une introduction à la mécanique semi-classique

L'Enseignement Mathématique
Colin de Verdière, Yves
UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE
Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-63894
L'Enseignement Mathématique, Vol.44 (1998)
PDF erstellt am: Jan 10, 2011
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UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE*)
par Yves
RÉSUMÉ.
Ce
Colin
Verdière
de
àla mécanique semi-classique
texte est une introduction
à
l'usage
des
non-spécialistes.
Après avoir rappelé les contextes de la mécanique classique (géométrie symplec
tique)et de la mécanique quantique, on introduit la mécanique semi-classique à partir
d'exemples simples: transformations de Fourier et de Legendre, principe de Huygens.
On décrit ensuite les formules de trace semi-classiques et la problématique du
chaos quantique.
Introduction
1.
motivation
Le but de ces exposés est de servir de
d'introduction
et
sujet.
au
Du point de vue de la physique, il s'agit de techniques qui remontent au début
correspondance affirme de façon
vague que la mécanique classique est la limite de la mécanique quantique
lorsque la constante de Planck H peut être considérée comme petite, autrement
dit que les actions S en jeu sont grandes devant h. Bien sûr, dire qu'une
théorie physique est une limite d'une autre théorie physique est un concept
de la
mécanique quantique
le
:
de
principe
important puisqu'une grande partie
savoir faire du physicien est de prévoir
du
limite quantique -classique est plus
complexe que la limite relativiste-galiléen qui se réduit essentiellement à des
développements limités en ~ où c est la vitesse de la lumière.
ce
qui est petit
et
ce
est
qui
c
Depuis
le
semi-classique
début
est
de
traité
grand.
La
,
la
mécanique
par
des
quantique,
règles
plus
ou
le
passage
avril
Rédaction d'exposés donnés dans
1997)
le cadre
de
la
limite
moins
empiriques: les
conditions de quan
développements BKW (Brillouin-Kramers-Wentzel) et les
tificationdeBohr-Sommerfeld font ainsi partie de l'outillage
)
à
de
base
rencontres Genève-Grenoble-Lyon (24
du
et 25
physicien quantique.
Ces
méthodes ont leurs limitations
cultésliéesaux caustiques, impossibilité
les
de
intrinsèques:
diffi
dire quelque chose de précis sur
spectres dans les cas non complètement intégrables (i.e. génériques).
Du point de vue mathématique, les travaux de Maslov, Leray, Hôrmander
dérivées
équations
les
années
aux
physiciens. En particulier,
le
linéaires
(analyse micro-locale), dans
65-70, ont donné une assise naturelle et solide aux calculs des
en
ces
passage des caustiques et
partielles
méthodes permettent de décrire de façon précise
la nature des déphasages des fonctions d'ondes
points (indice de Maslov).
en ces
L'application de ces méthodes aux équations
limite géométrique de l'optique ondulatoire a connu
les
depuis
années
70.
Ces
travaux
s'appuient
de
Schrôdinger
et
à
la
développement
résultats de plus
un grand
sur
des
mécanique classique des systèmes hamiltoniens (systèmes
complètement intégrables, théorie KAM, flots d'Anosov) en même temps que
sur des techniques d'analyse variées (intégrales oscillantes, estimations de type
en
plus
fins
de
elliptique, développements asympto tiques, méthodes de resommation, passage
dans le complexe). Un des problèmes clés est l'étude semi-classique des
spectres d'opérateurs: asymptotique des grandes valeurs propres des laplaciens
riemanniens, asymptotique du spectre d'un opérateur de Schrôdinger lorsque
ft-^o+.
Après avoir brièvement rappelé le formalisme hamiltonien et le formalisme
quantique, je décrirai le problème de la limite semi-classique.
parlerai ensuite du spectre: depuis le cas complètement intégrable, en
passant par KAM, j'en viendrai à ce que je considère comme l'un des plus
jolis résultats de la théorie, la formule des traces dite de Gutzwiller dont je
Je
donnerai une preuve heuristique basée sur l'intégrale
de
Feynman.
parlerai enfin de l'analyse fine du spectre semi-classique
théorie des matrices aléatoires.
Je
la
et du
lien avec
veux profiter de l'occasion pour introduire deux idées que je trouve
stimulantes et que je vous soumets
Je
:
1)
La mécanique classique est certes une limite de la mécanique quantique,
quantique est aussi un système
particulier (linéaire) et la dimension infinie n'en est pas
mais
la
hamiltonien
mécanique
le
fait
le
classique
plus important.
habituellement présentée comme liée au
caractère linéaire de la mécanique quantique et dépendant essentiellement du
principe de superposition (phase stationnaire) elle est aussi liée au phénomène
d'oscillations rapides (méthode de moyennisation) qui est un analogue non
linéairede la phase stationnaire.
2)
La limite
semi-classique
est
:
La mécanique classique
2.
Pour cette section, voir [I], [3], [4], [28], [44], [48], [49], [50], [51].
GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
2.1
L'espace des phases du système est une variété symplectique (Z,w). La
plupart du temps, c'est un cotangent T*X équipé de la structure canonique. Ce
peut être aussi une sous- variété algébrique lisse du projectif complexe équipé
structure symplectique partie imaginaire de la structure kaehlérienne ou
une variété obtenue par réduction symplectique à partir des précédentes.
