Chapitre 9 Transferts thermiques

Chapitre 9
Transferts thermiques
Introduction
Jusqu'à présent, nous n'avons considéré un flux de chaleur qu'au travers des effets qu'il
pouvait avoir sur l'énergie interne, l'enthalpie ou l’entropie d'un système thermodynamique.
Indépendamment de cet aspect qui est relatif aux bilans et aux principes de la
Thermodynamique, on peut étudier la façon dont s'établit un flux de chaleur et en déduire une
expression de ce dernier. C'est l'objectif de ce chapitre introductif aux Transferts thermiques.
On distingue classiquement trois modes de transport de l'énergie thermique :
• la conduction ;
• la convection ;
• le rayonnement.
Nous n'étudions ici que les deux premiers modes de transfert.
1. La conduction
La conduction est un mode de transport qui se produit au sein de la matière immobile au
niveau macroscopique. Il s'agit d'un phénomène de propagation analogue à la conduction de
l'électricité. Il est donc plus facile d'envisager le phénomène de conduction dans le cas des
solides, cependant celle-ci se produit aussi dans les gaz et les liquides. Pour ces phases
fluides, la conduction est en général accompagnée de mouvements internes, appelés
convectifs, qui rendent l'étude du phénomène conductif plus difficile expérimentalement. Ces
mouvements sont dus aux différences de masse volumique engendrées par les différences de
températures : les portions de fluide chaud ont alors tendance à s'élever comme le fait une
Montgolfière, sous l'effet des forces d'Archimède.
1.1. Mise en contact de deux corps à températures différentes
Nous avons déjà considéré cette situation plusieurs fois. Lorsqu'on met en contact deux
corps isolés solides à températures différentes, on constate que ces dernières tendent à devenir
égales : c'est l'équilibre thermique.
U1, T1
U2, T2
Figure 9.1 : Mise en contact de deux solides en déséquilibre thermique.
Cours rédigé par Christian Jallut, Professeur de Génie des Procédés à l’Université Lyon I
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Le système étant globalement isolé, son énergie interne totale U1 + U2 reste constante au cours
du processus. Il y a simplement transfert d'énergie d'un corps vers l'autre, ce transfert cessant
lorsque l'équilibre est atteint. Si maintenant on souhaite aller plus loin dans la description et
calculer par exemple l'évolution temporelle des températures T1 et T2, la simple écriture du
bilan d'énergie U1 + U2 = cte ne suffit pas si on ne se donne pas une représentation
indépendante du flux de chaleur qui transite entre les deux corps.
1.2. Propagation de la chaleur dans une barre métallique
Si on met au contact d'une flamme à température élevée l'extrémité d'une barre
métallique (cf. figure 9.2), on constate que la température de l'autre extrémité s'élève aussi.
T
x
t
Figure 9.2 : Propagation de chaleur dans une barre métallique.
On peut en déduire que l'énergie thermique fournie par la flamme se propage le long de la
barre. On conçoit aussi, comme dans l'exemple précédent, que c'est parce que la température
de la flamme est plus élevée que celle de la barre que l'énergie thermique se propage ainsi.
1.3. La température : force motrice du transfert de chaleur
C'est bien parce que la température des milieux mis en contact sont différentes que naît
un flux de chaleur dont la tendance est de ramener les corps à l'équilibre thermique. On dit
que la température est la force motrice du transfert de chaleur. Inversement, tout transfert
cesse si la température dans un système est uniforme. L'idée vient alors de considérer que le
flux de chaleur est une fonction de la variation spatiale de la température : lorsque cette
variation spatiale est nulle, le flux est nul. La notion mathématique qui permet de rendre
compte de cette notion de variation spatiale est la notion de gradient. Nous allons introduire
progressivement cette notion dans le cas particulier du gradient de température.
1.4. Analyse de la situation dans le cas d'une seule dimension
1.4.1. Mise en évidence de la notion de gradient
Considérons un corps solide de forme allongée tel que la barre métallique représentée
figure 9.2. On peut en première approximation faire l'hypothèse que la température ne dépend
que de la variable d'espace x et le cas échéant du temps t.
