Exercices : Les équations de Maxwell – Energie électromagnétique

MP 2016/2017
Exercices : Les équations de Maxwell – Energie
électromagnétique
EMG 212 : Modèle de l'éffet Meissner
Un milieu supraconducteur occupe le volume compris entre les plans x = - a et x = +a : Il règne à
l'extérieur de l'échantillon un champ magnétique uniforme B = B0 uz . On note B = B(x) uz , le
champ magnétique à l'intérieur du milieu.
On suppose que le supraconducteur est le siège de courants de densité volumique. j = j(x) uy tel que
rot j = -η.B
avec η = 1, 69.1021C2.m-3.kg-l.
1) Déterminer l'expression du champ B(x). On fera apparaître la quantité δ =
1
µ0η
1. Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique
B (M) créé par cette distribution en un point M quelconque, intérieur ou extérieur de la
plaque. (ne pas oublier d’étudier la parité du champ).
2. En déduire B (M) par le théorème d’Ampère.
3. Retrouver directement B (M) par les équations de Maxwell.
4. Calculer la densité volumique de puissance dissipée dans la plaque. Retrouver le résultat
à l’aide du vecteur de Poynting.
A.N. : j = 1,0 A.mm -2 ; γ = 6,2.107 S.mm -1 .
. Tracer B(x)/B0
pour a = 10δ.
2) En déduire l'expression de la densité de courant j . Conclusion.
EMG 503 : Condensateur en régime lentement variable
3) Exprimer la force par unité de surface Fs s'exerçant sur l'une des faces de l'échantillon.
EMG 214 : Effet de magnéto-résistance dans une plaque conductrice
Un milieu conducteur de temps de relaxation τ possède n charges de conduction (de charge q
et de masse m) par unité de volume. Une différence de potentiel impose un champ électrique
E (M ) en tout point M de ce milieu.
1) Quelle est la conductivité γ0 du milieu ?
2) Un champ magnétique B = B0 uz est appliqué au milieu.
Etablir, en régime permanent, une relation vectorielle liant le
vecteur densité volumique de courant J , les champs E et B .
qB
On fera apparaître la pulsation cyclotron ωc = 0 .
m
3) En écrivant. J = J x .ux + J y .uy + J z .uz , déduire trois
relations scalaires liant les composantes du vecteur densité
volumique de courant.
4) Le milieu occupe l'espace situé entre les plans ( x = 0 ) et ( x = a ) .
Il est soumis à une différence de potentiel : U 0 = V(x = 0 ) – V(x = a) .
Quelle est la résistance R0 d'une section S de ce milieu conducteur en l'absence de champ
magnétique ?
5) Quelle est la nouvelle valeur R de la résistance du conducteur précédent en présence du
champ magnétique ?
La comparer à R0 pour un champ de B0 = 1 T , pour un milieu métallique.
A.N.: q=–e=1,6.10-19 C, m=9,1.10-31 kg et τ=10-14s.
EMG 501 : Plaque de cuivre en régime permanent
Soit un repère orthonormé direct (O, u x , u y , u z ) et deux plans Π et Π' parallèles au plan
ELECTROMAGNETISME – 1ère partie
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(Oxy) et de cotes respectives suivant zz' égales à + a/2 et – a/2. Ces plans délimitent
une plaque de cuivre homogène, d’épaisseur a, de perméabilité μ0 , de permittivité ε0 et de
conductivité γ.
Une densité volumique de courant continu et constant j =j. u x (j > 0) parcourt ce
conducteur de dimension infinie suivant u x , u y . La densité superficielle de courant est
nulle.
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Les armatures d’un condensateur plan sont des disques de rayon a distants de e et l’axe
Oz. On néglige les effets de bord et on suppose le régime lentement variable. On admet
que le champ électrique dans tout le condensateur est uniforme mais non permanent E =
E(t) u z . On étudie dans cet exercice la décharge du condensateur : E(t) = E0 e -t/τ
1. Déterminer le champ magnétique dans le condensateur. On montrera, par étude des
symétries, qu’il est de la forme B (M,t) = B(r,z,t) u θ .
2. Calculer les contributions électrique et magnétique U e et Um à l’énergie
électromagnétique, ainsi que le rapport que l’on exprimera en fonction de a et de λ = c τ.
Montrer que, en régime lentement variable (à préciser), on peut considérer le
condensateur comme un système purement électrique.
3. Donner l’expression du vecteur de Poynting Π en un point intérieur au condensateur.
Exprimer le flux de Π à travers la surface S du condensateur et conclure.
EMG 510:Effet inductif dans un condensateur en charge
Les armatures circulaires d'un condensateur plan de rayon a, d'épaisseur e, sont placées
perpendiculairement à l'axe Oz en z = ±e/2 et soumises à une tension variable U(t). Un point
M intérieur au condensateur est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) . La condition
2a>>e permet de négliger les effets de bord.