On se donne ensuite une fonction H: Z — R, l'hamiltonien du système.
de la
>
lui associe le champ de vecteurs
On
A#, gradient symplectique de H, qui
classique que la dynamique du système décrite par
donne la dynamique. Il est
flot
le
(j) t
de
Xn préserve H
et la
forme
uj
.
Les exemples de base sont
Exemple
la
V
Z=
2.1.
T*R n
et
dynamique étant celle d'une particule
impulsion.
Z=
EXEMPLE 2.2.
g
où
T*X
X
où
dans
est une
le
potentiel
V,
et
£
étant
variété riemannienne
de
cotangent donnée
coordonnées
métrique
et
g*
est la
métrique associée
à
g
sur
le
en
locales par
inverse de (g tJ ) avec g= ds = Y,9ijdx dxj.
La dynamique est alors celle du flot géodésique.
2
V
t
EXEMPLE
Z=
2.3.
Pn C
près) canonique, associée à
/î+1
la sphère unité de
muni d'une structure symplectique (à peu
/7+1
une structure hermitienne sur
:on considère
est
C/7+lC
pour cette métrique hermitienne. La structure
n+1
symplectique de
partie imaginaire de la forme hermitienne, induit une
2-forme sur cette sphère dont le noyau est constitué par l'action infinitésimale
de U{\). Le quotient de cette action est P n C
qui est ainsi symplectisé.
C/î+lC
Cn+l,C
,
L'objet le plus central
lagrangienne.
en
géométrie symplectique est sans doute
la
variété
Une
sous-variété
dimension
2n est
= T*X et
la donnée d'une
Si
Z
lagrangienne L d'une variété symplectique (Z,cj)
une sous-variété isotrope pour la forme ou et de dimension
si L est le graphe d'une section (et s'identifie donc
de
n
.
à
-forme sur X), L est lagrangienne si et seulement si la
1
-forme correspondante est fermée. Si L = (jc, £'(*)), on dit que S est une
fonction génératrice. Si p: L —> X est la projection, la caustique de L est
sous-ensemble
1
formé des points où la projection est critique. Il est
important pour la suite d'étendre la notion de fonction génératrice au cas des
caustiques cela remonte à Maslov et Hôrmander. On peut déjà en trouver
le
de
L
l'idée dans Huygens
et
:
Feynman.
Figure
Variétés lagrangiennes
La
notion
de
variété
1
et
caustiques
lagrangienne permet
solution d'une EDP non linéaire du type:
L'équation
et
de
Hamilton-Jacobi
l'équation eiconale
en sont des cas
de
l'optique
particuliers.
de
généraliser
la
notion
de
de
Une telle solution généralisée est simplement une variété lagrangienne
T*X contenue dans H = 0
On voit facilement que
le
champ
XHX
est
H
tangent
à
une telle variété. Bien
caustiques (enveloppe des trajectoires).
L
Une autre notion importante attachée à une sous-variété lagrangienne
T*X est celle de fronts d'ondes: ce sont les feuilles du feuilletage défini
sûr, en général,
de
.
il y
des
a
de la
1-forme
Liouville
de
par la
restriction
sur X
sont aussi appellées fronts d'ondes.
à
L
Figure
Variété lagrangienne
2.2
a
= Çdx. Leurs projections
2
et
fronts d'ondes
Variétés lagrangiennes et fonctions génératrices
caustiques et ne peut donc
à une
pas être représentée par une fonction génératrice naïve. On a recours
famille de fonctions <p(x,9), 66 R N Si on considère les fronts d'ondes
variété
Une
lagrangienne
a
en
général
des
.
(p(x,6) — a}, leur enveloppe est donnée classiquement comme
l'ensemble des solutions de tp = a, de^p = 0. A cette enveloppe est as
Fq^
=
{x
|
sociéel'ensemble
des
(x,d x (p) qui
se
trouve être,
sous
des
hypothèses de
non-dégénérescence, une variété lagrangienne. On retrouve une construction
d'Huygens: l'enveloppe d'une famille de fronts d'ondes est un nouveau front
d'onde.
théorème que toute variété lagrangienne admet une représentation
de ce type. Une telle famille est du reste unique à des opérations élémentaires
près: c'est un théorème dû à Hormander.
C'est
un
situation géométrique
fonction cp: E-^R. Si L o est
La
Lq
à
F: E
X
—>
et
d'une
graphe de d(p contenu dans T*E, on passe de
L par la réduction symplectique associée au fibre conormal de la fibration.
En particulier, si
des
d'une fibration
celle
est
de
applications
0(7) =
C(
JQJ
Q
/
C: TX
/
flot hamiltonien
(p
t
R
>
est un
lagrangien régulier
l'ensemble
£l t
et
flbré sur X x X par 7 — (7(0), 7(0) et
(s))ds, la variété lagrangienne associée est le graphe du
associé au lagrangien C par la transformée de Legendre.
7: [0,
y(s)^
—
le
La fonction génératrice
-+ X
£]
>
est bien sûr reliée
O
l'intégrale
à
de
Feynman.
