Miroirs sphériques et lentilles minces dans l

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Miroirs sph´eriques et lentilles minces
dans l’approximation de Gauss
Exp´eriences et simulations permettent de conclure que les miroirs et les lentilles
sph´eriques ne donnent d’un point A une unique image A’ que dans certaines
conditions appel´ees conditions de Gauss :
Les rayons lumineux sont proches de l’axe et peu inclin´es par rapport `a l’axe.
Table des mati`eres
1 Miroirs sph´eriques 1
1.1 Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent) . . . . . . . . . 1
1.2 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss . . . . . . . . . 1
1.3 Points particuliers - Distance focale - Vergence . . . . . . . . . . . 2
1.4 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan focal . . 2
1.5 Mod´elisation du miroir sph´erique et constructions g´eom´etriques . . 2
1.5.1 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5.2 Construction de l’image A′d’un point Asur l’axe . . . . . 3
1.5.3 Construction d’un rayon r´efl´echi . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Relations de conjugaison et grandissement . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sph´erique) . . . . . 4
2 Lentilles minces 4
2.1 D´efinition ................................ 4
2.2 Lentille mince convergente ou divergente . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss - Vergence . . 5
2.4 Points particulier - Distance focale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan focaux . 5
2.6 Mod´elisation de la lentille mince et constructions g´eom´etriques . . 6
2.6.1 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6.2 Construction de l’image A′d’un point Asur l’axe . . . . . 6
2.6.3 Construction d’un rayon transmis . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Relations de conjugaison et grandissement . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Miroirs sph´eriques
1.1 Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent)
Miroir concave :
A
I
C S
Miroir convexe :
A
I
S C
1.2 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss
A C HA' S
I
i
i
α β α'
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i=β−α=α′−β⇒α+α′= 2β
Dans les conditions de Gauss o`u les rayons sont proches de l’axe et peu inclin´es
par rapport `a l’axe :
α≃ − HI
SA α′≃ − HI
SA′β≃ − HI
SC
d’o`u la relation de conjugaison (ind´ependante du rayon consid´er´e)
1
SA +1
SA′=2
SC
On parle de stigmatisme approch´e
Amiroir spherique −−−−−−−−−−−→ A′
On dit que A’ est le conjugu´e de A ou encore que A et A’ sont conjugu´es.
1.3 Points particuliers - Distance focale - Vergence
Si A=Calors A′=C
Cmiroir spherique −−−−−−−−−−−→ C
Si A=A∞alors A′=F′
A∞
miroir spherique
−−−−−−−−−−−→ F′
F′foyer image tel que
SF ′=SC
2=f′=1 V
f′distance focale image et Vvergence
Si A′=A′
∞alors A=F
Fmiroir spherique −−−−−−−−−−−→ A′
∞
Ffoyer objet tel que
SF =SC
2=f
fdistance focale objet
Un rayon parall`ele `a l’axe optique (issu d’un point `a l’∞sur l’axe) est r´e-
fl´echi en passant par F′.
Un rayon passant par Fest r´efl´echi parall`element `a l’axe optique ( convergeant
vers un point `a l’∞sur l’axe).
1.4 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan
focal
Voir simulation.
Stigmatisme dans les conditions de Gauss :
Amiroir spherique −−−−−−−−−−−→ A′
Bmiroir spherique −−−−−−−−−−−→ B′
Aplan´etisme dans les conditions de Gauss : B′est dans le plan perpendiculaire `a
l’axe passant pas A′.
De mˆeme
A∞
miroir spherique
−−−−−−−−−−−→ F′
B∞
miroir spherique
−−−−−−−−−−−→
le conjugu´e de B∞est dans le plan perpendiculaire `a l’axe passant par F′appel´e
plan focal.
1.5 Mod´elisation du miroir sph´erique et constructions g´eom´e-
triques
1.5.1 Mod´elisation
Cette mod´elisation concerne le miroir sph´erique utilis´e dans les conditions de
Gauss.
On dilate les sch´emas perpendiculairement `a l’axe optique.
