- Enoncé – Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel

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Physique
On a marché sur la Lune… (suite et fin)
Exercice résolu
- Enoncé –
QUATRIEME PARTIE : « QUELLE EST LA LONGUEUR DE LA BARBE DES DUPONDT ? »
Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel lunaire, supposé galiléen.
Après de nombreuses frayeurs, la fusée s’est enfin posée sur le sol lunaire. Mais les Dupondt, qui
ont contracté une maladie lors d’une précédente aventure, font une rechute : leurs cheveux et
leur barbe se mettent à pousser, pousser, pousser…. Milou, le chien de Tintin, toujours prêt à
s’amuser, en profite pour faire de la balançoire.
On suppose que Milou, de masse
mM = 5,0 kg et de centre d’inertie M,
accroché à la barbe des Dupondt, peut
être assimilé à un pendule simple de
longueur L telle que L = OM (voir image
ci-contre).
Une caméra de vidéosurveillance a
filmé la scène et on a obtenu, après
traitement des informations, les
graphes donnés en annexes n°2 et n°3 :
θ, écart angulaire de OM par rapport à
la verticale, est positif lorsque le
pendule est à droite de cette verticale
(position d’équilibre).
O
M
1. Exploitation du graphe en annexe n°1
a) Quelle est la nature des oscillations de Milou ?
b) Quelle est l’élongation angulaire initiale θ0 des oscillations du pendule ?
c) Déterminer sans calcul, la direction et le sens du vecteur vitesse initiale v0 de Milou.
d) Déterminer graphiquement la période T0 des oscillations.
e) On suppose que T0 = 2.π.Lα .m‘’β .gLγ. Par une analyse dimensionnelle, déterminer l’expression de
T0.
f) En déduire la valeur de la longueur L de la barbe des Dupondt.
2. Exploitation du graphe en annexe n°2
Ce graphe donne les courbes représentatives de l’énergie mécanique E, de l’énergie cinétique Ec
et de l’énergie potentielle de pesanteur Ep (on supposera que Ep = 0 lorsque Milou passe par sa
position d’équilibre) en fonction du temps.
a) Démontrer que l’énergie potentielle de pesanteur s’exprime par : Ep = m.gL.L.(1 – cos θ).
b) Identifier les trois courbes.
c) Déterminer la valeur maximale vmax de la vitesse de Milou.
d) En utilisant l’expression de la question a, déterminer la valeur de l’amplitude θm des
oscillations. Le résultat est-il en cohérence avec le graphe de l’annexe n°1 ?
e) Quelle est la période T de l’évolution des énergies cinétique et potentielle ? Le résultat est-il
en cohérence avec la valeur de T0 ?
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ANNEXE
ANNEXE N°1
ANNEXE N°2
θ (x 10-3) rad
t (s)
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- Corrigé –
1. Exploitation du graphe en annexe n°1
a) Quelle est la nature des oscillations de Milou ?
Les oscillations de Milou sont périodiques et sinusoïdales. L’oscillateur ainsi constitué est un
oscillateur harmonique car il n’y a pas d’amortissement.
b) Quelle est l’élongation angulaire initiale θ0 des oscillations du pendule ?
Le graphe montre qu’à t = 0, θ0 = 0 (Milou se trouve alors à la position d’équilibre).
c) Déterminer sans calcul, la direction et le sens du vecteur vitesse initiale
v 0 de Milou.
Peu après la date t = 0, l’élongation angulaire est négative. Milou se déplace donc de droite à
gauche et le vecteur vitesse initiale est horizontale et dirigé vers la gauche.
d) Déterminer graphiquement la période T0 des oscillations.
Graphiquement, on trouve : T0 = 7,0 s
e) On suppose que T0 = 2.π.
π.L
π. α .mMβ .gLγ. Par une analyse dimensionnelle, déterminer l’expression de T0.
Si on suppose que T0 = 2.π.Lα .mMβ .gLγ on doit avoir [T0] = T = [2.π.Lα .mMβ .gLγ]
[2π] = 1 ; [Lα] = Lα ; [mMβ] = Mβ ; [gL] = L.T-2 => [gL]γ = Lγ.T-2γ. Donc : [2.π.Lα .mMβ .gLγ] = 1.Lα+γ.Mβ.T-2γ
On cherche α, β et γ tels que Lα+γ.Mβ.T-2γ = T, soit : α + γ = 0 ; β = 0 ; -2γ = 1
1
On a alors : β = 0 et γ = => T0 = 2π.
1
−
1
1
=> α =
. Finalement : T0 = 2.π.Lα .mMβ .gLγ = 2.π.L 2 .g L 2
2
2
L
gL
f) En déduire la valeur de la longueur L de la barbe des Dupondt.
T0 = 2π.
T 2 .g
L
L
=> T 20 = 4π2 .
et L = 0 2L
gL
gL
4π
soit : L =
(7, 0)2 x1, 6
= 2,0 m
4π2
z
O
2. Exploitation du graphe en annexe n°2
θ
a) Démontrer que l’énergie potentielle de pesanteur s’exprime par : Ep = mM.gL.L.(1 – cos θ).
Ep = mM.gL.zA = mM.gL.(OM – OH)
Or : OM = L et OH = L.cos θ => EP = mM.gL.L(1 – cos θ)
b) Identifier les trois courbes.
H
A
Courbe 2 : l’énergie représentée est constante. Il s’agit de l’énergie mécanique E.
En effet, le système est conservatif (pas d’amortissement dû à des frottements).
M
La vitesse initiale n’est pas nulle et θ0 = 0 : on en déduit que l’énergie cinétique
initiale est non nulle et que l’énergie potentielle de pesanteur initiale est nulle.
Courbe 1 : l’énergie représentée est nulle à l’instant initial. Il s’agit de l’énergie potentielle de
pesanteur.
Courbe 3 : l’énergie représentée est maximal à l’instant initial. Il s’agit de l’énergie cinétique.
c) Déterminer la valeur maximale vmax de la vitesse de Milou.
La vitesse de Milou est maximale lorsque son énergie cinétique est maximale.
2
On a alors : Ec = E = 1 mM .vmax
=> vmax =
2
2E
mM
On lit E = 0,24 J sur la courbe n°1, soit : vmax =
2 × 0,24
= 3,1 x 10-1 m.s-1
5, 0
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zA
zM = 0
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d) En utilisant l’expression de la question a, déterminer la valeur de l’amplitude θm des oscillations. Le résultat estil en cohérence avec le graphe de l’annexe n°2 ?
La valeur de θ est maximale lorque l’énergie potentielle de pesanteur est maximale.
On a alors : Ep = E = mM.gL.L.(1 – cos θmax) => cos θmax = 1 -
Soit : cos θmax = 1 -
E
mM .gL .L
0, 24
= 0,985 et θmax = 10° ou 0,175 rad (valeur que l’on peut lire
5, 0 × 1, 6 × 2, 0
sur le graphe de l’annexe n°2… donc le résultat est cohérent).
e) Quelle est la période T de l’évolution des énergies cinétique et potentielle ? Le résultat est-il en cohérence avec
la valeur de T0 ?
T0
.
2
C’est cohérent dans la mesure où le mouvement se fait de part et d’autre de la verticale : à ce
titre, Milou passe deux fois par période T0 par sa position d’équilibre (Ec = E et Ep = 0) et en des
points tels que θ = ± θmax (Ec = 0 et Ep = E).
La période de l’évolution des énergies potentielle et cinétique est T = 3,5 s, soit T =
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