Chapitre 6 Les lentilles et les instruments d’optique Objectif intermédiaire 3.2 Décrire les caractéristiques d'une image formée par des systèmes optiques dont notamment la loupe, le microscope, le télescope et l'œil. Lentille convergente et divergente Une lentille convergente est une lentille avec une épaisseur plus grande au centre que sur les bords. Le foyer, situé derrière la lentille convergente, est le point où des rayons parallèles à l'axe optique se croisent après avoir traversé la lentille. Lentille divergente Lentille convergente Foyer Foyer F F f f Une lentille convergente est une lentille avec une épaisseur plus petite au centre que sur les bords. Le foyer, situé devant la lentille divergente, est le point où des rayons parallèles à l'axe optique se croisent après avoir traversé la lentille. h F’ I O F h’ h h’ FI O q q p p Un rayon incident parallèle à l'axe optique donne un rayon réfracté passant par le foyer. Un rayon incident passant par le foyer donne un rayon réfracté parallèle à l'axe optique. Un rayon incident au sommet de la lentille est réfracté sans être dévié. Formule des lentilles La formule des lentilles permet de trouver la position d'une image lorsqu'un objet est placé devant une lentille mince; soit 1 1 1 + = p q f Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique p q f où et Page C6-2 est la distance de l'objet en mètres, est la distance de l'image en mètres est la distance focale en mètres. Par convention de signe, on a et q q f f <0: >0: image devant la lentille et donc virtuelle, image derrière la lentille et donc réelle, >0: lentille convergente <0: lentille divergente. La dimension de l'image peut être plus grande ou plus petite que la dimension de l'objet. Le grandissement donne le rapport de dimension entre l'image et l'objet; soit γ= où et γ h′ h h′ h est le grandissement, est la grandeur de l'image en mètres est la grandeur de l'objet en mètres. On montre, par géométrie, que le grandissement donne aussi le rapport de distance de l'image à la lentille et de l'objet à la lentille; soit γ= où et γ h′ h p q h′ q =h p est le grandissement, est la grandeur de l'image en mètres, est la grandeur de l'objet en mètres, est la distance de l'objet en mètres est la distance de l'image en mètres. Par convention de signe, on a et γ >0: γ <0: image droite image renversée. 1. Un objet se trouve à 15 cm devant une lentille convergente ayant une distance focale de +5 cm. La grandeur de l'objet est de 2 cm. a) Tracez trois rayons lumineux entre l’objet et l’image. b) Quelle est la position de l’image ? c) Quelle est la grandeur de l’image ? Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-3 d) L'image est-elle réelle ? e) L'image est-elle renversée ? f) Quel est le grandissement ? 2. Un objet se trouve à 20 cm devant une lentille divergente ayant une distance focale de -5 cm. La grandeur de l'objet est de 1 cm. a) Tracez trois rayons lumineux entre l’objet et l’image. b) Quelle est la position de l’image ? c) Quelle est la grandeur de l’image ? d) L'image est-elle réelle ? e) L'image est-elle renversée ? f) Quel est le grandissement ? Formule des opticiens La distance focale d'une lentille se calcule avec la formule des opticiens; soit 1 1 1 = ( n - 1 ) f R1 R 2 où f n et R1 , R2 est la distance focale en mètres, est l'indice de réfraction dans la lentille re e sont les rayons de courbure de la 1 et de la 2 face en mètres. La lentille est fabriquée généralement en verre et est généralement employée dans de l'air. La formule des opticiens est une approximation; elle doit être employée pour des lentilles minces dans de l'air seulement. Par convention de signe, le rayon de courbure est positif si le centre de courbure de la face est derrière la lentille; soit et R <0: R >0: centre de courbure devant la lentille centre de courbure derrière la lentille. re 3. Une lentille en verre possède une 1 surface concave ayant un rayon de courbure de -4 cm et e une 2 surface concave ayant un rayon de courbure de -12 cm. a) Quelle est la distance focale de la lentille ? b) La lentille est-elle convergente ou divergente ? Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-4 Loupe h Une loupe sert à grossir de petits objets situés à de petites distances. Elle est constituée d'une lentille convergente. L'objet est généralement placé au foyer de la loupe pour un meilleur confort visuel. θ 25 cm Note : Sans loupe, l’objet est observé sous un angle θ si l’objet est tenu à 25 cm de distance. La loupe grossira un objet si un observateur le voit sous un angle plus grand au travers de la loupe. Pour un objet de petite taille situé à une distance de 25 cm, l'angle sous-tendu par un objet est θ= où et h 0,25 θ h est l'angle sous-tendu par un objet à 25 cm en radians est la grandeur de l'objet en mètres. Lentille Note : L’image est observée convergente dans la direction θ’ au travers le centre Avec la loupe, l'angle sous-tendu par l'image d'un h’ de la loupe. petit objet est h θ′ = h′ h = q p θ’ p q où et θ′ h , h′ p ,q est l'angle sous-tendu par l'image en radians, sont les grandeurs de l'objet et de l'image en mètres sont les distances de l'objet et de l'image à la loupe en mètres. Le grossissement d'un instrument d'optique est défini par G= où et G θ′ θ θ′ θ est le grossissement, est l'angle sous-tendu par l'image en radians est l'angle sous-tendu par un objet à 25 cm en radians. Le grossissement d'une loupe est donné par h θ′ = p θ′ 0,25 ⇒ G= = p θ θ= h 0,25 f Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique où et θ′ h p θ G Page C6-5 est l'angle sous-tendu par l'image en radians, est la grandeur de l'objet en mètres, est la distance de l'objet en mètres, est l'angle sous-tendu par un objet à 25 cm en radians est le grossissement. Lentille convergente Si l'objet est placé au foyer de la loupe, on a p = f et une image située à l'infini. Le grossissement, dans ce cas particulier, est ⇒ et p f Gcom q p=f q=∞ h 0,25 p = f ⇒ G com = f ( q=∞ ) où Note : θ’ f f est la distance de l'objet en mètres, est la distance focale en mètres, est le grossissement commercial de la loupe pour l'image à l'infini est la distance de l'image en mètres. Note: Plus la distance focale est courte, plus le grossissement commercial est grand. 4. Une loupe ayant une distance focale de 6 cm est placée devant la surface d'une feuille couverte de petits caractères alphanumériques ( et de symboles mathématiques ! ) ayant une grandeur de 2 mm. a) Quel est l'angle sous-tendu par les caractères, sans la loupe, à une distance de 25 cm ? b) Quel est le grossissement de la loupe placée à 4 cm devant la feuille ? c) Quelle est l'angle sous-tendu par les caractères avec la loupe placée à 4 cm devant la feuille ? d) Quel est le grossissement de la loupe placée à 6 cm devant la feuille ? e) Quelle est l'angle sous-tendu par les caractères avec la loupe placée à 6 cm devant la feuille ? Microscope Objectif Le microscope sert à observer de petits objets rapprochés. Il est constitué de deux lentilles. L'objet re est placé un peu devant le foyer de la 1 lentille e appelée objectif. La 2 lentille appelée oculaire sert à observer l'image formée par l'objectif. L'oculaire peut augmenter le grossissement du microscope si l'image formée par l'objectif est derrière le foyer de l'oculaire. Oculaire θ’ h hob hoc pob fob qob qoc poc foc Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique La formule des lentilles minces appliquée à l'objectif donne 1 1 1 = + p ob q ob f ob où et p ob q ob f ob est la distance de l'objet à l'objectif en mètres, est la distance de l'image à l'objectif en mètres est la distance focale de l'objectif