Miroir concave :
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C F’ S
Miroir convexe :
S CF’
Attention, les lois de la r´eflexion ne sont plus v´erifi´ees sur le sch´ema (sauf en S) !
1.5.2 Construction de l’image A′d’un point Asur l’axe
A→Bstigmatisme −−−−−−−−→ B′aplanetisme
−−−−−−−→ A′
L’image d’un point ´etant un point, deux rayons suffisent pour trouver B′`a choisir
parmi les 3 rayons remarquables suivants :
– Le rayon parall`ele `a l’axe (issu d’un point `a l’infini sur l’axe) et passant par
Best r´efl´echi en passant par F′;
– Le rayon passant par Bet par Fest r´efl´echi parall`element `a l’axe ;
– Le rayon passant par Bet par Cest r´efl´echi en repassant par C.
A
B
A'C F
B'
1.5.3 Construction d’un rayon r´efl´echi
B∞→A∞
stigmatisme
−−−−−−−−→ F′aplanetisme −−−−−−−→ B′
On fait comme si le rayon parvenait d’un point `a l’infini en dehors de l’axe ; le
rayon parall`ele passant par C (provenant aussi de B∞) coupe le plan focal en B′
conjugu´e de B∞; Tous les rayons issus de B∞convergent en B′apr`es r´eflexion
(stigmatisme), le rayon est donc r´efl´echi en passant par B′
C F
B'
B1
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1.6 Relations de conjugaison et grandissement
A
B
A'C F
I
S
J
B'
Dans les triangles ABS et A’B’S
AB
SA =−A′B′
SA′
Dans les triangles ABC et A’B’C
AB
CA =A′B′
CA′
Dans les triangles ABF et SJF
−AB
F A =A′B′ SF
Dans les triangles A’B’F et SIF
−A′B′
F A′=AB
SF
On en d´eduit la relation de conjugaison avec origine au sommet ou encore formule
de Descartes (d´ej`a vu)
1
SA +1
SA′=2
SC
avec origine au centre
1
CA +1
CA′=2
CS
avec origine aux foyers ou encore formule de Newton
F A . F A′=SF 2=f2=SC2
4
Le grandissement
γ=A′B′
AB =−SA′ SA =CA′ CA =−SF F A =−F A′ SF
1.7 Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sph´erique)
SC →∞⇒V= 0, le miroir plan est afocal
1
SA +1
SA′= 0 ⇒SA′=−SA et γ = +1
2 Lentilles minces
2.1 D´efinition
S1 S2 C1
C2
La lentille mince est constitu´ee de deux dioptres sph´eriques qui v´erifient :
e=S1S2≪C1S1
e≪C2S2
e≪C1C2
alors S1≃S2≃Ocentre de la lentille.
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2.2 Lentille mince convergente ou divergente
Lentille mince convergente :
Lentille mince divergente :
2.3 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss - Ver-
gence
Voir simulation.
L’image d’un point est un point ?
Oui si les rayons sont proches de l’axe et peu inclin´es par rapport `a l’axe :
Alentille mince −−−−−−−−−→ A′
La relation de conjugaison donne alors la relation entre la position de Aet de
son conjugu´e A′:
1
OA′
−1
OA =V
en fonction de la vergence V > 0 pour une lentille mince convergente et V < 0
pour une lentille mince divergente.
2.4 Points particulier - Distance focale
Les rayons passant par le centre O ne sont pas d´evi´es (on consid`ere qu’au
voisinage de O, on a une lame `a faces parall`eles).
A∞
lentille mince
−−−−−−−−−→ F′
F′foyer image de la lentille tel que
OF ′=1
V=f′
distance focale image de la lentille.
Flentille mince −−−−−−−−−→ A′
∞
Ffoyer objet de la lentille tel que
OF =−1
V=f
distance focale objet de la lentille.
Les foyers objet et image sont donc sym´etriques par rapport `a O.
2.5 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan
focaux
Voir exp´erience ou simulation.
Si
A∞
lentille mince
−−−−−−−−−→ F′
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