La mécanique quantique
3.
Pour cette section, voir [10], [32], [39], [47], [43].
l'espace des phases est un espace de Hilbert (parfois de dimension
finie); pour être plus précis, c'est le projectif complexe de cet espace, mais
on peut négliger ce détail.
Ici
La dynamique est donnée au moyen d'un opérateur auto-adjoint H
domaine) sur H grâce
dont
le
flot est
U(t) = eLa
est
une
[tB l
le
de
l'équation
à
Schrôdinger:
un paramètre
à
groupe
(avec
d'opérateurs unitaires donné par:
n
.
constante
n'est pas là uniquement pour faire joli, en général H
donc h a les dimensions d'une action, car on ne peut
h
énergie
et
des
exponentier que
EXEMPLE 3.1.
quantités sans dimension
H=
L
2
(R
n
)
et
H=
!
!
-^A+
V.
On
alors
a
V
équation
de
Schrôdinger.
EXEMPLE
3.2.
riemannien. On
a
EXEMPLE 3.3.
V
espace de
des
où
Hilbert
H=
2
L (X)
l'équation
Si
des
de
et
H=
yA
9
,
où
Schrôdinger associée
A9A
9
au
est
le
laplacien
flot géodésique.
n
fibre anti-canonique sur P C, on considère
sections holomorphes de E® N qui s'identifie à l'espace
E
est le
n+1
polynômes homogènes de degré N sur
Si H: P n C —+ R, on considère les opérateurs de Toeplitz H^(f = Un (Htp),
ri/y est la projection orthogonale des sections sur les sections holomorphes.
Voir [19].
Cn+l.C
.
La ressemblance entre les exemples de ce paragraphe et du précédent n'est
pas
fortuite, comme
on va le voir.
Il faut aussi remarquer que la mécanique quantique est un cas particulier
de la mécanique classique, celui où l'hamiltonien est une forme hermitienne
sur
un
espace de Hilbert.
vue, il n'est pas très excitant: la
les fréquences fondamentales étant liées de
De ce point
dynamique est quasi-périodique,
façon simple au spectre de H.
Les
espace des phases classiques et quantiques
catégories) peuvent être prolongées de façon heuristique, par
correspondances
(flèches entre
2
entre
exemple correspondance entre volume
enneset vecteurs, entre produits
signe de
uo
et
de
et
dimension, entre variétés lagrangi
produits tensoriels, entre changement de
et
passage au dual.
Pour être plus pédant, on pourrait parler de la catégorie symplectique dont
les objets sont les variétés symplectiques et les flèches de Z à Z
les sous
1
variétéslagrangiennes
les
de
(Z x Z
/
\u' -v)
catégorie hilbertienne dont
flèches les opérateurs unitaires.
et de la
objets sont les espaces de Hilbert et les
On obtient ainsi le tableau de correspondance suivant
d'essayer
de
prolonger!!
qu'il
est
intéressant
La mécanique semi-classique
4.
Pour cette section, voir [2], [25], [29], [32], [42], [44], [51].
Introduction
4.1
Du
nécessaire
(atomes
De
de
point
et
la
physique,
vue
mécanique quantique
pour remplacer la mécanique classique dans
molécules, physique des étoiles).
même,
l'optique
ondulatoire (Maxwell).
doit
géométrique
être
apparue comme
certaines situations
est
remplacée
par
une
optique
l'étude d'EDP linéaires dépendant d'un petit (ou
grand) paramètre: équation de Schrôdinger avec h petit, grandes valeurs
propres du laplacien riemannien, solutions" à grandes fréquences des équations
de Maxwell.
Le
On
point commun
aussi
est
considérer
dégénérescence de
systèmes hamiltoniens (en dimension finie ou infinie) dépendant d'un petit
paramètre vers d'autres systèmes hamiltoniens de dimension plus petite.
les
La méthode de moyennisation est un peu le prototype de ces limites
peut
de
façon
plus
générale
la
:
oscillations rapides
du
système
(penser
à
et
nouveau hamiltonienne sur un espace des
Méthode
Si on
sur
une
donnent lieu
une
à
est
un
à
3
moyennisation
considère un hamiltonien
variété
trajectoires
de
de
gyroscope)
dynamique lente qui
phases réduit.
découplage entre une dynamique rapide
Figure
un
période
symplectique
de
dimension
2n
et
qu'on
suppose que les
sont périodiques
contenues dans la couche d'énergie E o
7b, on peut introduire la variété symplectique Z^
de
Ho
o
de
dimension
2(n
la
-1)
munir
sur les
de
trajectoires
H£
de
K= jrf^Hidt
Ho
d'énergie
Eo
et
décrivant une dynamique
Cette dynamique décrit bien le comportement des
.
intervalle
dans un
temps de l'ordre de
de
1.
stationnaire
La phase
4.2
contenues dans la couche
l'hamiltonien moyenne
de
trajectoires
Ho
de
trajectoires
des
Voir [36].
