Leon 2 - loirecambodge

Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Leçon 2 . LE CIRCUIT RC
Rappels
-
Les conventions en électricité
On choisit un sens positif du courant (flèche de i) et on lui associe la tension aux
bornes du dipôle D (flèche de u).
Deux choix de convention sont possibles :
D
i
convention récepteur : les deux flèches sont de sens
opposé
u
i
convention générateur : les deux flèches sont de même
sens
D
u
-
Les notations en électricité
Les majuscules représentent des grandeurs constantes comme Q, U, I
Les minuscules représentent des grandeurs instantanées, grandeurs variant au cours du
temps, comme q, u, i
-
Conseils pour résoudre un problème d'électricité
représenter le circuit
choisir le sens de l'intensité représentée par une flèche sur le conducteur
flécher les tensions en les accompagnant d'un symbole
Exercice 1 : charge d'un condensateur à courant constant
Un condensateur de capacité C est chargé par un générateur de courant. L'intensité I du
courant est constante et égale à 0,14 mA. Quand la charge commence, la tension UAB aux
bornes du condensateur est nulle. Après une durée de charge T = 10 s, UAB = 0,64 V.
Calculer C
Q -Q
+
+
A
-
UAB B
Relation entre la capacité C du condensateur et la charge : C =
QA
U AB
0,14.10−3×10
C=
C = 2,2.10-3 F
C = IT
U AB
0,64
Pour décharger le condensateur, il suffit de déconnecter le générateur et de relier les
armatures du condensateur par un fil conducteur. Alors UAB→0
Pendant la charge, le condensateur se comporte comme un récepteur ; pendant la
décharge, il se comporte comme un générateur.
QA = I T
62
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Exercice 2 : où est passée l'énergie ?
Un condensateur de capacité C = 10 µF est chargé sous une tension U = 50 V. Il est
déconnecté du circuit de charge puis ses armatures sont reliées à celles d'un condensateur
de capacité C' = 2C initialement déchargé et isolé.
Les condensateurs prennent alors des charges Q1 et Q'1 sous une même tension U'.
1. Exprimer Q1 et Q'1 en fonction de U'.
2. En déduire U' en fonction de U, C et C'.
3. Calculer U', Q1 et Q'1.
4. Quelle est l'énergie initiale du condensateur de capacité C ? Quelle est l'énergie finale
de l'ensemble ? Commenter.
________________________
Q -Q
Condensateur en fin de charge, une fois déconnecté :
+
+
Q = CU
U
Association des 2 condensateurs :
L'état d'équilibre est atteint, l'intensité dans les fils
de connexion est nulle.
Q1
-Q1
+
+
-
U'
Q'1 -Q'1
+
1. Q1 = CU' et Q'1 = C'U'
+
2. Au cours de l'association, le condensateur de
capacité C se décharge partiellement dans le
condensateur de capacité C' sans perte de charge : Q = Q1 + Q'1
U' = C U
CU = CU' + C'U' = U'(C+C')
C+ C '
U' = U
U' = C U
U' = 50
U' = 17 V
3. C' = 2C
3
3
3C
10.10−6×50
Q1 =
Q1 = CU
Q1 = CU'
Q1 = 1,7.10-4 C
3
3
Q'1 = 3,3.10-4 C
Q'1 = C'U' = 2CU' = 2Q1
4. Energie initiale du condensateur de capacité C : E1
E1 = 1,3.10-2J
E1 = 1 CU2 E1 = 1 ×10.10-6×502
2
2
Energie finale de l'ensemble : E2
E2 = 1 (C+C')U'2
E2 = 1 CU'2 + 1 C'U'2
2
2
2
2
CU 2
E 2 = E1 E2 = 4,2.10-3 J
E2 = 1
U' = U
E2 = 1 (3C) U
3
3
2
3
2 3
La perte d'énergie provient de la dissipation par effet Joule dans les fils de jonction,
lors de la réunion des 2 condensateurs.
()
63
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Exercice 3 : Charge d’un condensateur
Pour charger un condensateur de capacité C = 1 µF, on réalise un circuit série orienté dans
le sens indiqué sur la figure ci-dessous et comprenant :
i
P
N
K
R
C
A
B
- un générateur, de résistance interne nulle, délivrant une tension constante UPN = E ;
- un conducteur ohmique de résistance R ;
- le condensateur initialement déchargé ;
- un interrupteur K .
A l'instant choisi comme origine des temps (t = 0), on ferme K. Les variations de la charge
q = qA de l'armature A du condensateur sont données par la courbe suivante (la tangente à
cette courbe à l'instant t = 0 a également été tracée).
1. Vers quelle valeur tend uAB quand t → ∞ ? En déduire, en s'aidant de la courbe, la
valeur numérique de E.
2. Montrer que l'intensité i0 du courant à la date t = 0 (début de la charge) vaut i0 = E .
R
3. a) Pourquoi peut-on affirmer que l'intensité du courant dans le circuit, à un instant de
date t quelconque, est donnée par le coefficient directeur de la tangente au point de la
courbe d'abscisse t ?
b) En utilisant la remarque du a) :
déterminer la valeur numérique de i0. En déduire la valeur numérique de R.
justifier, en s'aidant du graphique, l'évolution de i en fonction du temps.
