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Mécanique des corps déformables12002-2003
1. Introduction
Un cours de mécanique générale traite notamment de la description des mouvements d’un
solide soumis à différentes forces et moments extérieurs (équations de Newton et du moment
cinétique). La statique considère le cas particulier d’un solide en équilibre. Cette description
suppose que le solide est indéformable, i.e. les distances entre des points quelconques restent
invariantes au cours du mouvement.
Ce chapitre a pour objectif de compléter la connaissance du comportement des corps déform-
ables en déterminant leurs déformations qui résultent de forces extérieures. L’approche
phénoménologique est utilisée pour présenter les lois décrivant les déformations dans des cas
simples, puis quelques bases théoriques sont introduites pour généraliser les résultats.
2. Etats de la matière, Modèle continu
2.1 Etats de la matière
D’une manière générale, les solides sont caractérisés microscopiquement par des forces de liai-
sons intermoléculaires "rigides" et anisotropes. Sous l’effet de la température, les atomes
vibrent autour de leur position d’équilibre, mais ne peuvent pas se déplacer librement les uns
par rapport aux autres. En conséquence, macroscopiquement, un solide se déforme très peu et
différemment selon différentes directions. Ses propriétés macroscopiques spécifiques sont sa
masse, son volume et sa forme.
Les fluides, au contraire, sont caractérisés par des forces de liaisons "non rigides" et isotropes.
On distingue deux types de fluides selon leurs propriétés macroscopiques, les liquides et les
gaz. Les gaz, peu denses et donc facilement compressibles, présentent de faibles forces d’inter-
action attractives entre molécules (nulles pour les gaz parfait). Les liquides ont une densité
comparable à celle des solides, sont peu compressibles, et les forces d’interactions entre molé-
cules sont plus importantes que celles des gaz, mais suffisamment faibles pour qu’un élément
liquide puisse se déplacer considérablement par rapport à un élément voisin. Contrairement
aux gaz, les liquides n’ont pas tendance à occuper tout le volume disponible. Leurs propriétés
macroscopiques spécifiques sont leur masse et leur volume.
Les solides cristallins possèdent un ordre à courte et à longue distance, alors que les solides
amorphes (quartz amorphe SiO2) et les liquides ne possèdent qu’un ordre à courte distance.
Un cristal liquide est un liquide formé de particules organiques allongées qui possède égale-
ment un ordre à longue distance au-dessous d’une température de transition (au-dessus, il se
comporte comme un liquide usuel).
Les polymères sont formés de longues chaînes constituées par la répétition de molécules orga-
niques simples. Les liaisons entre atomes d’une même chaîne sont fortes alors que les forces
interchaînes sont plus faibles et influencent beaucoup les propriétés mécaniques du polymère.
1. Résumé du cours du Professeur J.-J. Meister, Section de Physique EPFL.

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Il existe des polymères naturels (amidon, cellulose, protéines) et synthétiques.
2.2 Modèle continu
La matière est formée d’un grand nombre d’atomes ou de molécules dont il n’est pas possible
de décrire exactement l’état de mouvement d’une manière détaillée.
La mécanique des solides déformables ainsi que la mécanique des fluides nécessite l’introduc-
tion d’un modèle continu qui consiste à considérer des particules matérielles de volume ∆V
suffisamment petit pour que cet élément ∆V ait les propriétés d’une différentielle, mais suff-
isamment grand pour contenir un nombre élevé d’atomes ou de molécules. On peut ainsi faire
totalement abstraction de la structure atomique et définir, par exemple, une densité locale ρ(x).
Par commodité, on écrit souvent dV pour l’élément fini ∆V.
2.3 Rhéologie des corps déformables
Lorsqu’on soumet un corps déformable (solide, liquide ou gaz) à des forces ou à des moments
extérieurs constants ou dépendant du temps, on peut s’intéresser à la réponse du corps en fonc-
tion du temps en analysant des grandeurs caractéristiques du corps telles que longueurs, aires,
volumes et angles.
Les résultats de telles expériences peuvent généralement être décrits par quatre propriétés
rhéologiques1 fondamentales: l’élasticité, la viscosité, la plasticité et la résistance à la rupture2.
Si les changements subis par le corps sont suffisamment petits, on peut les décrire par des lois
phénoménologiques linéaires:
•Elasticité selon Hooke: la déformation est proportionnelle à la contrainte.
•Viscosité selon Newton: la force de frottement (ou de traînée) est proportionnelle à la vit-
esse.
•Plasticité selon von Mises: la vitesse de déformation est proportionnelle à la contrainte.
En revanche, des effets non-linéaires apparaissent si les changements sont importants.
Par définition, la déformation élastique disparaît lorsque les contraintes sont annulées, contrai-
rement à la déformation plastique qui subsiste. Les corps réels (non idéalisés) présentent ces
trois propriétés rhéologiques.
3. Comportement élastique
Lorsque des forces extérieures sont appliquées à un corps déformable, avec les conditions
ΣFext = 0 et ΣM0ext = 0 (statique), on observe des déformations du corps. On parle d’élasticité
du corps si la courbe de charge correspond à la courbe de décharge: figure 2. Elle n’est
généralement linéaire que si les déformations sont faibles.
Ce comportement élastique linéaire est une bonne approximation pour la plupart des solides
1. La rhéologie est la branche de la physique qui étudie la viscosité, la plasticité, l’élasticité et l’écoule-
ment de la matière.
2. Le phénomène de rupture ne sera pas abordé dans ce cours.