Dans
est
le
nous
qui
cas
une conséquence de la
oscillante du type
Rn
R
préoccupe dans la suite (linéaire), ce découplage
si on considère une intégrale
phase stationnaire
:
:
C°°
C^(R \C),
!
comportement asymptotique
de I(h) quand h tend vers 0 est contrôlé par les points critiques de S situés
dans le support de a. Lorsque ceux-ci sont non dégénérés, on a une formule
où
S:
—
>
est
et
a
G
le
explicite pour le développement asymptotique. Les faits remarquables sont les
il ya une phase liée à l'indice de la
suivants: le comportement est en h!^
hessienne de S aux points critiques.
2
,
Plus précisément,
dans le support de
Le coefficient
si
a
S
de
n'a qu'un point critique supposé non dégénéré
xo
signature a, on a:
principal (amplitude) admet une interprétation géométrique
comme densité relative de 2 mesures en x 0 la mesure a{x)dx et la mesure
associée canoniquement à S" (comme en riemannien). Cette remarque est à
l'origine de la géométrisation du calcul des intégrales oscillantes.
:
Donnons
3
Exemple
Soit
S:
applications semi-classiques simples
—
>•
supposons que x
V du dual de R"
.
R
une
fonction
—>
S'(x)
est un
Soit alors
s(£)
C°°
définie
sur
difféomorphisme
:
V—> R
la
un
C°°
ouvert
de
transformée
U
:
de
S(Ç 0
)
+ S(x 0 ) = x o
£o
pour
un
point
£
0
U
C
R"
et
sur un ouvert
Legendre
caractérisée par
normalisée par
stationnaire
(Fourier et Legendre).
4.1
U
de la phase
= S'(x 0 ).
de
S
Figure
Transformation
où
de
Soit
aeC^(U)
\dhx\
est une mesure de
L
2
(R\\d
de
Legendre
et
sur L
x\)
h
4
2
Haar sur
n
(R ,\d h Ç\).
Rn
normalisée pour que
J~h
soit unitaire
la
limite semi
Alors
où
est la
S
de
transformée
Legendre
de
S.
dire que la transformée
classiquede la transformée de Fourier.
On
donc
peut
Exemple 4.2
Soit
dans
a(k)
Rn
.
el^e
Sa
1^
de
Legendre est
(vitesse
de phase et
u^
onde plane mono chromatique de fréquence
vitesse
une
de
propagation
vitesse
est
v=
de
groupe).
y^§-
•
C'est
la
u(k)
vitesse
de
(x, t)
tels
déplacement des hyperplans d'égale phase
souvent appellée vitesse
Si on
avec
que x
du
k
de phase
prend une superposition
de telles
ondes de la forme
fonction F est négligeable en dehors des point
= u'(k)t qui se propagent à la vitesse u'(k) appellée vitesse
grand,
la
paquet d'onde.
de
groupe
Exemple
4.3
(principe de Huygens).
Considérons une onde sphérique
issue de
l'origine. Soit maintenant
la
de
X
une
positiond'ondes sphériques émises par
Le
est
surface
et
points
de
comportement asymptotique lorsque k est grand
sur une normale à IL. La phase est alors donnée
condition que M ne soit pas
Morse de la fonction distance.
à
On voit donc
est
les
forme
en
point focal,
et
est
à
où
négligeable sauf si M
une constante près par
n(M)
est
V
indice
de
front d'onde (phases constantes)
fronts sphériques issus de X, ce qui est le principe de
qu'aux grandes fréquences
l'enveloppe des
Huygens
un
considérons une super
X de la forme
le
optique géométrique.
Figure
Principe
de
5
Huygens
EDP LINÉAIRES AVEC UN PETIT PARAMÈTRE
4.3
En général, on étudiera une équation du type
où les
a a
(x,h) sont
de la
:
forme:
On définit alors
qui est appelle symbole principal de
Pq
P.
On supposera dans ce qui
prend que des valeurs réelles.
Le but est de décrire les (des) solutions
suit que
ne
Exemple
de
4.4.
de
(valeurs propres
Schrôdinger).
(Schrôdinger dépendant
du
temps).
(grandes valeurs propres du laplacien).
Les
solutions BKW
On considère Faction de P sur une fonction oscillante et on développe en
puissances
X
de
h
:
/
Y^9^ Po(x,S (x))d Xi
une fonction sur T*X.
où
—
i
et
Pi(x, £),
le
symbole sous-principal
de
P, est
iS
Résoudre P(ae
Po(x,S'(x)) =
0,
/
h
)
= 0{h
2
)
équivaut donc
puis une équation
à
différentielle
résoudre l'équation eiconale
le
long des trajectoires de
deux opérations gardent un sens pour les solutions généralisées, en
particulier, X est la projection sur Xde X Po et donc on peut lire les équations
X
de
.
Ces
transport sur
la
variété lagrangienne.
Dans le cas de Schrodinger, l'équation de transport s'écrit:
Elle s'interprète géométriquement comme l'invariance par le flot hamiltonien de
2
2
la demi-densité a(x)\dx\ /
Le carré a(x) \dx\ s'interprète bien en mécanique
1
.
quantique comme une mesure: la probabilité
Pour mettre tout cela en place, on associe,
d'une famille
Exemple
Cette
fonction
de
4.5
fonctions,
des
(la fonction
est associée
qui admet une caustique en
à
la
de
à
superpositions
de
Airy).
la
de
On
présence de la particule.
représentation de L
fonctions oscillantes
à
partir
définit
variété lagrangienne
(0,0).
