Thermodynamique Chapitre 2 PTSI Introduction Objectif du chapitre Système étudié : fluide en équilibre (donc statique !) dans le champ de pesanteur terrestre. On s’intéresse au champ de pression au sein d’un fluide. On distingue les fluides incompressibles où ρ = cte (cas des liquides § II.), des fluides compressibles où ρ(M) (cas des gaz § III.). Le § IV. est consacré à la résultante des forces de pression sur un système quelconque immergé dans un fluide : la poussée d’Archimède. Notion d’état fluide L’état fluide regroupe l’état liquide et l’état gazeux. Gaz État dispersé et désordonné. Liquide État compact et désordonné Énergie d’interactions intermoléculaires Énergie d’agitation thermique Molécules éloignées les unes des autres : distance entre 2 molécules >> Taille molécule Nombre de molécules par unité de volume : n* ≈ 1025 m−3 Peu dense Compressible : 1 ∂V χT = − ≈ 10 −5 Pa −1 V ∂P T Molécules proches les unes des autres : distance entre 2 molécules ≈ Taille molécule Nombre de molécules par unité de volume : n* ≈ 1028 m−3 Dense (1000 × densité gaz) Peu compressible : 1 ∂V χT = − ≈ 5.10 −10 Pa −1 V ∂P T I. Pression dans un fluide en équilibre dans le champ de pesanteur Notion de pression La pression est une force par unité de surface et s’exprime en Pa dans le système international (1 Pa = 1 N.m–2). D’un point de vue local, un élément dS d’une surface Σ fermée au sein d’un fluide subit une force : dFs (Q ) = − P(Q )dS Q avec dSQ vecteur surface sortant et P(Q ) la pression au point Q. Bilan des forces Système étudié : fluide au repos, de masse m, de volume V et délimité par une surface Σ. En mécanique des fluides, il n’est pas possible de raisonner comme en mécanique du point où, par exemple, le point d’application d’une force est sans ambiguïté… Il faut donc se ramener formellement à des éléments de surface dS(M) ou de volume dτ(M) qualifiés 1 Thermodynamique Chapitre 2 PTSI « d’élémentaires » et situés au voisinage d’un point M qui constitue alors le point d’application des forces appliquées au système étudié. Σ n dS M Q × dτ On « découpe » donc les systèmes fluides en sous systèmes appelés « particule de fluide » qui est un élément de volume défini à l’échelle mésoscopique contenant un nombre suffisant de molécules pour qu’on puisse considérer le milieu comme continu et définir des grandeurs moyennes : - densité moléculaire : n*(M), - masse : dm, dm - masse volumique : ρ(M ) = , dτ - nombre de molécules contenues dans dτ(M) : dN = n*(M)× dτ(M). Bilan des forces : - Le poids du fluide, force répartie en volume. Le volume élémentaire dτ(M) subit une force : dFvol (M ) = dmg = ρ(M )dτg - La résultante des forces de pression, force répartie en surface. La surface élémentaire dS(Q) subit une force : dFs (Q ) = − P(Q )dSQ Remarques : Le fluide étant au repos, les vitesses d’ensemble du fluide et de chaque particule sont nulles. De même la résultante des forces est nulle. Le poids et la pression étant définis dans tout l’espace occupé par le fluide, on parle de champ de pesanteur (champ vectoriel) et de champ de pression (champ scalaire). Équation fondamentale de la statique des fluides Le champ de pesanteur est supposé uniforme : g = ± g e z suivant que l’axe Oz est orienté vers le haut (signe –) ou vers le bas (signe +). On démontre alors l’équation suivante, appelée « équation fondamentale de la statique des fluides » (EFSF) qui constitue un bilan local (valable en tout point M du fluide) de force volumique (force par unité de volume) : ρ(M )g − gradP (M ) = 0 . La projection de cette équation sur l’axe Oz donne : - dP = −ρgdz pour un axe Oz ascendant, - dP = +ρgdz pour un axe Oz descendant. 