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(déformations relatives de l’ordre de 10-3). De même, les fluides possèdent cette propriété en
compression (ou détente) uniforme.1
3.1 Traction simple
Considérons un solide homogène et isotrope en équilibre, dont la forme est un parallélépipède
rectangle de longueur Lx et de section S = Ly·Lz: figure 1.
Appliquons deux forces colinéaires, opposées et d’égale amplitude Fnx, perpendiculairement
aux extrémités. On observe un allongement du solide (∆Lx > 0) simultané à une diminution de
sa section (∆Ly et ∆Lz < 0).
Figure 1
Si l’on reporte l’amplitude de la force Fnx en fonction de l’allongement ∆Lx, on observe
d’abord une région élastique (déformation réversible), puis une région plastique et finalement
la rupture. La figure 2 illustre deux comportements observés; les flèches indiquent le sens des
déformations et leur éventuelle réversibilité.
Figure 2
Dans la région élastique linéaire, l’expérience montre que ∆Lx est proportionnel à Fnx et Lx, et
inversement proportionnel à S:
1. Du point de vue de la thermodynamique, le comportement élastique représente une transformation
réversible.
F
nx
- F
nx
L
y
L
z
L
x
L
x
+ ∆ L
x
L
z
+ ∆ L
z
région
élastique
région
plastique
∆Lx
Fnx
rupture région
élastique
région
plastique
∆Lx
Fnx
rupture
ou

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(1)
La constante de proportionnalité E est le Module de Young, dont l’unité est le N/m2. Il dépend
du matériau, de son traitement, de la température et éventuellement d’autres variables thermo-
dynamiques. Sa valeur ne dépend pas de la géométrie du corps.
En définissant la contrainte normale par:
[N/m2](2)
et l’allongement spécifique par:
(3)
On obtient la loi de Hooke:
(4)
Le module de Young caractérise le rapport contrainte-déformation.
La même expérience montre que les dimensions transversales Ly et Lz subissent une contrac-
tion proportionnelle à Lx. Au niveau microscopique, on peut dire de manière simple que cette
contraction résulte de l’existence de liaisons interatomiques obliques. Cette contraction est
décrite par la loi de Poisson:
(5)
Cette observation signifie qu’une déformation dans une direction peut résulter d’une contrainte
appliquée dans une autre direction.
La constante ν, sans dimension, est le module de Poisson. Selon le matériau, il vaut entre 0,3 et
0,5. On verra à la section 3.2 que ν doit être inférieur ou égal à 0,5.
La figure 3 donne les caractéristiques de quelques solides. La limite d’élasticité est la valeur de
la contrainte au-dessus de laquelle le corps perd ses qualités élastiques.
∆Lx
1
E
--- FnxLx
S
--------------⋅=
σx
Fnx
S
--------=
εx
∆Lx
Lx
----------=
εx
1
E
--- σx =
εyεzνσx
E
------–==

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Figure 3
Remarques
• Par convention, les contraintes sont positives lorsqu’elle correspondent à un état d’exten-
sion et négatives dans le cas d’une compression. Une contrainte de compression correspond
à une pression avec la convention de signe p = - σ.
• Les constantes E et ν caractérisent entièrement le comportement élastique d’un solide iso-
trope et homogène.
• On parle d’anisotropie des propriétés mécaniques si l’application de forces dans différentes
directions conduit à des valeurs différentes du module de Young et du module de Poisson.
3.2 Compression uniforme
Considérons un solide isotrope ou un fluide soumis à une compression uniforme, i.e.:
(6)
Prenons d’abord un solide de forme parallélépipédique de volume V: figure 4. Calculons les
déformations résultant de l’état de contraintes en utilisant les lois de Hooke et Poisson.
Un tel calcul nécessite d’admettre le principe de superposition: la superposition des contraintes
entraîne la superposition des déformations correspondantes.
Matériau E [N/m2]ν [ ] Limite d’élasticité
[N/m2]
Charge de
rupture [N/m2]
Aluminium
Acier
Cuivre
Verre
Plomb
Béton (compression)
Bois
Caoutchouc
Os (compression)
6,9.1010
18 à 30.1010
12.1010
5 à 8.1010
0,5 à 2.1010
3.1010
1 à 2.1010
2.106
0,5 à 1.1010
0.33
0,27
0,33
0,3
0,4
0,15
--
0,5
--
10 à 13.107
25 à 80.107
3 à 12.107
--
0,4 à 1.107
--
--
--
--
11 à 15.107
40 à 150.107
20 à 40.107
4 à 6.107
1,3 à 2,2.107
4.107
5.107
--
17.107
σxσyσzσp–====