La fonction de Airy décrit en
fait le comportement universel
oscillantes associées aux singularités plis.
Figure
6
La fonction de Airy
des
intégrales
Le résultat net est la
vérifiant (JPq)\ l =0
on réfléchit un peu.
solutions
Ces
ne
possibilité d'associer à toute variété lagrangienne
solutions locales de Pu = O(h ) et même O(h°°)
2
des
globalisent
se
toujours
pas
ce
:
sont
les
conditions
L
si
de
quantification.
Dans les cas les plus simples, par exemple dans les exemples 4.6 et 4.7, il
s'agit d'une condition portant uniquement sur L la classe de cohomologie de
:
de
Rham de la forme de Liou ville a
satisfait des conditions d'intégralité
—
du type
où
fi
En
r
L n est Yindice de Maslov.
\\
G
effet, une fois l'existence d'une densité invariante assurée, il reste
le
problème des phases qui sont données localement par S dont la différentielle
est la restriction à L de a (on retrouve la définition des fronts d'ondes comme
feuilles de phases constantes). La contribution des caustiques est donnée par
l'indice de Maslov qui a son origine technique dans la phase stationnaire.
.
EXEMPLE 4.6
R/2ttZ.
sur
la
variété
soit
a
—
£
=
a
DE FOURIER).
principal
est
£
et la
condition
de
-t d x
quantification sur
est
hn. On retrouve comme spectre les hn,
4.7
considère l'opérateur
On
n G
Z et les séries de Fourier.
(l'oscillateur harmonique)
symbole principal est
et les
conditions
Elles donnent
le
de
quantification
.
s
'écrivent pour
variété H =
la
E
:
spectre exact:
n'est pas surprenant,
hH\
Cela
en
SÉRIES
Son symbole
Exemple
Le
(LES
car
le
changement
x
=
\fhx\
transforme
H/
t
Figure
L'espace
de
7
phase des séries de Fourier
Figure
L'espace des phases
de
8
l'oscillateur harmonique
4.4
Schrödinger et l'intégrale
Le cas de
de Feynman
Voir [27], [13].
Dans
le
représentation
Bien
de
cas
sûr,
contrairement
à
la
la
du
dépendant
temps,
on
obtient
une
Feynman:
cette
à
Schrôdinger
intégrale
n'a
pas
mesure de Wiener.
de
statut
On
doit comprendre
mathématique
bien
solide,
J 7comme
une
mesure de Lebesgue.
Le
5.
La
5.1
formule
de
spectre semi-classique
Weyl
Voir [B], [32].
On considère le spectre de
où on suppose
est
Si
V
C°°
et
l'opérateur
liminf^oo
n
Schrôdinger dans K
de
V > 0
.
Alors
le
spectre négatif de H
discret; on l'écrit:
E < 0,
on considère le
II se trouve que l'
comportement asymptotique semi-classique
asymptotique
de
N h (E)
est
de
purement classique
/
signifie que chaque état propre occupe une région de volume (2nh)
de l'espace des phases. C'est une des versions de la correspondance entre
volume et dimension. Cela permet parfois de déterminer le h effectif d'un
n
ce qui
problème de type semi-classique.
De nombreux auteurs se sont préoccupés d'obtenir
du type
des
2
estimations du reste
où E n'est pas valeur
La meilleure estimation générale (a = 1) dans le cas
été
a
est celle de Hormander ([3s]). Cette estimation
de
#(x,O
critique
améliorée par Duistermaat et Guillemin [23] en un oQî) dans le cas (générique)
Bérard ([7])
où l'ensemble des trajectoires périodiques est de mesure nulle et
on peut améliorer
a montré que, dans le cas riemannien sans points conjugués,
O(h/ lnh\).
le reste en
asymptotique n'est pas vraie pour un hamiltonien arbitraire, en
la vraie
particulier elle est incorrecte dans le cas des bouteilles magnétiques
des images
asymptotique est donné par le nombre de pavés d'un pavage par
de cubes standards par des plongements canoniques (voir [14]).
Cette
:
spectre dans le cas complètement intégrable: coordonnées
actions-angles semi-classiques
Le
5.2
Voir [16], [17], [18].
Du
de
point
lagrangien en
un hamiltonien sur
L'
un
hamiltonien
flot
dit
est
complètement
un feuilletage
l'espace des phases admet (presque partout)
tores invariants par le flot hamiltonien. Cela correspond donc
si
intégrable
classique,
vue
le
IT/Z"
tore
de la
à
forme H(Ç).
hamiltonien quantique naturellement associé
est donc
dont le spectre est formé des points
On
En
peut retrouver ce spectre au moyen des conditions
fait,
faut
il
correspond
à
remplacer Z
Tout ceci peut
L'analyse
nécessite
introduire
se
précise
n
corrections
les
des
par un translaté
indices
\i + Z"
de
de
quantification
Maslov,
ce
qui
.
justifier rigoureusement.
des
l'introduction
de
singularités
conditions
avons traitées avec Bernard Parisse en
du
complètement intégrable
de quantification modifiées que nous
dimension
([2o] et [21]) et que San
système
1
Ngoc Vu est en train de traiter en toute généralité. Ces travaux permettent de
décrire pour un système complètement intégrable avec singularités de Morse
toutes les valeurs propres.