Plaçons nous en un point donné x de la barre où la température est T (x,t ) et considérons la
température d'un point très proche de x où la température est T (x + e,t ) (cf. figure 9.3). Ayant
admis que la température est la force motrice du transfert de chaleur, on conçoit que le flux de
chaleur qui existera au point x sera d'autant plus grand que la différence T (x + e,t ) - T( x,t )
rapportée à la distance e sera grande.
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Fx
A
x
x+e
Figure 9.3 †
: Notion de gradient dans le cas monodimensionnel.
On est ainsi conduit à poser que Fx , le flux de chaleur dans la direction x, est proportionnel à
T (x + e,t ) - T( x,t )
la quantité
et que cette quantité sera d'autant plus représentative du flux
e
au point x que e est petit. On arrive alors naturellement à considérer que le flux de chaleur est
T(†x + e,t ) - T (x,t ) ∂T
lim
=
(x, t ) qui n'est autre que la dérivée de T par
proportionnel à
e
∂x
eÆ0
rapport à la variable d'espace x à un instant donné t : c'est par définition la dérivée partielle de
T par rapport à x. Par ailleurs, la chaleur se propageant dans le sens des températures
décroissantes, si T (x + e,t ) > T(x, t ) , le flux de chaleur sera dirigé dans la direction des x
décroissants et inversement si T (x + e,t ) < T(x, t ) . La direction du flux est donc opposée au
∂T
∂T
signe de la quantité
. Si
> 0 , la température a tendance à augmenter avec x et le flux
∂x
∂x
∂T
est dirigé dans le sens des x décroissants et inversement si
< 0.
∂x
1.4.2. Expression du flux!dans le cas monodimensionnel : relation de Fourier
Fourier a posé que le flux de chaleur Fx dans la direction x est proportionnel à
selon la relation!:
Fx = -lA
∂T
(W )
∂x
†
†
∂T
∂x
(9.1)
où A est la section transversale de l’objet considéré (cf. figure 9.3). Le signe - permet de tenir
compte du fait que la chaleur se propage dans le sens des températures décroissantes alors
†qu'on peut montrer que le vecteur gradient est orienté dans le sens opposé. Le coefficient de
proportionnalité l s'appelle la conductivité thermique du milieu considéré. C'est a priori une
quantité susceptible de varier avec la température, la pression, la composition et qui prend des
valeurs assez différentes dans les gaz, les liquides et les solides. Son unité dans le système
international est le W.m-1.K-1.
A partir de la relation (9.1), on peut définir le flux de chaleur par unité de surface ou densité
de flux J x dans la direction x!:
J x = -l
†
∂T
(W.m-2 )
∂x
(9.2)
A titre indicatif, on donne quelques valeurs de l dans le tableau 9.1 ci-dessous. Il y a
grossièrement un facteur 10 entre la conductivité thermique des gaz et des liquides et un
†facteur 100 entre celle des liquides et celle des solides. On observe cependant de grandes
variations de cette propriété en fonction de la nature du corps.
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Composé
Température (°C)
Cuivre (solide)
Cuivre (solide)
Fer (solide)
Eau liquide (1bar)
Eau liquide (1 bar)
0
100
20
20
100
Conductivité thermique l
(W.m-1.K-1)
386,12
379,14
73,27
0,598
0,682
Vapeur d'eau (1 bar)
Vapeur d'eau (1 bar)
Air
Air
100
500
20
100
0,0245
0,0673
0,02512
0,0307
Tableau 9.1 : Quelques valeurs de conductivités thermiques (Aide mémoire du Thermicien,
Editions Européennes Thermique et Industrie, 1982)
1.5. Généralisation au cas à trois dimensions
1.5.1. Expression de la densité de flux selon la relation de Fourier
On a implicitement admis précédemment que le flux est une variable caractérisée par
une valeur et une direction. C'est donc un vecteur. Par ailleurs, il apparaît assez naturel de
ramener ce flux à l'unité de surface dans la mesure où, toutes choses égales par ailleurs, il sera
d'autant plus élevé
que la surface concernée est élevée : le vecteur flux par unité de surface,
r
qui sera noté J ici, est la densité de flux en W.m-2 dans le système international. Fourier a
posé que cette densité de flux est colinéaire à un vecteur qui généralise à l'espace à trois
dimensions la notion de variation spatiale de la température telle que nous l'avons
introduite
r
dans le paragraphe précédent : ce vecteur est le gradient de température noté gra d(T ) dont les
coordonnées sont dans un système de coordonnées cartésiennes :
Ê ∂T ˆ
Á ˜
∂x ˜
Á ∂T
r
grad( T) = Á ˜ (K.m-1 )
Á ∂y ˜
Á ∂T ˜
Á ˜
Ë ∂z ¯
(9.3)
La relation de Fourier est alors :
†
r
r
J = -lgrad( T) (W.m-2 )
(9.4)
1.5.2. Expression du flux traversant une surface dA
†
Considérons un élément
r de surface dA en un point quelconque d'un système. Si le
vecteur densité de flux est J en ce point, on conçoit
aisément que suivant l'orientation de la
r
surface dA, représentée par un vecteur unité n normal à cette surface, le flux qui la traverse
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est plus ou moins rélevé. Ainsi, si la densité de flux est tangente à la surface dA, c'est à dire
perpendiculaire à n , le flux est nul.