2 Thermodynamique Chapitre 2 PTSI Surfaces isobares Un (surface) isobare est tel que P = cte soit dP = 0. On a donc dz = 0 soit z = cte : en référentiel galiléen et dans le seul champ de pesanteur uniforme, les surfaces isobares sont les plans horizontaux. II. Fluide incompressible en équilibre Ici, on s’intéresse à un fluide tel que : ∀ M ρ(M ) = ρ = cte ou χT = − 1 ∂V V ∂P = T ∂ ln ρ ∂P =0. T Champ de pression L’intégration de l’EFSF avec Oz descendant donne : P( z ) = ρg ( z − z0 ) + P( z0 ) P ( z ) − P ( z0 ) = ρg ( z − z0 ) ∆P (h ) = ρgh . Conséquences : La surface libre d’un liquide en contact avec l’atmosphère (dont la pression est uniforme) est une surface isobare car pour un point M d’altitude z de cette surface, si P ( z ) est constant alors z = cte. La pression au sein d’un liquide dépend fortement du point considéré et on ne peut pas parler de « la pression du fluide ». Applications Expérience du tonneau de Pascal Une hauteur d’eau h de section s même faible peut provoquer une augmentation de pression non négligeable. Si h = 10 m, on a ∆P (h ) = 105 Pa soit une augmentation de 1 bar de pression par rapport à la pression atmosphérique. Vases communicants À l’échelle d’un récipient contenant un liquide, la pression atmosphérique est uniforme. La pression est donc la même pour 2 surfaces libres d’un même liquide homogène, et la dénivellation entre les 2 surfaces libres est donc nulle. Manomètres À l’inverse, la dénivellation h entre deux surfaces libres d’un liquide au repos en contact avec deux gaz de pressions différentes permet d’évaluer cette différence de pression par mesure de h. Baromètres Si l’un des gaz est l’atmosphère terrestre et l’autre est à une pression négligeable (pression de vapeur saturante de mercure à température ambiante), la mesure de h permet d’en déduire la pression atmosphérique. Le choix du mercure se justifie par son état physique liquide et son énorme masse volumique (13,6 fois celle de l’eau). III. Fluide compressible en équilibre On s’intéresse maintenant à un fluide (l’atmosphère terrestre) compressible et on cherche plus précisément à établir la loi d’évolution de la pression en fonction de l’altitude : P( z ) . 3 Thermodynamique Chapitre 2 PTSI Modèle de l’atmosphère terrestre isotherme On se place dans le cadre d’un modèle dont les hypothèses sont les suivantes : GM T GM - Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme : g = − e ≈ − 2 T ez . 2 z RT (RT + z ) - La température est supposée uniforme. - L’air est assimilé à un mélange de gaz parfaits de masse molaire M = 29 g.mol–1. Champ de pression dans l’atmosphère terrestre À partir de l’équation des GP on établit que la masse volumique d’un GP s’écrit P( z )M ρ( z ) = où M désigne la masse molaire. L’EFSF dP = −ρgdz permet alors d’établir RT dP Mg + P = 0 dont la solution est : l’ED dz RT Mg P( z ) = P0 exp − z . RT Remarques : On met en évidence une distance caractéristique de variation de pression de l’atmosphère : RT H= ≈ 8 km dans les CNTP. Mg Pour les systèmes gazeux en équilibre et de faible dimension devant H, on pourra considérer la pression comme uniforme et négliger l’influence de la pesanteur : la pression est supposée uniforme et ne dépend plus du point considéré. IV. Actions exercées par les fluides au repos Calcul de la résultante des forces de pression On cherche à calculer les composantes verticale et horizontale de la résultante des forces de pression F Σ = − P(Q )dS Q . On a démontré, en cours, les résultats suivants : Q∈Σ La composante verticale de la résultante des forces de pression sur un récipient quelconque est égale au poids du fluide. La composante horizontale de la résultante des forces de pression sur un récipient quelconque est la même pour toutes les parois latérales de même projection parallèlement à l’axe considéré. Théorème d’Archimède Définition : On appelle poussée d’Archimède, notée souvent Π A , la résultante totale des forces de pression exercées par un fluide en équilibre sur la paroi Σ d’un corps immergé dans ce fluide. Théorème d’Archimède : La poussée d’Archimède est égale à l’opposée du pois du « fluide déplacé » : Π A = −ρfluideVcorps g . 4