En particulier, dans le cas d'un double puits de potentiel pair en dimen
sion1,nous avons décrit avec Bernard Parisse la transition du spectre près
l'
asymptotique semi-classique
de
l'énergie correspondant au maximum local V o du potentiel: il s'agit d'une
transition (universelle) entre les doublets de parité
de
<Vo)et
(
les valeurs propres
régulièrement espacées pour \ k
Figure
>Vq
9
Le spectre du double puits symétrique
Cette approche est encore valable dans le cadre de la théorie KAM (cf.
[16])
de 2
façons différentes:
- pour décrire le spectre semi-classique d'un sytème hamiltonien proche
d'un système intégrable;
-
considérant
en
le
cas
où
le
complètement
système est classiquement
quantiquement complètement intégrable comme une pertur
bationd'un système complètement intégrable.
intégrable
Ce
propres
et non
dernier cas
de
À+
se
V où À
rencontre par exemple pour l'étude des grandes valeurs
est le laplacien plat sur le tore (intégrable quantiquement
par les séries de Fourier) et
grandes valeurs propres.
V
en
est une petite
perturbation
à
la
limite
des
6.
Le cas
général
:la formule
des
traces semi-classiques
Dans le cas non complètement intégrable, la calcul approché du spectre est
impossible, comme cela a été remarqué par Einstein dans [26]. Dans les années
sont apparues de nouvelles
70
méthodes que l'on désignera sous le nom
de
semi-classiques. Il s'agit de formules asymptotiques pour la
densité régularisée de valeurs propres. D'abord apparues chez des physiciens
(Gutzwiller [30], Balaian et Bloch [s], [6]), ces formules ont été justifiées
formules
de traces
rigoureusement par
une approximation
sont inspirés, ceux
utilisant les OIF.
mathématiciens, d'abord dans ma thèse [12], utilisant
les
l'intégrale
de
Chazarain
de
de
Feynman, puis dans les travaux qui s'en
[11]
et
de
Duistermaat-Guillemin [23]
Densités régularisées
6.1
Pour
obtenir
des
renseignements plus fins sur
la
fonction
N h (E), il est agréable de la régulariser (au sens de Schwartz),
pour une fonction
p
lisse, d'intégrale
En fait, on utilise souvent une
Lorsque
à
en
un
e
tend vers
regroupement
de
1
et
à
(discontinue)
on pose
donc
décroissance rapide:
famille
N Pe {ji)
décrit une densité régularisée correspondant
paquets de valeurs propres de largeur ~e. Autrement
0,
dit on observe le spectre avec un grossissement
Figure
\/e.
10
La densité spectrale régularisée
Le
donné
lien
formule
la
par
densité
la
entre
"
Z(0 = Trace(e"
l
fH /
/l
l'équation de Schrodinger
Fourier: si p(0 = / e~ itfJ/ p(fi)diJ,
régularisée
d'inversion
de
et
est
et
), on a:
Si on veut une analyse fine p
doit être très localisée
et cela
implique que p est
très étalée et donc une connaissance de Z(f) (et donc de U(t)) pour t grand.
A la limite le spectre exact est lié aux solutions périodiques de l'équation de
Schrodinger qui sont donc connues pour tout îgR.
Deux échelles sont très importantes,
e
=
h
correspond du point
qui
de
classique à un intervalle de temps borné et qui prend en compte un
nombre de valeurs propres dans un intervalle de longueur ~ h qui en compte
environ n l et l'échelle e=hn qui correspond àla séparation des niveaux
vue
~l~
hh
(Weyl) (et donc
à
Bohr-Sommerfeld)
analyse fine du spectre analogue
une
et
à
un temps
de
l'ordre
de
l/h
nn
~
à
celle donnée par
1
.
La première échelle est une échelle non universelle donnée par les formules
de traces semi-classique, alors que les échelles plus fines sont (au-delà du semi
classique)le domaine
des classes
d'universalités (GOE, GUE, Poisson) (voir
section 7).
L'étude
qui
à
échelles est difficile d'accès par les méthodes semi-classiques
mal les asymptotiques simultanées H — 0 et t — » oo
ce
ces
décrivent
»
fondamental
phénomème
(et
mystérieux)
l'approximation s emi- classique.
La limite semi-classique se décrit bien
fonction d'onde localisée de la forme:
rupture
est
;
appelle
par
termes
de
certains
auteurs
de
en
l'évolution d'une
appelle état cohérent. L'évolution semi-classique de O, U(t)<î>, est donnée
lorsque t reste borné par une fonction d'onde du même type localisée au
point (pt(x ;Po) ou Vt est I e fl°t classique. Lorsque t augmente, cette fonction
gaussienne se délocalise en un temps lié à l'exposant de Liapounov À
O
:
qui est le temps nécessaire pour qu'une région initiale de diamètre h ne soit
plus localisée près de la trajectoire classique. Au delà de ce temps la non
linéarité
de
localisée sur
la
la
dynamique classique joue pleinement son rôle et U{t)Q> reste
variété instable de (x o ,p o ) qui s'enroule de façon compliquée
dans l'espace des phases
Z.