r
J
r
n
dA
Figure 9.4 : Flux traversant une surface dA caractérisée par sa normale.
Le flux de chaleur dF n qui traverse la surface dA est simplement donné par le produit
scalaire!:
rr
dFn = JndA (W)
(9.5)
r
r
qui est bien nul si J est perpendiculaire à n c'est à dire tangent à dA. Par railleurs, le signe de
dF indique la direction du flux. Si dF n > 0 , le flux est orienté suivant n et inversement si
† n
dF n < 0 .
1.6. Méthode générale d'établissement des équations permettant la résolution d'un
problème de transfert de chaleur par conduction
Il s’agit de rechercher l'évolution temporelle et spatiale de la température dans un
système immobile siège d'un transfert de chaleur. Nous avons jusqu'à présent mis en évidence
deux notions très importantes :
• la notion générale de bilan d'énergie ;
• dans le cas de la conduction, l'expression du flux de chaleur selon la relation de
Fourier.
En combinant ces deux outils, on peut traiter ce type de problème en établissant une équation
dont la température recherchée est solution.
Dans le cadre de ce cours introductif, il n'est question que de traiter des cas assez simples : en
particulier, nous nous restreindrons à l'analyse de systèmes en régime permanent et mono
dimensionnels, c’est à dire à une seule variable d’espace.
1.7. Exemples d'application de la méthode
1.7.1. Transfert de chaleur par conduction dans une plaque plane de grande dimension
On considère une plaque plane telle que représentée figure 9.5. Cette plaque peut par
exemple représenter le mur d'une maison. Elle a une épaisseur e et une surface latérale A.
Compte tenu de sa forme, on peut supposer, comme dans le cas d'une barre allongée, que la
température ne varie qu'avec x. On se place par ailleurs en régime permanent donc on ne
considère pas l'évolution temporelle de la température. L'objectif est de connaître l'évolution
de la température dans la plaque avec x ou profil de température T (x) et de connaître le flux
de chaleur Fx qui traverse la plaque selon la direction x.
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dx
A
Tpi
Tpe
e
0
Jx(x)
Jx(x+dx)
x
dx
Figure 9.5 : Le problème de la conduction en régime permanent dans une plaque plane.
Le résultat qu'on va obtenir est effectivement utilisé par les ingénieurs chargés de prévoir les
besoins en chauffage des bâtiments par exemple. L'équation dont T (x) est solution résulte du
bilan d'énergie associé à la relation de Fourier. Séparons bien ces deux temps de
l'établissement de l'équation.