en mètres. La formule des lentilles minces appliquée à l'oculaire donne 1 1 1 = + p oc q oc f oc et p oc q oc f oc Note: L'image formée par l'objectif sert d'objet pour l'oculaire. où est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est la distance de l'image observée à l'oculaire en mètres est la distance focale de l'oculaire en mètres. Le grossissement du microscope est donné par hob θ′ = p θ′ h 0,25 oc G = = ob θ poc h h ⇒ θ= 0,25 = - qob h 0,25 = - qob 0,25 qob pob poc h pob p oc h hob = pob où et θ′ hob p oc θ h q ob p ob G est l'angle sous-tendu par l'image en radians, est la grandeur de l'image formée par l’objectif en mètres, est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est l'angle sous-tendu par un objet à 25 cm en radians est la grandeur de l'objet en mètres, est la distance de l'image à l'objectif en mètres est la distance de l'objet à l'objectif en mètres, est le grossissement. Page C6-6 Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-7 Note: L'image dans l'oculaire est plus facile à observer lorsque située à l'infini. Une image observée à l'infini ne demande aucun effort d'accommodation de la part de l'œil de l'observateur. Ceci est obtenu re lorsque l'image formée par l'objectif (la 1 image) se trouve au foyer de l'oculaire. Oculaire Objectif poc = foc qoc = ∞ ⇒ La distance entre les deux foyers dans le microscope est appelée longueur optique. La longueur optique sert à établir une relation simple; soit θ’ L h hob fob pob qob poc foc qob qob L + f ob qob = L + f ob 1+ p = f = f ob ob ob 1 1 ⇒ 1 q +p = f qob = L + f ob - 1 = L ob ob ob pob f ob f ob où et q ob L f ob p ob est la distance de l'image à l'objectif en mètres, est la longueur optique du microscope en mètres, est la distance focale de l'objectif en mètres est la distance de l'objet à l'objectif en mètres. Si l'image formée par l'objectif (la 1 re image) est au foyer de l'oculaire, on a p oc = f oc et l'image formée par e l'oculaire (la 2 image) est formée à l'infini. Le grossissement du microscope, dans ce cas, est poc = f oc qob 0,25 L 0,25 = ( qoc = - ∞ ) ⇒ G com = f ob f oc pob p oc q L ob = pob f ob où et p oc f oc q oc q ob L f ob p ob Gcom est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est la distance focale de l'oculaire en mètres, est la distance de l'image observée à l'oculaire en mètres, est la distance de l'image à l'objectif en mètres, est la longueur optique du microscope en mètres, est la distance focale de l'objectif en mètres, est la distance de l'objet à l'objectif en mètres est le grossissement commercial. Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-8 5. Un microscope possède un objectif ayant une distance focale de +0,2 cm et un oculaire ayant une distance focale de +3 cm. La distance entre les deux lentilles est de 7 cm. Un petit objet ayant une grandeur de 0,01 cm est placé à 0,21 cm devant l'objectif. a) Quelle est la position de l'image formée par l'objectif du microscope ? b) Quelle est la position de l'image observée dans l'oculaire du microscope ? c) Quelle est la grandeur de l'image observée dans l'oculaire du microscope ? d) Quel est le grossissement du microscope ? 6. Un microscope possède un objectif ayant une distance focale de +0,2 cm et un oculaire ayant une distance focale de +2,5 cm. La distance entre les deux lentilles est de 8,2 cm. L'image observée dans le microscope est située à l'infini. L'objet possède une grandeur de 0,01 cm. a) Quelle est la position de l'image formée par l'objectif du microscope ? b) Quelle est la position de l'objet devant le microscope ? c) Quelle est la grandeur de l'image formée par l'objectif du microscope ? d) Quel est le grossissement commercial du microscope ? Lunette astronomique Oculaire qob= fob La lunette astronomique sert à observer des objets éloignés. Elle