La
6.2
formule
des
traces
Selberg
de
Pour plus de détails sur cette section, voir par exemple l'excellent papier
de Hejhal [33]. Le flot géodésique sur les surfaces de Riemann à courbure —1
peut pas espérer non plus de formules explicites
pour le spectre du laplacien. On devra se contenter de formules sommatoires
qui généralisent la formule de Poisson.
n'est pas intégrable
et on ne
Prenons l'hamiltonien quantique
sur le
2™,
tore de dimension
n G
On
a
Z
Son spectre est formé des
R/Z.
X =
1,
nombres
(séries de Fourier).
alors la formule suivante, pour
p G
<S(R)
:
ou
transformée
Fourier
(qui est bien une fonction du temps...).
C'est la classique formule sommatoire de Poisson.
est la
de
On s'intéresse donc
où
en
les valeurs
à
la
de
p
densité régularisée
propres du laplacien sont
À77À
77
= | + p}n
.
Motivé par l'analogie avec la fonction ( de Riemann, A. Selberg a montré
1956 que, pour des fonctions p convenables, N (/j,) admet une expression
p
exacte comme somme d'un terme régulier non oscillant
principale est donnée par Weyl
NTF(/u)N
TF
(/u)
dont la partie
:
et
termes oscillants
de
L'expression
où
est la
de
7V
7
N^/jl) associés
aux géodésiques périodiques
est:
longueur de la géodésique périodique 7 et c(j) est un nombre
complexe non nul calculable en termes de la dynamique linéarisée près de
7
(application de Poincaré linéarisée, indice de Morse).
L7L
7
formule
La
6.3
formule
Cette
de
traces
s'étend
Gutzwiller
de
particulier
traces semi-classiques
des
sans aucune
en
dans
une
la
hypothèse
formule
asympto tique (appellée formule
littérature) valable en toute généralité (en
de type chaos
classique, le cas complètement
la formule sommatoire de Poisson) à
intégrable étant une conséquence de
condition de prendre p telle que p soit
ne considérer la dynamique de l'équation
borné en temps
périodiques,
et
support compact, ce qui revient à
de Schrodinger que sur un intervalle
donc une contribution d'un nombre fini de géodésiques
en vertu de la
à
formule d'inversion
de
Fourier:
Donnons un énoncé assez précis pour l'équation
THÉORÈME
H,
de
1.
C^(R)
x £
Fourier
est à
de
Schrodinger.
Soit E une énergie non critique pour Vhamiltonien classique
égale à 1 près de E et p(E) une fonction dont la transformée
support dans
\t\
< T.
On
suppose que les trajectoires périodiques 7 de XHX H contenues dans
{H = E} sont non dégénérées au sens que l'application de Poincaré linéaire
P
de
comme valeur propre. Soit T^ >0 la plus petite période
indice de Morse de 7 comme courbe fermée et 7 =O ou 1.
n'admet pas
1
7
et
m7m
Alors
7
V
1
e7e
:
(6.1)
où
(6.2)
et
(6.3)
La
justification heuristique
donnons-la:
le
la plus
simple est liée
à
l'intégrale
de
Feynman;
propagateur quantique
ltH
l
selon Feyn
est donné
l'opérateur U(t) = e
man([27])comme une superposition d'amplitudes associées aux différents
noyau
intégral
de
n
chemins
Q,
7G
7(o)=*, 7(o=
où
Qt
Si
t,
on
est le
l'énergie cinétique
désigne maintenant l'espace
est
comme une intégrale
h
critiques
tend vers
de
chemins
de
lagrangien classique. Dans
obtient la fonction
lorsque
l'ensemble
est
(7: [o,f]
—>
tels
X
que
y):
£: TX -> R
lagrangien
ui
q
XJit
0,
des
cas
géodésiques,
le
.
des lacets fermés
parcouru
en le
temps
partition quantique:
de
sur
le
lacets.
les
L'application
de
la
phase
stationnaire,
fait apparaitre les trajectoires fermées comme points
f
0(7) = /J C(^(s)^ (s))ds
Dans le cas de Selberg, il
se
Qt
sur
.
trouve que, bien que
la
surface X
puisse
décompose en composantes connexes simples,
une par géodésique périodique et que la décomposition de Z(t) en somme
d'intégrales sur ces composantes connexes permet de prévoir une formule
sommatoire exacte.
être compliquée, l'espace £l
t
se
semi-classiques donne certes des informations sur
le spectre, mais elle a surtout une application aux problèmes inverses. Par
exemple dans le cas riemannien, elle montre que le spectre du laplacien
détermine le spectre des longueurs des géodésiques périodiques.
formule
La
de
La fonction
s'étend
<
0.
("
traces
de
Riemann
fonction méromorphe sur
en une
Riemann
a
fait
Cette
l'hypothèse
selon
hypothèse centrale
improuvée depuis environ 150 ans.
