Chapitre 2 : Statique des fluides Introduction I. Pression dans

Thermodynamique PTSI
Chapitre 2
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Introduction
Objectif du chapitre
Système étudié : fluide en équilibre (donc statique !) dans le champ de pesanteur terrestre.
On s’intéresse au champ de pression au sein d’un fluide.
On distingue les fluides incompressibles où ρ = cte (cas des liquides § II.), des fluides
compressibles où ρ(M) (cas des gaz § III.). Le § IV. est consacré à la résultante des forces de
pression sur un système quelconque immergé dans un fluide : la poussée d’Archimède.
Notion d’état fluide
L’état fluide regroupe l’état liquide et l’état gazeux.
Gaz Liquide
État dispersé et désordonné. État compact et désordonné
Molécules éloignées les unes des autres :
distance entre 2 molécules >> Taille molécule Molécules proches les unes des autres :
distance entre 2 molécules ≈ Taille molécule
Nombre de molécules par unité de volume :
n* ≈ 1025 m−3
Nombre de molécules par unité de volume :
n* ≈ 1028 m−3
Peu dense Dense (1000 × densité gaz)
Compressible :
15
10
1
−−
≈
∂
∂
−= Pa
P
V
V
T
T
χ
Peu compressible :
110
10.5
1
−−
≈
∂
∂
−= Pa
P
V
V
T
T
χ
I. Pression dans un fluide en équilibre dans le champ de
pesanteur
Notion de pression
La pression est une force par unité de surface et s’exprime en Pa dans le système
international (1 Pa = 1 N.m
–2
). D’un point de vue local, un élément dS d’une surface Σ
fermée au sein d’un fluide subit une force :
(
)
(
)
Qs
SQPQF dd −=
avec
Q
Sd vecteur surface sortant et
(
)
QP la pression au point Q.
Bilan des forces
Système étudié : fluide au repos, de masse m, de volume V et délimité par une surface Σ.
En mécanique des fluides, il n’est pas possible de raisonner comme en mécanique du point
où, par exemple, le point d’application d’une force est sans ambiguïté… Il faut donc se
ramener formellement à des éléments de surface dS(M) ou de volume dτ(M) qualifiés
Énergie d’agitation thermique
Énergie d’interactions intermoléculaires

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« d’élémentaires » et situés au voisinage d’un point M qui constitue alors le point
d’application des forces appliquées au système étudié.
On « découpe » donc les systèmes fluides en sous systèmes appelés « particule de fluide »
qui est un élément de volume défini à l’échelle mésoscopique contenant un nombre suffisant
de molécules pour qu’on puisse considérer le milieu comme continu et définir des grandeurs
moyennes :
- densité moléculaire : n*(M),
- masse : dm,
- masse volumique :
( )
τ
=ρ
d
dm
M ,
- nombre de molécules contenues dans dτ(M) : dN = n*(M)× dτ(M).
Bilan des forces :
- Le poids du fluide, force répartie en volume. Le volume élémentaire dτ(M) subit une
force :
(
)
(
)
gMgmMF τρ== ddd
vol
- La résultante des forces de pression, force répartie en surface. La surface élémentaire
dS(Q) subit une force :
(
)
(
)
Qs
SQPQF dd −=
Remarques :
Le fluide étant au repos, les vitesses d’ensemble du fluide et de chaque particule sont nulles.
De même la résultante des forces est nulle.
Le poids et la pression étant définis dans tout l’espace occupé par le fluide, on parle de champ
de pesanteur (champ vectoriel) et de champ de pression (champ scalaire).
Équation fondamentale de la statique des fluides
Le champ de pesanteur est supposé uniforme :
z
egg ±= suivant que l’axe Oz est orienté vers
le haut (signe –) ou vers le bas (signe +).
On démontre alors l’équation suivante, appelée « équation fondamentale de la statique des
fluides » (EFSF) qui constitue un bilan local (valable en tout point M du fluide) de force
volumique (force par unité de volume) :
(
)
(
)
0grad =−ρ MPgM .
La projection de cette équation sur l’axe Oz donne :
- zgP dd
ρ
−
=
pour un axe Oz ascendant,
- zgP dd
ρ
+
=
pour un axe Oz descendant.
×
M
Σ
n
dS
d
τ
Q

