ
Tracé d’un schéma
Calculs : tan(θ/2)=(AB/2)/|p|=(A’B’/2)/|p’| d’où A’B’=2*|p’|*tan(θ/2)≈ |p’|*θ =5mm.
A
B’
θ
B
|p|
θ
|p’|
A’
1 pt
1 pt
En associant 2 lentilles minces, il est possible d’obtenir une image plus grande de la
Lune. L'association est constituée de la lentille L1 utilisée précédemment suivie d’une
lentille mince divergente L2. La lentille L2 et l'écran (E) sont situés respectivement 25 cm
et 125 cm après la lentille L1. L’image est toujours visualisée sur l'écran (E), placé dans
sa nouvelle position.
2.5
L'image de la Lune à travers la lentille L1 constitue-t-elle un objet réel ou virtuel pour la
lentille L2 ?
La lentille L2 est située 25cm après L1 et l’image de la Lune est située 50cm après L1, donc 25 cm
après L2 : c’est donc un objet virtuel pour L2.
1 pt
2.6
Quelle doit être la valeur de la distance focale f2' de la lentille L2 pour que l'image finale
de la Lune soit nette sur l'écran (E) ?
On utilise la relation de conjugaison, elle doit être satisfaite pour avoir une image nette sur l’écran
E et on connaît les nouvelles valeurs de p et p’. On a donc :
1 1 1
pp '
1 pt
− =
⇒ f '=
p' p f '
p− p'
avec p = +25cm et p' = +100cm, on obtient f ' = −33cm.
1 pt
2.7
Sur le document-réponse fourni, faire un schéma de ce nouveau dispositif, à l’échelle
1/10ème (ne pas chercher à représenter la Lune !) : doivent notamment figurer les
positions des deux lentilles, de l’écran, et des foyers (objet et image) de chaque lentille.
Indiquer sur ce schéma le trajet d’un rayon lumineux provenant de la Lune et qui arrive
parallèle à l’axe optique (expliquer précisément la démarche suivie).
Positions lentilles, foyers
Trajet rayon lumineux
Démarche expliquée
L1
F1
L2
F’2
F’1
F2
1 pt
1 pt
1 pt
Ecran (E)
2.8
Calculer le diamètre de l’image finale de la Lune observée sur l’écran (E). Est-elle
droite ou renversée ?
Le grandissement global est γ = γ 1* γ 2 avec γ 1 = -1,25.10-9 et γ2 = p’/p = 100/25 = 4.
Soit : γ = -1,25.10-9*4 = -5.10-9. γ est négatif donc l’image est renversée.
De plus, A’B’=AB*|γ| = 17,5 mm.
Quelle doit être la position et la distance focale image de la lentille convergente mince
L équivalente qui, mise à la place de l'association constituée des lentilles minces L1 et
L2, donnerait de la Lune une image de même dimension ?
Le grandissement à travers le système optique est : γ = - 5.10-9 = p’/p, donc p’ = -5.10-9*p.
Or 1/p’-1/p=1/f ’ soit f ’ = p*p’/(p - p’) ≈ -5.10-9*p2/p = -5.10-9*p = 2m.
Donc la focale de la lentille équivalente est de 2m et elle doit être placé à 2m de l’écran.
1 pt
1 pt
2.9
1 pt
2.10 Quel est finalement l’intérêt d’utiliser l’association de L1 et L2 plutôt que la lentille L
seule ?
On remarque que l’association permet de diviser par 1,6 l’encombrement du système optique. 1 pt
On remplace l’écran par un capteur CCD comportant 256 pixels x 256 pixels, pour une
dimension de capteur de 25,6 mm x 25,6 mm.
2.11 Quel est le nombre approximatif de pixels éclairés par l’image de la Lune ?
On a 25,6x25,6mm2 correspondant à 256x256 pixels, donc la surface d’un pixel est 0,01 mm2.
La surface de l’image de la lune sur le capteur est : πr2=240,53 mm2.
On a donc environ 24 530 pixels d’éclairés.
1 pt
2.12 Quelle est la taille du plus petit détail de la surface lunaire que l’on peut observer avec
ce système optique ?
Le plus petit détail que l’on peut voir sur la lune correspond à 1 pixel, or un pixel a une
dimension de 0,1mm x 0,1mm, cela correspond à un objet AB dans l’espace image de dimension
AB=A’B’/|γ|=(0,1.10-3)/(5.10-9) =2.104m.
Le plus petit détail est donc un objet de 20km de dimension.
1 pt
Pour observer l’image de la Lune (à travers l’association L1 et L2) directement à l’œil, et
non plus sur un écran ou sur un capteur CCD, il faut que l’image à la sortie de L2 se
forme à l’infini : c’est le principe d’une lunette « afocale ».
2.13 Où faut-il positionner L2 par rapport à L1 pour réaliser cette lunette afocale ?
Pour observer l’image à l’infini il faut placer la lentille L2 tel que l’image à travers L1
soit au foyer objet de L2 c'est-à-dire : p=+33,3cm. Il faut donc placer L2 16,7cm après L1.
1 pt
2.14 Déterminer le grossissement obtenu à travers cette lunette.
Rappel : le grossissement est le rapport entre l’angle sous lequel est vue l’image dans la
lunette et l’angle sous lequel est vu l’objet sans appareil.
Aide : partir du tracé d’un rayon qui passe par le centre optique de L1…
G=f’1/f’2=50/33,3 = 1,5
Avec un schéma et des explications, c’est mieux !
1 pt
1 pt
Fin de l’énoncé
TOTAL SUR 40 pts : Partie 1 sur 15 pts + partie 2 sur 23 pts + présentation sur 2 pts