1.7.1.1. Bilan d'énergie
On considère une tranche de solide d'épaisseur dx telle que représentée figure 9.5. C'est
notre système selon la terminologie de la thermodynamique. Pour qu'il s'agisse d'un système
thermodynamique, rappelons qu'il doit malgré tout être suffisamment épais pour contenir un
nombre de particules élémentaires tel que les notions macroscopiques utilisées ont un sens. La
seule énergie échangée par ce système est l'énergie thermique selon le processus de la
conduction. Le bilan s'écrit alors :
J x ( x) A = J x ( x + dx) A
(9.6)
où J x est la densité de flux suivant l’axe x. En utilisant le développement de Taylor à l'ordre 1
de J x +dx , on a :
†
J x (x + dx) ª Jx ( x) +
dJ x
dx
dx
(9.7)
En reportant (9.7) dans (9.6), on trouve finalement que :
dJ x
=0
dx
(9.8)
1.7.1.2. Prise en compte de la relation de Fourier
En reportant dans le bilan (9.8) l’expression du flux (cf. relation (9.2)) donnée par
Fourier, on trouve la relation recherchée :
Ê dT
d Ë -l ˆ¯
dx = 0
dx
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(9.9)
68
1.7.1.3. Cas particulier où l = cte : profil de température et expression du flux Fx
L'équation (9.9) devient :
d 2T
=0
dx2
(9.10)
dont la solution est simplement : T (x) = ax + b . Les constantes a et b sont calculées en fixant
ce qu'on appelle des conditions aux limites. Par exemple, si on suppose que les températures
de la plaque sont fixées en x=0 et x=e, respectivement Tpi et Tpe (cf. figure 9.5), on trouve
facilement les expressions de a et b et le profil de température est :
Ê T - Tpi ˆ
˜˜ x + Tpi
T(x ) = ÁÁ pe
e
Ë
¯
(9.11)
Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier :
Ê
ˆ
Á
˜
Ê
ˆ
T
T
T
T
pi
pe
Fx = -lA dT = -lAÁ pe
= Á pi
(9.12)
˜ (W)
˜
dx
Ë e ¯ Á e ˜
Ë lA ¯
e
La quantité R Th =
(K.W -1 ) s'appelle la résistance thermique de la plaque par analogie
lA
avec la résistance électrique d'un conducteur. Le flux de chaleur est alors analogue à
†l’intensité du courant et la température à la tension électrique.
† Transfert de chaleur par conduction dans un tube de grande longueur
1.7.2.
On considère un cylindre creux de longueur L, de rayon intérieur Ri et de rayon
extérieur Re (figure 9.6).
r
Jr(r)
Jr(r+dr)
r
dr
Ri
Re
Figure 9.6!: Le problème de la conduction en régime permanent dans un cylindre.
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Ce cylindre peut représenter une canalisation de transport d’eau de chauffage central par
exemple. La longueur L est supposée très supérieure aux rayons Ri et Re. De ce fait, la
température ne dépend que de la position radiale r. L'objectif est de connaître l'évolution de la
température dans le tube avec r (ou profil de température T(r ) ) et de connaître le flux de
chaleur Fr qui traverse le tube. Le résultat qu'on va obtenir est effectivement utilisé par les
ingénieurs chargés de prévoir les pertes de chaleur dans des canalisations par exemple.
L'équation dont T(r ) est solution résulte toujours du bilan d'énergie associé à la relation de
Fourier
1.7.2.1. Bilan d'énergie
On considère une tranche de solide de forme cylindrique et d'épaisseur dr telle que
représentée figure 9.6. La seule énergie échangée par ce système est l'énergie thermique selon
le processus de la conduction. Le bilan s'écrit alors :
J r (r )2PrL = Jr ( r + dr)2P(r + dr )L
(9.13)
où J r est la projection du vecteur densité de flux suivant le seul axe pertinent, r. En utilisant le
développement de Taylor à l'ordre 1 de J r( r + dr ) , on a :
J r( r + dr ) ª Jr ( r) +
dJ r
dr
dr
(9.14)
En reportant (9.14) dans (9.13), les termes en dr 2 étant toujours négligés, on trouve
finalement que :
dJ r
r + Jr = 0
dr
Le bilan!se met aussi sous la forme :
d( rJr )
dr
=0
(9.15)
1.7.2.2. Prise en compte de la relation de Fourier
Cette relation devient le long de l'axe r :
J r = -l
dT
(W.m-2 )
dr
(9.16)
soit en reportant dans le bilan (9.15) la relation recherchée :
†
Ê dT
d Ë -rl ˆ¯
dr = 0
dr
(9.17)
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70
1.7.2.3. Cas particulier où l = cte : profil de température et expression du flux Fr
L'équation (9.17) devient :
Ê dT
d Ë r ˆ¯
dr = 0
dr
(9.18)
dont la solution est obtenue en intégrant deux fois l’équation (9.18) :
Ï r dT = a soit dT = a
Ì dr
dr r
ÓT (r ) = aLnr + b
(9.19)
Les constantes a et b sont calculées en fixant les conditions aux limites. On suppose que les
températures du tube sont fixées en r=Ri et r=Re, respectivement à Tpi et Tpe (cf. figure 9.6).