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Surfaces isobares
Un (surface) isobare est tel que P = cte soit dP = 0. On a donc dz = 0 soit z = cte : en
référentiel galiléen et dans le seul champ de pesanteur uniforme, les surfaces isobares sont les
plans horizontaux.
II. Fluide incompressible en équilibre
Ici, on s’intéresse à un fluide tel que :
(
)
cte
=
ρ
=
ρ
∀
MM
ou 0
ln1 =
∂
ρ∂
=
∂
∂
−=χ
TT
T
PP
V
V.
Champ de pression
L’intégration de l’EFSF avec Oz descendant donne :
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
ghhP
zzgzPzP
zPzzgzP
ρ=∆
−ρ=−
+
−
ρ
=
00
00
.
Conséquences :
La surface libre d’un liquide en contact avec l’atmosphère (dont la pression est uniforme) est
une surface isobare car pour un point M d’altitude z de cette surface, si
(
)
zP est constant alors
z = cte.
La pression au sein d’un liquide dépend fortement du point considéré et on ne peut pas parler
de « la pression du fluide ».
Applications
Expérience du tonneau de Pascal
Une hauteur d’eau h de section s même faible peut provoquer une augmentation de pression
non négligeable. Si h = 10 m, on a
(
)
5
10=∆ hP Pa soit une augmentation de 1 bar de pression
par rapport à la pression atmosphérique.
Vases communicants
À l’échelle d’un récipient contenant un liquide, la pression atmosphérique est uniforme. La
pression est donc la même pour 2 surfaces libres d’un même liquide homogène, et la
dénivellation entre les 2 surfaces libres est donc nulle.
Manomètres
À l’inverse, la dénivellation h entre deux surfaces libres d’un liquide au repos en contact avec
deux gaz de pressions différentes permet d’évaluer cette différence de pression par mesure de
h.
Baromètres
Si l’un des gaz est l’atmosphère terrestre et l’autre est à une pression négligeable (pression de
vapeur saturante de mercure à température ambiante), la mesure de h permet d’en déduire la
pression atmosphérique. Le choix du mercure se justifie par son état physique liquide et son
énorme masse volumique (13,6 fois celle de l’eau).
III. Fluide compressible en équilibre
On s’intéresse maintenant à un fluide (l’atmosphère terrestre) compressible et on cherche plus
précisément à établir la loi d’évolution de la pression en fonction de l’altitude :
(
)
zP .

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Modèle de l’atmosphère terrestre isotherme
On se place dans le cadre d’un modèle dont les hypothèses sont les suivantes :
- Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme :
( )
zz
e
R
GM
e
zR
GM
g
2
T
T
2
T
T
−≈
+
−= .
- La température est supposée uniforme.
- L’air est assimilé à un mélange de gaz parfaits de masse molaire M = 29 g.mol
–1
.
Champ de pression dans l’atmosphère terrestre
À partir de l’équation des GP on établit que la masse volumique d’un GP s’écrit
( )
(
)
RT
MzP
z=ρ où M désigne la masse molaire. L’EFSF zgP dd
ρ
−
=
permet alors d’établir
l’ED 0
d
d=+ P
RT
Mg
z
P
dont la solution est :
( )
−= z
RT
Mg
PzP exp
0
.
Remarques :
On met en évidence une distance caractéristique de variation de pression de l’atmosphère :
km 8≈= Mg
RT
H dans les CNTP.
Pour les systèmes gazeux en équilibre et de faible dimension devant H, on pourra considérer
la pression comme uniforme et négliger l’influence de la pesanteur : la pression est supposée
uniforme et ne dépend plus du point considéré.
IV. Actions exercées par les fluides au repos
Calcul de la résultante des forces de pression
On cherche à calculer les composantes verticale et horizontale de la résultante des forces de
pression
(
)
Σ∈
Σ
−=
QQ
SQPF d . On a démontré, en cours, les résultats suivants :
La composante verticale de la résultante des forces de pression sur un récipient quelconque
est égale au poids du fluide.
La composante horizontale de la résultante des forces de pression sur un récipient
quelconque est la même pour toutes les parois latérales de même projection parallèlement à
l’axe considéré.
Théorème d’Archimède
Définition :
On appelle poussée d’Archimède, notée souvent
A
Π, la résultante totale des forces de
pression exercées par un fluide en équilibre sur la paroi Σ d’un corps immergé dans ce fluide.
Théorème d’Archimède :
La poussée d’Archimède est égale à l’opposée du pois du « fluide déplacé » :
gV
corpsfluide
A
ρ−=Π .