4. Déterminer, à partir de la courbe, les valeurs numériques de uAB, uPN et i, à l'instant de
date t = 10-2 s. En déduire l'énergie stockée dans le condensateur à cet instant.
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Chapitre 3 Oscillations
i
1. Pour t → ∞ , le condensateur est chargé. Le
courant ne passe plus : uR = 0 ;
uAB = uPN = E
Leçon 2 Circuit RC
N
P
uPN
K
uR
A
uAB
B
Sur la courbe on lit qA = 10-5 C
qA
qA
E=
q en C, C en F,
uAB =
C
C A
E en V
10−5
E = 10 V
E = −6
10
2. A t = 0 , le condensateur n'est pas
chargé : uAB = 0
donc uPN = E = Ri0
i0 = E
R
E en V, R en Ω, i0 en A
dq A
dt
mathématiquement i est la dérivée de qA = f(t). Elle est donnée par le coefficient directeur
de la tangente à la courbe au point d'abscisse t
⎛ dq A ⎞
b) A t = 0 i = i0 i0 = ⎜
⎟
⎝ dt ⎠0
point M de la tangente de coordonnées t = 10-2 s, qA = 10-5 C
10−5
q M −q0
i0 = − 2
i0 = 1.10-3 A
i0 = 1 mA
i0 =
t M −t 0
10
3. a) A une date t quelconque, on peut écrire la relation charge-intensité : i =
i0 = E
R= E
R = 10−3
R = 104 Ω
R = 10 kΩ
R
i0
10
Quand t augmente le coefficient directeur de la tangente à la courbe qA = f(t) décroît, donc
i décroît. Pour t → ∞ , i → 0
5. A la date t = 10-2 s, point P de la courbe qA = f(t), on lit qA = 6.10-6 C
6.10−6
qA
uAB =
uAB = 6 V
uAB =
C
10−6
uPN = E
uPN = 10 V
u
E − u AB
PN −u AB
i = 4.10-4 A
i = uR
i=
i=
i = 10−46
R
R
R
10
Energie stockée dans le condensateur à cette date : E = 1 C.uAB2 C en F, uAB en V,
2
-6
2
1
E en J
E = ×10 ×(6)
E = 1,8.10-5 J
2
65
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Exercice 4 : étude de la décharge d'un condensateur
Le montage ci-contre permet
d'étudier l'évolution de la
tension aux bornes d'un
condensateur de capacité C en
série avec une résistance R.
Le commutateur (interrupteur à
plusieurs positions) a deux
E
positions possibles repérées
par 1 et 2. Une interface, reliée
à un ordinateur, permet de
saisir les valeurs instantanées
de cette tension uC.
Donnée:
E=5,0V.
uR
1
i
R
2
A
C
uc
B
Initialement, le commutateur est depuis longtemps en position 2 et le condensateur est déchargé.
I Dès lors, comment faut-il manipuler le commutateur pour obtenir la courbe du document 1 cidessous donnant l’évolution de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction du temps ?
6
UC en
volts
5
4
3
Document 1
2
1
0
00
020
,02
0,04
0,06
0,08
0,1
100
0,12
1. En respectant les conventions d’orientation du schéma du circuit:
a)
préciser le signe de l’intensité i du courant de décharge.
b)
Écrire la relation entre l’intensité i du courant et la tension uR
c)
Écrire la relation entre la charge q de l’armature A du condensateur et la
tension uC
d)
Écrire la relation entre l’intensité i et la charge q
e)
Écrire la relation entre les tensions uR et uC lors de la décharge
66
0140
,14
0,16 t en ms
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
2 . En déduire que, lors de la décharge, l’équation différentielle vérifiée par la tension uC est
1 du
de la forme uC + . C = 0
α dt
1
3. identifier le rapport
α
4. ce rapport est appelé constante de temps τ du dipôle RC.
En recherchant son unité, justifier son appellation
III La solution de l’équation différentielle précédemment établie est de la forme
uC = E.e-αt
1. la tension uC est exprimée en volts.Etablir l’expression du logarithme népérien de sa valeur
notée ln uC
on rappelle que ln ab= ln a + ln b ; ln ax = x . ln a ; ln e = 1
2. on a tracé à l’aide d’un logiciel, la courbe représentatn ln uC en fonction du temps
ln uC = - 45,5t + 1,61
ln uC
2
1
0
t en ms
20
-1
-2
Document 2
a) montrer que l’allure de cette courbe est en accord avec l’expression obtenue en 3.1
b) avec laquelle des trois valeurs proposées pour la constante de temps τ, les résultats de la
modélisation vous semblent-ils en accord ?
τ = 0,46 ms ;
τ= 2,2 ms ;
τ =22 ms
IV le logiciel permet de créer deux nouvelles grandeurs :
u
p = 100 C représentant le pourcentage de charge restant à la date t.
