Une tentative de présentation de l`algorithme de Boltzmann sur

Une tentative de pr´esentation
de l’algorithme de Boltzmann sur R´eseau
dans le cas de l’´equation de la chaleur
St´ephane DELLACHERIE
Commissariat `a l’´ Energie Atomique
Centre de Saclay, France
stephane.dellac[email protected]
Janvier 2007
1 Introduction
L’algorithme de Boltzmann sur R´eseau –Lattice Boltzmann Method (LBM)
– a initialement ´et´e propos´e pour r´esoudre le syst`eme de Navier-Stokes incom-
pressible [11]. L’algorithme LBM sort du cadre classique (sch´emas de volumes
finis, diff´erences finies etc) et trouve ses origines dans un algorithme de type
automate cellulaire [2] (automate de gaz sur r´eseau). ` A la suite de [11], bon
nombre d’articles – voir les r´ef´erences dans [8] – et quelques livres [5, 9, 10] ont
´et´e publi´es sur le sujet, certains articles proposant des extensions de la m´ethode
comme par exemple [3, 4, 7].
La m´ethode LBM n’a jusqu’ici trouv´e qu’un faible ´echo aupr`es de la commu-
naut´e “math. appli.” nous semble-t-il. Comme soulign´e dans [6], cette situation
est sans doute li´ee aux connections historiques de l’algorithme LBM avec un al-
gorithme de type automate cellulaire sortant du cadre EDP [2] et au manque,
jusqu’`a tr`es r´ecemment [1, 6], de r´esultats pr´ecis concernant les propri´et´es de
convergence, de stabilit´e, de pr´ecision, voire mˆeme de consistance.
Or, il nous semble clair que l’algorithme LBM poss`ede des propri´et´es remar-
quables. Ainsi, les algorithmes de type LBM sont :
- explicites ;
- robustes (pas de contrainte sur le pas de temps ∆t!!!) ;
- faciles `a programmer et parall´elisables ;
- adapt´es `a des g´eom´etries complexes de type milieux poreux.
1

2 Un sch´ema LBM pour l’´equation de transport-
diffusion 1D
Afin de donner quelques pistes de r´eflexion, nous nous proposons de d´eriver un
algorithme 1D de type LBM pour l’´equation de transport-diffusion 1D
∂tρ+∂x(uρ) = ν∂2
xρ(u(x) donn´e, ν > 0 et x∈[0, L]).(1)
L’approche propos´ee consiste `a d´eriver un sch´ema LBM en ´etudiant la limite
fluide du syst`eme cin´etique discret
∂tfε
1+v1∂xfε 1=1
ε(Mε
1−fε 1),
∂tfε
2+v2∂xfε 2=1
ε(Mε
2−fε 2)
(2)
o`u {fq(t, x)}q=1,2est une distribution agissant dans un espace de vitesse micro-
scopique discret et fini, {Mq(t, x)}q=1,2´etant une “maxwellienne” ad hoc. Cette
approche nous semble similaire `a celle propos´ee dans [6]1.
Nous d´eriverons ainsi un sch´ema LBM non-standard pour (1) et nous mon-
trerons que ce sch´ema LBM permet de retrouver, au moins qualitativement, un
sch´ema LBM standard utilis´e pour r´esoudre l’´equation de la chaleur [4]. Nous
montrerons l’existence d’un principe du maximum ind´ependant du pas de temps
∆tpour ce sch´ema LBM (standard ou non).
3 R´esultats num´eriques
En comparant la solution num´erique donn´ee par l’algorithme LBM `a une solu-
tion analytique 1D instationnaire, les propri´et´es de pr´ecision et de robustesse
de l’algorithme LBM seront clairement d´ecrites.
Nous montrerons par ailleurs que l’algorithme LBM permet de converger
beaucoup plus rapidement vers une solution stationnaire qu’un algorithme clas-
sique explicite, l’algorithme LBM n’´etant contraint par aucun crit`ere de sta-
bilit´e. Cette propri´et´e est d’autant plus remarquable que l’algorithme LBM se
g´en´eralise sans aucune difficult´e au cas de IRN(N≥2, voire N1)2.
Nous montrerons ´egalement quelques limitations ´etranges de l’algorithme
LBM dont certaines ne seront pas sans “´etonner” l’auditoire. Nous ´etablirons
enfin que certains sch´emas LBM sont `a proscrire car ne v´erifiant pas le principe
du maximum d´ecrit au §2.
1L’´etude propos´ee dans [6] est beaucoup plus complexe que celle que nous pr´esentons. En
effet, Klar et al ´etudient dans [6] le syst`eme de Navier-Stokes incompressible.
2Soulignons que le crit`ere de stabilit´e d’un sch´ema explicite classique est en O∆x2
2N ν dans
le cas de l’´equation de la chaleur discr´etis´ee dans IRN, ce qui peut ˆetre fortement p´enalisant
lorsque N1.
2

4 Conclusion
Nous conclurons l’expos´e en montrant quelques r´esultats num´eriques 2D obtenus
par un code LBM r´esolvant Navier-Stokes incompressible 2D dans un milieu
poreux p´eriodique de type cœur de r´eacteur nucl´eaire, et nous soulignerons que
si l’algorithme LBM poss`ede ses zones d’ombre, celui-ci m´erite certainement une
attention particuli`ere.
Remerciements : Ce travail a ´et´e financ´e par l’Universit´e McGill de Montr´eal.
Nous tenons `a remercier particuli`erement F. Drolet (McGill et Paprican) et D.
Vidal (Polytechnique Montr´eal et Paprican) de nous avoir permis d’utiliser leur
code Navier-Stokes LBM 3D. Nous les remercions ´egalement pour leurs conseils.
References
[1] F. Dubois – Une introduction au sch´ema de Boltzmann sur r´eseau –` A
Paraˆıtre dans ESAIM Proceedings.
[2] U. Frish, B. Hasslacher et Y. Pomeau – Lattice-gas automata for the Navier-
Stokes equations – Phys. Rev. Lett., 56, p. 1505-1508, 1986.
[3] D. d’Humi`eres, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand et L.-S. Luo –
Multiple-Relaxation-Time lattice Boltzmann models in three dimensions –
Philos. Trans. R. Soc. Lond. A 360, p. 437-451, 2000.
[4] D. Wolf-Gladrow – A Lattice Bolzmann Equation for Diffusion – J. of Stat.
Phys., 79(5,6), p. 1023-1031, 1995.
[5] D. Wolf-Gladrow – Lattice Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann
Models: An Introduction – Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2000.
[6] M. Junk, A. Klar et L.-S. Luo – Asymptotic analysis of the lattice Boltzmann
equation – J. of Comp. Phys., 210, p. 676-704, 2005.
[7] S.C. Mishra, A. Lankadasu et K.N. Beronov – Application of the lattice Boltz-
mann method for solving the energy equation of a 2-D transcient conduction-
radiation problem – Int. J. of Heat and Mass Transfer, 48, p. 3648-3659,
2005.
[8] R.R. Nourgalief, T.N. Dinh, T.G. Theofanous et D. Joseph – The lattice
Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and impli-
cations – Int. J. of Multiphase Flow, 29, p. 117-169, 2003.
[9] S. Succi – The Lattice Boltzmann Equation – Oxford Science Publications,
2001.
[10] D.H. Rothman et S. Zaleski – Lattice-Gas Cellular Automata – Collection
Al´ea Saclay, Cambridge Univ. Press, 1997.
[11] Mc Namara et Zanetti – Use of the Boltzmann equation to simulate lattice
gas automata – Phys. Rew. Lett., 61, p. 2332, 1988.
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