Il s'agit de décrire le comportement électromagnétique du condensateur en régime variable
correspondant à l'expérience électrocinétique suivante: le condensateur de capacité C en série
ELECTROMAGNETISME – 1ère partie
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avec une résistance R , initialement déchargé, est chargé, à partir de t = 0 par un générateur
parfait de tension U0.
a) Donner, sans démonstration, dans l'hypothèse quasi stationnaire, l'expression du champ
électrique E(t) entre les armatures en fonction de la charge q(t) (en z= +e/2 ), e, C et uz . De
même rappeler sans démonstration l'expression de la capacité C de ce condensateur plan.
Une des équations de Maxwell montre qu'il doit alors exister un champ magnétique dans le
condensateur. Laquelle et pourquoi ? S'agit-il d'un phénomène d'induction ?
b) Comment sont dirigées les « lignes de courant » entre les armatures ? De quel type de
courant s'agit-il ?
En déduire la direction du champ magnétique B à l'intérieur du condensateur. Quelle doit être
sa valeur sur l'axe Oz ? Déterminer B (r, t) en fonction de µ0,a, r, i(t) courant arrivant sur
l'armature supérieure et uθ .
c) Calculer l'énergie magnétique Wm. emmagasinée dans le condensateur à un instant
quelconque et en déduire le coefficient d'auto-inductance L du condensateur.
AN : Calculer L et C pour e = 0,5 cm et a = 3 cm ; commentaire.
d) Montrer que la structure des champs déterminés dans les questions a) et b) est
incompatible avec une équation de Maxwell ; où est l'erreur
Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures métalliques parfaitement
conductrices, sphériques, concentriques, de centre O et de rayons a et b > a. L'espace compris
entre ces armatures est empli d'un milieu conducteur de conductivité γ. On cherche pour ce
système un champ électromagnétique variable, respectant la symétrie sphérique : E = E(r,t) er
à l'exclusion de toute composante statique. On suppose aussi qu'à l'instant t = 0, le
2
condensateur était chargé : ∫∫ S σ(t = 0).d S = Q0
1. Montrer que le champ magnétique est nul pour des raisons de symétrie.
2. Établir et résoudre les équations vérifiées par le champ électromagnétique. On définira et on
calculera la constante de temps τ du système.
3. Montrer qu'aucune puissance électromagnétique n'est rayonnée par ce système. Établir le
bilan local des puissances pour ce système. Quelle est la constante de temps pour les
puissances?
4. Établir l'expression de l'énergie emmagasinée dans le condensateur pour une date t
quelconque.
5. En déduire l'expression de l'énergie dissipée par effet JOULE entre t = 0 et t -> oo.
EMG 629 :Chauffage par induction
EMG 511 :Courant de déplacement
On considère un milieu de conductivité γ pour lequel le courant de conduction j est lié à E par
j = γ E . On suppose que γ a la même valeur en régime alternatif qu'en régime permanent et
que le milieu considéré a les mêmes constantes ε0 et µ0 que le vide.
Pour un champ E alternatif de pulsation ω, calculer le rapport α des amplitudes du courant de
conduction et du courant de déplacement ε0
EMG 517 : Étude électromagnétique d'un condensateur sphérique
∂E
. Pour ω= 2π106 rd.s-1 chiffrer ce rapport dans
∂t
les différents cas suivants :
Cuivre (γ= 6.107 Ω-1m-1).
Sol argileux (γ= 10-4 Ω-1m-1)
-6
-1
-1
Verre (γ= 10 Ω m ).
EMG 513 : Conductivité en « haute fréquence»
Dans un conducteur métallique les électrons libres (charge –e, masse m) de densité volumique
n ont une vitesse d'ensemble v par rapport au réseau cristallin et sont soumis de la part de ce
dernier à une « force de frottement » en – m v /τ .
Un cylindre métallique de rayon a, de longueur L et de conductivité σ = 5.107 Ω-1.m-1 , est placé
à l'intérieur d'un solénoïde de grande longueur suivant son axe Oz. Ce dernier est parcouru par
un courant harmonique de faible fréquence, f = 50 Hz, à l'origine d'un champ magnétique
uniforme Bs = Bo cos ωt uz
a) Par une méthode au choix, déterminer l'expression du champ électromoteur Em , puis celle
de la densité volumique j des courants induits (dits de Foucault) en tout point du conducteur
en négligeant devant Bs le champ produit par ces courants.
b) En déduire la puissance volumique moyenne dissipée à une distance r de l'axe par effet
Joule, puis la puissance moyenne totale sur le conducteur. Dans quel but, cette perte est-elle ici
provoquée ?
c) Calculer le champ magnétique Bi créé par les courants induits de la question a).
d) L'hypothèse faite Bi << Bs est-elle vérifiée lorsque a est typiquement de l'ordre du
décimètre ? Commenter les résultats.
1- Donner l'origine de cette force et interpréter τ .
2- Le métal est mis en régime sinusoïdal forcé sous l'action d'un champ électrique E = E0.e−iωt .
Établir la loi d'Ohm locale j = σE et exprimer la conductivité complexe σ en fonction de σ0 =
ne2τ/ m et de ωτ.
Commenter en distinguant ωτ << 1 et ωτ >> 1 .
AN : On mesure σ0 = 0,57.108 S.m-1 , en déduire τ.
3- Exprimer la puissance volumique moyenne < Pv > dissipée dans le métal.
Commenter le résultat dans les deux cas ωτ << 1 et ωτ >> 1.
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