On trouve alors les expressions de a et b et le profil de température est :
T (r ) =
Tpi - Tpe Ê r ˆ
Ln Á ˜ + Tpi
ÊÁ R i ˆ Ë Ri ¯
˜
Ln
Ë Re ¯
(9.20)
Finalement, on calcule le flux selon la relation de Fourier! F r = -l2P rL dT
dr soit!:
Fr =
Tpi - Tpe
(W)
Ê Re ˆ
1
LnÁ ˜
2PlL Ë R i ¯
(9.21)
On trouve bien que le flux Fr est constant du fait de l'hypothèse initiale de régime
stationnaire. Il n'en est pas de même de la densité de flux Jr qui diminue lorsque r augmente
†du fait de la croissance de la surface offerte au flux de chaleur avec r. La quantité
ÊR ˆ
1
R Th =
LnÁ e ˜ (K.W -1 ) est la résistance thermique de conduction du tube.
2PlL Ë R i ¯
†
2. Le transfert de chaleur par convection : notion de coefficient de transfert
de chaleur entre un fluide et une paroi
2.1. Position du problème
Il existe de nombreuses situations pratiques où un solide est au contact d'un fluide à une
température différente. Par exemple, considérons le mur d'une maison au travers duquel on
souhaite évaluer le flux de chaleur (c'est un calcul nécessaire pour estimer les besoins de
chauffage). On se donne la température intérieure de la maison Ti et la température extérieure
Te, c'est à dire les températures de l'air loin de la paroi et non pas les températures de surface
de la paroi Tpi et Tpe. Si on veut calculer le flux F x , il est nécessaire de représenter l'étape de
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71
transfert de chaleur entre l'air et la surface du mur : la notion de coefficient de transfert de
chaleur a pour but une telle représentation.
2.2. Mécanismes de transfert de chaleur par convection entre un fluide et une paroi
La difficulté vient du fait qu'un fluide siège de transferts de chaleur est rarement
immobile. On peut le mettre en mouvement par un moyen mécanique extérieur : par exemple,
on fait circuler l'eau dans les radiateurs de chauffage des bâtiments à l'aide de pompes (figure
9.7). On parle dans ce cas de convection forcée entre le fluide en mouvement et la paroi
considérée. De tels mouvements naissent aussi naturellement du fait des forces d'Archimède.
Ainsi, lorsqu'on regarde l'horizon dans un désert, les images du lointain sont floues et
apparaissent en mouvement : c'est l'air qui, au contact du sable chaud, s'élève du fait que sa
densité diminue avec la température.
Ecoulement dans une canalisation :
convection forcée
Air au contact d'une
plaque chaude :
convection naturelle
Figure 9.7 : Mécanismes de la convection thermique.
Si on veut décrire de façon détaillé ces mécanismes, il faut résoudre un grand nombre
d'équations d'une grande complexité. Une approche plus globale et à caractère empirique
consiste à définir un coefficient qui globalise l'ensemble des phénomènes : ce dernier est
mesuré.
2.3. Définition du coefficient d'échange de chaleur a
Considérons une paroi de forme quelconque, plaçons nous en un point de cette paroi où
la température est Tp et considérons le fluide situé à ce niveau de la paroi mais loin de celleci!: sa température est notée T• (figure 9.8).
Fluide
T•
Tp
r
n
Solide
Figure 9.8 : Notion de coefficient de transfert de chaleur par convection.