est constituée de deux lentilles re convergentes. La 1 lentille est appelée objectif et la e 2 lentille est appelée oculaire. Pour un objet qui n'est pas situé à l'infini, l'oculaire peut augmenter le grandissement de la lunette astronomique si l'image formée par l'objectif est derrière le foyer de l'oculaire. Objectif θ hoc Note: pob = ∞ ⇒ qob = fob La formule des lentilles minces appliquée à l'objectif donne 1 1 1 = + p ob qob f ob où et p ob q ob f ob est la distance de l'objet à l'objectif en mètres, est la distance de l'image à l'objectif en mètres est la distance focale de l'objectif en mètres. La formule des lentilles minces appliquée à l'oculaire donne 1 1 1 = + p oc q oc f oc θ’ hob poc qoc foc Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique où et p oc q oc f oc Page C6-9 est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est la distance de l'image observée à l'oculaire en mètres est la distance focale de l'oculaire en mètres. Note: La distance focale de l'objectif est la majeure distinction entre le microscope et la lunette astronomique. Le grossissement de la lunette astronomique est donné par où et θ′ hob p oc θ q ob G | hob | θ′ = - p q | h | qob θ′ oc ⇒ G = = - ob = - ob θ poc poc | hob | θ = | hob | qob est l'angle sous-tendu par l'image en radians, est la grandeur de l'image formée par l’objectif en mètres, est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est l'angle sous-tendu par un objet à 25 cm en radians est la distance de l'image à l'objectif en mètres est le grossissement. Note: Le signe négatif indique que l'image est renversée. Cette relation est une approximation pour des rayons ne s'écartant pas trop de l'axe optique. Puisque généralement les objets sont situés à l'infini, on a qob = f ob ⇒ G = où et q ob f ob G p oc p oc qob f = - ob poc poc ( pob = ∞ ) est la distance de l'image à l'objectif en mètres, est la distance focale de l'objectif en mètres, est le grossissement, est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres. Note: pob = ∞ , qob = fob, poc = foc et qoc = ∞ L'image dans l'oculaire est plus facile à observer lorsque située à l'infini. De plus, les objets devant l'objectif sont souvent situés à l'infini. Pour observer, sans effort d'accommodation, dans l'oculaire des objets situés à l'infini, la distance entre les lentilles doit être la somme des distances focales de l'objectif et de l'oculaire. poc= foc qob= fob θ Objectif θ’ hob Oculaire foc Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-10 re Si l'image formée par l'objectif (la 1 image) est au foyer de l'oculaire, on a p oc = f oc et l'image formée par e l'oculaire (la 2 image) est formée à l'infini. Le grossissement de la lunette astronomique, dans ce cas, est poc = f oc ⇒ G com = - f ob f = - ob p oc f oc ( q oc = ∞ ) où et p oc f oc Gcom f ob q oc est la distance de l'image précédente à l'oculaire en mètres, est la distance focale de l'oculaire en mètres, est le grossissement commercial, est la distance focale de l'objectif en mètres est la distance de l'image observée à l'oculaire en mètres. 7. Une lunette astronomique possède un objectif ayant une distance focale de +1,2 m et un oculaire ayant une distance focale de +12 cm. La distance entre les deux lentilles est de 1,48 m. Un objet ayant une grandeur de 10 cm est placé à une distance de 8,4 m devant l'objectif. a) Quelle est la position de l'image formée par l'objectif de la lunette astronomique ? b) Quelle est la position de l'image observée dans l'oculaire de la lunette astronomique ? c) Quelle est la grandeur de l'image observée dans l'oculaire de la lunette astronomique ? d) Quel est le grossissement de la lunette astronomique ? 