E
t
n = at = représentant la durée de la décharge en unité de constante de temps(c’est à dire
τ
quand t = τ, n = 1 ; t = 2τ , n = 2 etc…)
67
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
la courbe du document 3 représente p en fonction de n
1. pour n = 1 déterminer graphiquement le pourcentage de charge restante
2. pour quelle valeur de n, la décharge peut-elle être considérée comme terminée ?
3. quelle est la durée minimale pendant laquelle le commutateur doit rester dans la position
convenable pour que la charge du condensateur puisse être considérée comme totale ?
p en %
100
80
60
40
20
0
0
0,02
1
0,04
0,06
0,08
0,1
5
0,12
0,14n
0,16
sans
unité
Document 3
_________________________
CORRIGE
Question I On place le commutateur en position 1 : le condensateur se charge, puis on place
le commutateur en position 2 : le condensateur se décharge (document 1)
Question II 1. a) qA = C uAB i =
dq A
le condensateur se décharge dqA < 0 donc i < 0
dt
1. b) q = C . uC
1. c) uR=Ri
dq
1. d) i =
dt
1. e) q = CuC
i=
dq
= C du C
dt
dt
uR = Ri
68
uR = R C du C
dt
Chapitre 3 Oscillations
2 et 3. uR = - uC
1
. α
4.
= RC
-uC = R C du C
dt
Leçon 2 Circuit RC
uC + R C du C = 0
dt
uC + 1 du C = 0
α dt
C s’esprime en AV-1
R s’exprime en VA-1
τ s’exprime en A.V-1.s.V.A-1 soit en seconde, d’où l’expression “constante de temps”
Question III
1. uC = E.e-αt
ln uC= lnE+lne-αt
lnuC =lnE - αt
2. a) La courbe ln(uC) = f(t) est une droite d'équation lnuC= at +b ; si b = lnE et a = -α on
retrouve l'expression précédente.
b) α est l’opposé du coefficient directeur de la droite a
1 = 22 ms
α = 45,5 soit 1 = 22.10-3 s
τ = 22 ms
α
α
Question IV
1 n=1
t=τ
uC =E.e-1 = 0,37.E
ρ = 37%
graphiquement, ρ est voisin de 40%
2.pour n =5 on peut considérer que uC = 0
t= 5.τ uC = E.e-5 = 0,007
ρ = 0,7%
3. En considérant le temps de charge égal à celui de la décharge : n=6 t= 6.τ
uC = E.e-5 = 0,0025
ρ = 0,25% la charge est effective à 99,7%
69
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Exercice 5 : étude expérimentale de la charge et de la décharge du condensateur
Réaliser le circuit suivant avec R = 9,8 kΩ et C = 100 nF
B
Voie A
R
u
GBF
Voie B
A
C
uC
M
Le GBF délivre une tension en créneaux qui prend les valeurs 0 puis 6 V avec une fréquence
f = 125 Hz.
Indiquer le choix de sensibilités verticale et horizontale qui permettra d'obtenir des courbes
lisibles et dessiner ce que l'on pourra observer sur l'écran.
Déterminer la constante de temps τ du dipôle RC, en mesurant la durée après laquelle
uC = 0,63 U dans la phase de charge du condensateur (U = 6 V).
Remplacer le condensateur de 100 nF par un condensateur de 47 nF. Comment évolue τ ?
Remplacer le conducteur ohmique de 9,8 kΩ par un conducteur ohmique de 47 kΩ .
Comment varie τ ?
Parmi les expressions suivantes quelle est celle qui est acceptable ?
; τ = C ; τ = RC
τ= R
C
R
Effectuer une analyse dimensionnelle sur la relation choisie.
Proposer un protocole pour déterminer la capacité C d'un condensateur inconnu.
________________________
Sur la voie A, on observe u, tension aux bornes du GBF
Sur la voie B, on observe uC, tension aux bornes du condensateur.
Sensibilité verticale : 2 V/division
70
Chapitre 3 Oscillations
Leçon 2 Circuit RC
Sensibilité horizontale : f = 125 Hz ; T = 1 ; T = 8 ms ; avec le balayage 1 ms/division,
f
une période s'étale sur 8 carreaux.
0,63 U = 0,63×6 = 3,8 V Sur l'oscilloscope, on lit τ = 1 ms
Si on remplace le condensateur de 100 nF par C = 47 nF, τ diminue.
Avec C = 100 nF et R = 47 kΩ τ augmente, on lit τ = 4,7 ms
τ = RC est l'expression qui convient τ = 47.103×100.10-9
Analyse dimensionnelle : τ = RC
Q
Q Q
; RC = U × = = t
R= U ; C=
I
U
I U I
RC a bien la dimension d'un temps et s'exprime en secondes
τ = 4,7 ms
Pour déterminer la capacité d'un condensateur inconnu, on réalise le montage de ce TP avec
une résistance de valeur connue. On mesure la constante de temps et on en déduit la valeur de
C : C= τ
R
_________________________________________
71