L'idée est que, quelle que soit la complexité du mécanisme de transfert entre le fluide et la
paroi, le flux de chaleur entre ces deux zones reste proportionnel à l'écart de température. Le
coefficient de transfert de chaleur a est alors défini comme suit :
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72
J n = a( Tp - T• ) =
(T
p
- T• )
(W.m-2 )
1
a
(9.22)
a peut être vu comme une conductance thermique par unité de surface et son inverse comme
une résistance thermique par unité de surface. La densité de flux J n est perpendiculaire à la
†paroi solide, c'est à dire colinéaire au vecteur normal à la surface. Si T > T , la densité de
p
•
flux est orientée depuis le solide vers le fluide et si Tp < T• , la densité de flux est orienté
depuis le fluide vers la paroi. Compte tenu de l'unité de J n (W.m-2), le coefficient a s'exprime
en (W.m-2.K-1) dans le système international. Nous donnons dans le tableau 9.2 quelques
ordres de grandeurs de a.
Situation
Convection naturelle
Dans les gaz
Dans les liquides
Convection forcée
Dans les gaz
Dans les liquides visqueux
Dans l’eau
a (W.m-2.K-1)
3 à 20
100 à 600
10 à 100
50 à 500
500 à 10000
Tableau 9.2!: Ordre de grandeur du coefficient de transfert de chaleur par convection a (Bird,
Stewart, Lightfoot, Transport phenomena, Wiley and Sons, 1960)
Il n’est pas dans l’objectif de ce cours d’aller plus loin dans l’étude du phénomène de
convection. Il existe dans les ouvrages spécialisés en Transfert Thermique des relations
permettant de calculer a dans diverses situations. Il suffit pour l’instant d’avoir compris sa
définition et les phénomènes qu’il représente.
3. Calcul des flux de chaleur dans des plaques ou parois composites!:
exploitation de l'analogie électrique
Ces calculs constituent des exemples des relations étudiées précédemment et
s’appliquent à des situations pratiques comme :
• le calcul des besoins en chauffage d’un bâtiment!;
• le calcul des pertes de chaleur d’une canalisation!;
• etc.
Les relations qui vont être mises en évidence sont basées sur l’analogie entre la résistance
électrique de circuits de type série ou parallèle et la résistance thermique d’un objet.
3.1. Plaques planes
3.1.1. Plaque multicouche!de type série
Le cas typique de cette situation est le mur d’un bâtiment composé d’une couche de
brique, d’une couche de plâtre et le cas échéant d’une couche d’isolant thermique. Ce mur de
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73
surface A est au contact d’un fluide sur ses faces intérieure et extérieure. La situation générale
est représentée figure 9.9. Le flux de chaleur doit traverser plusieurs résistances thermiques en
série!:
1
• la résistance thermique de convection côté intérieur!: R iTh =
;
a iA
• la résistance thermique de conduction de chaque couche solide!numérotée
e
k!: R kTh = k où ek est l’épaisseur de la couche k et lk sa conductivité thermique ;
lkA
†
1
• la résistance thermique de convection côté extérieur R eTh =
.
a eA
†
1
Ti
2 ….
†
Tpi
Fx
Tpe
Te
x
Fx
Figure 9.9!: Plaque multicouche de type série.
Exprimons la différence des températures intérieure Ti et extérieure Te vis à vis des
températures intermédiaires!:
• Tpi et Tpe!: les températures des parois intérieure et extérieure!;
• Tpk!: les températures de contact entre la couche k-1 et la couche k.
(
) (
) (
)
(
Ti - Te = Ti - Tpi + Tpi - Tp1 + Tp1 - Tp2 + ... + Tpe - Te
)
Compte tenu des relations (9.12) et (9.22), on peut remplacer toutes les différences de
température par leur relation en fonction du flux Fx qui est commun à toutes les résistances!:
e
1
2
i
F xR Tot
Th = F xR Th + FxR Th + F xR Th + ... + F xR Th
et ainsi définir une résistance thermique totale R Tot
comme la somme des résistances comme
Th
dans tout montage en série!:
Ï
( Ti - Te ) (W)
ÔFx =
Ô
R Tot
Th
Ì
ÔR Tot = R e + R1 + R 2 + ...+ R i = 1 + e1 + e 2 + .....+ 1 (K.W -1 )
Th
Th
Th
Th
ÔÓ Th
a e A l1A l 2 A
a iA
(9.23)
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†
74
3.1.2. Plaque multicouche de type parallèle
La situation typique est celle d’un mur comportant une fenêtre (cf. figure 9.10). Le flux
de chaleur total Fx se partage entre le flux traversant la fenêtre et le flux traversant le mur luimême. Les températures extérieure et intérieure étant de plus communes aux deux parties de
la paroi, on se trouve dans la situation de résistances en parallèle.