8. Une lunette astronomique possède un objectif ayant une distance focale de +1,5 m et un oculaire ayant une distance focale de +5 cm. La distance entre les deux lentilles est de 1,55 m. L'objet et l'image sont situés à l'infini. La direction de l'objet est de 0,1° par rapport à l'axe optique de la lunette astronomique. a) Quelle est la grandeur de l'image formée par l'objectif de la lunette astronomique ? b) Quelle est la direction de l'image observée dans l'oculaire de la lunette astronomique ? Télescope qob = fob Comme la lunette astronomique, le télescope sert à observer des objets éloignés. Le principe du télescope est légèrement différent de celui de la lunette astronomique car l'objectif est constitué par un miroir concave. Objectif Note: pob = ∞ , qob = fob, poc = foc qoc = ∞ Oculaire poc= foc foc Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-11 Les objets situés à l'infini forment une image au foyer de l'objectif. Un oculaire permet alors d'observer les objets dans le télescope. Puisque le foyer de l'objectif est situé devant l'objectif, un miroir plan est placé en biseau afin que l'oculaire soit sur le côté du télescope. Ainsi, l'observateur ne bloque pas la lumière venant des objets observés. 9. Un télescope possède un miroir sphérique ayant une rayon de courbure de 6 m et un oculaire ayant une distance focale de +4 cm. L'objet et l'image sont situés à l'infini. La direction de l'objet est de 0,1° par rapport à l'axe optique de l'objectif. a) Quelle est la grandeur de l'image formée par l'objectif du télescope ? b) Quelle est la direction de l'image observée dans l'oculaire du télescope ? L'œil normal L'œil est un système optique où le cristallin et la cornée agissent comme lentilles et la rétine agit comme écran. La distance focale de ce système doit s'ajuster en fonction de la distance des objets pour que les images perçues soient nettes sur la rétine. Dans ce but, la courbure du cristallin est modifiée par l'action des muscles ciliaires. Pour l'œil normal (moyen) la rétine est à 2 cm du cristallin. Le punctum remotum est la distance des objets jusqu'à laquelle on peut éloigner un objet et en percevoir une image nette. Le punctum remotum de l'œil normal est à l'infini. Pour un objet situé au punctum remotum de l'œil normal, on a où et 1 1 1 p+q= f P.R . p=∞ ⇒ f P . R . = 2 cm q = 2 cm p est la distance de l'objet en mètres, q est la distance de l'image en mètres f P.R . est la distance focale au punctum remotum en mètres. Le punctum proximum est la distance des objets jusqu'à laquelle on peut rapprocher un objet et en percevoir une image nette. Le punctum proximum de l'œil normal est à 25 cm. Pour un objet situé au punctum proximum de l'œil normal, on a 1 1 1 p+q= f P.P. p = 25 cm ⇒ f P . P . = 1,85 cm q = 2 cm P. Remotum normal p= ∞ Œil normal q= 2 cm P. Proximum normal Œil normal p= 25 cm q= 2 cm Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique où p q et f P.P. Page C6-12 est la distance de l'objet en mètres, est la distance de l'image en mètres est la distance focale au punctum proximum en mètres. La convergence d'une lentille est définie comme l'inverse de la distance focale; soit C= où et C f 1 f est la convergence en dioptries est la distance focale en mètres. Le système cornée et cristallin possède une distance focale variable. L'amplitude d'accommodation est la variation de convergence du système cornée et cristallin lorsqu'un objet est déplacé entre le punctum proximum et le punctum remotum. Pour un œil normal, on a AA = C max - C min = où et 1 f P.P. - 1 f P.R . AA C max est l'amplitude d'accommodation en dioptries, est la convergence maximale en dioptries, C min f P.P. f P.R . est la convergence minimale en dioptries, =4 D est la distance focale au punctum proximum en mètres est la distance focale au punctum remotum en mètres. 