Dans le cas de deux couches 1 et 2 telles que représentées figure 9.10 ci-dessous par exemple,
on calcule d’abord la résistance de chaque couche, respectivement R1Th et R 2Th .
Ti
Tpi1
Fx
1
1
Tpe
Te
2
Fx
x
Figure 9.10!: Plaque multicouche de type parallèle
Chacune de ces résistances est constituée par une association en série convection intérieure –
conduction - convection extérieure selon la relation (9.22)!:
Ï 1
1
e1
1
-1
ÔÔR Th = a A + l A + a A (K.W )
e 1
1 1
i 1
Ì
ÔR 2 = 1 + e 2 + 1 (K.W -1 )
ÔÓ Th a e A2 l 2 A2 a i A2
†
†
(9.24)
où A1 et A2 sont les surfaces des parois 1 et 2, e1, e2 leurs épaisseurs et l 1, l2 leurs
conductivités thermiques.
†
La résistance totale est ensuite obtenue en exprimant que le flux se partage entre les deux
branches!:
Fx =
Ti - Te Ti - Te
+
(W)
R1Th
R 2Th
soit la relation classique d’addition des inverses des résistances dans un montage en parallèle!:
†
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75
Ï
Ti - Te
ÔÔFx = R Tot (W)
Th
Ì
1
1
1
Ô
= 1 + 2 (K.W -1 )
Tot
ÔÓ R Th R Th R Th
(9.25)
3.1.3. Généralisation
†
Pour une paroi plus complexe constituée de plusieurs plaques en parallèles elle-mêmes
constituées de plusieurs couches, il n’y a aucune difficulté à généraliser la démarche en
construisant le schéma électrique équivalent et en calculant la résistance totale par application
des formules de combinaison des résistances des circuits série ou parallèle.
3.2. Paroi cylindrique multicouche de type série
La démarche est rigoureusement la même que précédemment : le seul cas intéressant à
traiter est celui d'un tube fait de N couches concentriques de matériaux différents
(typiquement un métal et un isolant thermique). Chaque couche oppose sa résistance
thermique de conduction à la propagation de la chaleur et on inclut les résistances thermiques
associées à la convection interne et externe (cf. figure 9.11).
r
Figure 9.11 : Paroi cylindrique multicouche de type série
La température du fluide situé à l'intérieur du tube est Ti et celle à l'extérieur du tube Te. Le
rayon intérieur est Ri et le rayon extérieur est Re. Les résistances thermiques associées à la
1
1
i
e
convection interne et externe sont respectivement R Th =
et R Th =
.
2PR i La i
2PR e La e
Une couche solide numérotée k comprise entre les rayons Rk-1 et Rk et de conductivité
Ê R ˆ
1
thermique lk présente une résistance thermique de conduction R kTh =
Ln Á k ˜ (cf.
2Pl k L Ë Rk -1 ¯
relation (9.21)). Ces résistances sont associées en série et le flux Fr est donné par la relation
suivante :
Fr (W)
(9.26)
=
Ti - Te
ÊR ˆ
ÊR ˆ
Ê R ˆ
1
1
1
1
1
+
LnÁ 1 ˜ +
LnÁ 2 ˜ + ...+
LnÁ e ˜ +
2PR iLa i 2Pl1L Ë R i ¯ 2Pl 2L Ë R1 ¯
2Pl NL Ë R N-1 ¯ 2PR eLa e
†
Cours rédigé par Christian Jallut, Professeur de Génie des Procédés à l’Université Lyon I
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Conclusion
Ce chapitre n'est qu'une introduction aux Transferts Thermiques. Les situations étudiées
sont cependant très représentatives des applications dans le domaine industriel. Ce qu'il faut
surtout retenir est la démarche d'établissement des équations basée sur l'écriture d'un bilan
associée à la relation de Fourier. Si cette démarche est bien comprise, on peut aborder d'autres
situations plus complexes, en particulier l’étude des régimes transitoires non traitée ici.
Cours rédigé par Christian Jallut, Professeur de Génie des Procédés à l’Université Lyon I