10. Une personne possède son punctum proximum à 20 cm et son punctum remotum à 25 m. a) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum proximum ? b) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum remotum ? c) Quelle est l'amplitude d'accommodation en dioptries ? L'œil presbyte P. P normal Œil presbyte La presbytie est un trouble qui survient lorsque les muscles ciliaires n’augmentent pas suffisamment la courbure du cristallin pour des objets rapprochés. Le punctum proximum d'un presbyte est trop grand. Pour un objet placé à 25 cm devant l'œil d'un presbyte, l'image se forme derrière la rétine. p= 25 cm Image derrière la rétine Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-13 Image au P.P. presbyte Objet au P.P. normal Une lentille correctrice convergente peut être placée devant l'œil afin que l'objet situé à 25 cm donne une image virtuelle située au punctum proximum de l'œil presbyte. L'image virtuelle est vue au travers la lentille correctrice et le cristallin en forme une image sur la rétine. p= 25 cm q <0 Œil presbyte Lentille correctrice convergente 11. Un œil presbyte possède un punctum proximum de 75 cm. a) Quelle puissance (convergence) de lentille correctrice lui faut-il pour corriger sa presbytie ? b) Sa lentille correctrice est-elle convergente ou divergente ? c) Que devient son punctum proximum avec une lentille correctrice de +3 D ? 12. Une presbytie requiert une lentille correctrice de +3 D. L'amplitude d'accommodation des yeux est de +2 D. a) Quel est le punctum proximum de cet œil presbyte ? b) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum proximum ? c) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum remotum ? P. R. normal Œil myope L'œil myope La myopie est un trouble qui survient lorsque les muscles ciliaires ne réduisent pas suffisamment la courbure du cristallin pour des objets éloignés. Le punctum remotum est trop petit. Pour un objet placé à l'infini devant l'œil d'un myope, l'image se forme devant la rétine. p= ∞ Objet au P. R. normal Image devant la rétine Image au P. R. Œil myope myope Une lentille correctrice divergente peut être placée devant l'œil afin que l'objet situé à l'infini donne une image virtuelle située au punctum remotum de l'œil myope. L'image virtuelle est vue au travers la lentille correctrice et le cristallin en forme une image sur la rétine. p= ∞ q <0 Lentille correctrice divergente Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-14 13. Un œil myope possède un punctum remotum de 1,5 m et un punctum proximum de 10 cm. a) Quelle puissance (convergence) de lentille correctrice lui faut-il pour corriger sa myopie ? b) Sa lentille correctrice est-elle convergente ou divergente ? c) Que devient son punctum proximum avec la lentille correctrice précédente ? 14. Une myopie requiert une lentille correctrice de -1 D. L’amplitude d’accommodation des yeux est de +2 D. a) Quel est le punctum remotum de cet œil myope ? b) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum remotum ? c) Quelle est la distance focale du système cornée et cristallin pour un objet placé au punctum proximum ? Solutions 1. a) 2. a) 2 cm F’ I O F 1 cm 1 cm 0,2 cm O F’ F I 4 cm 7 cm 15 cm b) 20 cm c) +7,5 cm d) e) oui f) b) -1 cm c) -4 cm d) oui non f) -½ +0,2 a) -12 cm b) divergente a) 0,008 rd b) 6,25 c) 0,05 rd d) 4,167 e) 0,033 rd a) 4,2 cm derrière l'objectif b) 42 cm devant l'oculaire c) -3 cm d) -179 a) 5,7 cm derrière l'objectif b) 0,207 273 cm devant l'objectif c) -0,275 cm d) -275 7. a) 1,4 m derrière l'objectif b) 24 cm devant l'oculaire c) -5 cm d) -17,5 8. a) -0,833π mm b) -3° 9. a) -0,167π cm b) -7,5° 10.a) 1,818 cm b) 1,998 cm c) 4,950 D 11.a) +2,667 D b) convergente c) 23,08 cm 12.a) 100,0 cm b) 1,961 cm c) 2,041 cm 13.a) -0,6667 D b) divergente c) 10,7 cm 14. a) 100,0 cm b) 1,961 cm c) 1,887 cm 3. 4. 5. 6. +0,2 cm e) non Chapitre 6: Les lentilles et les instruments d’optique Page C6-15