3^o)
=
1/2.
ayant des zéros aux entiers pairs
laquelle les autres zéros satisfont
C
en
théorie
des
nombres
est
restée
formules sommatoires ayant une analogie formelle avec celle
de Selberg pour ces zéros. A. Connes [22] vient de
proposer un hamiltonien
quantique dont le spectre serait donné par ces zéros et ainsi une voie d'attaque
de l'hypothèse de Riemann.
Il existe des
7.
Statistiques spectrales
Pour ceci, voir [9], [25], [41], [45], [46].
Il
de
s'agit d'exprimer
de
propriétés
nature statistique d'une suite (infinie)
nombres.
Soit E\ <
la
des
E2 <
•
-
< En <
-
—
une suite infinie de nombres réels
•
vérifiant
condition asymptotique suivante:
(*)
On peut alors
étant
de
introduire plusieurs invariants statistiques,
les
simples
plus
:
la
distribution
voisin p(s),
du plus proche
- l'écart quadratique par rapport à loi uniforme sur un intervalle
2
(/) qui mesure la rigidité du spectre.
longueur /,
Par exemple, on peut poser (en supposant que ces limites existent)
X
de
test
2(/)X
:
Et de même:
mesure donc la statistique
p(s)
rigidité:
la
mesure
X
2(/)X
2
(/)
petit
des
écarts
signifie que
la
de
alors
que
presque
une
niveaux,
suite
est
E
2(/)E
2
(/)
suite
arithmétique.
Si
on
a
un
vrai spectre, la condition
(*)
n'est pas satisfaite
général,
en
mais les asymptotiques de type Weyl permettent un reparamétrage du spectre
par une fonction puissance
de
façon
Des
à
ce que
exemples:
(*) soit satisfaite.
la
distribution
de
Poisson
consiste
à
prendre
répartis de façon équiprobable dans un intervalle de longueur
quand TV tend vers l'infini. Il est bien connu qu'on a alors:
De même, on montre que
TV
TV
et la
points
limite
Figure
Les statistiques
11
spectrales
:
Poisson
et
GOE
Les spectres génériques ne sont pas poissonniens, ne serait-ce qu'à cause de
répulsion des niveaux. Il est connu depuis Wigner et von Neumann (^ 1930)
que la condition À^ = À p+ i définit un sous-ensemble de codimension 2de
l'espace des opérateurs symétriques. On s'attend donc à: /?(0) = 0 pour un
hamiltonien quantique générique. Cette répulsion de niveaux n'est pas satisfaite
la
2
2
complètement intégrables; par exemple le tore R /Z
valeurs propres dégénérées Mais le cas complètement intégrable
dans les cas
!
toutes
a
est
ses
atypique
comme on le sait depuis Poincaré.
Décrivons brièvement
GOE:
(au
la
de
sens
éléments
la
théorie GOE. On considère des ensembles
matrices
symétriques N x N dont les
variables aléatoires normales indépendantes de
thermodynamique)
i<j
de
sont des
y,
même loi. On s'intéresse alors aux statistiques spectrales lorsque N
<z
z
—*
00. On
répartit dans un intervalle (— cy/N, cy/N) avec donc
un écart moyen 2c/y/N. On renormalise en considérant \'n =
\ n et on
peut alors calculer les limites thermodynamiques des statistiques spectrales.
montre que le spectre
Le livre de Mehta
p(s)
est proche
GUE:
les
se
[41] en donne un exposé détaillé.
d'une courbe use
De même
si
s
~
l
b
suggérée par Wigner.
s'intéresse aux matrices hermitiennes on obtient
on
statistiques GUE.
Des expériences numériques:
On
s'attend donc,
d'Orsay ([9])
dès
une statistique de
et
cela
a
été
explicitement proposé par
des
physiciens
qu'à un flot géodésique chaotique corresponde
type GOE pour le spectre.
1984,
à
ce
résultats numériques sont curieux: cela marche pour le stade ou le
billard de Sinaï (tore de dimension 2 privé d'un disque), mais les expériences
menées sur certains triangles géodésiques du disque de Poincaré dont la
Les
dynamique classique a les mêmes propriétés que celles décrites plus haut
semblent montrer une dichotomie entre les triangles qui permettent de paver
H, par exemple les angles (7r/2,7r/3,7r/7) et plus généralement l'infinité de
possibilités
pour lesquels GOE ne marche pas et ceux qui ne pavent pas, par exemple
(tt/2, 7r/3,27r/15), pour lesquels GOE était vérifiée.
dichotomie n'était
Cette
comme l'ont vu il
M.-J. Giannoni.
bonne
la
pas
années E. Bogomolny, B. Georgeot et
quelques
infinité) qui pavent H un certain
connue correspondent à des sous-groupes dits
Il se trouve que, parmi les triangles (une
nombre fini dont la liste est
a
y
,
sont ceux-là pour lesquels GOE n'est pas
Je ne vais pas me lancer dans une définition précise des groupes
arithmétiques
satisfaite.
de
SL 2 (R)
et que ce
arithmétiques, mais disons que l'arithméticité a comme conséquence une
grande dégénérescence du spectre des longueurs des géodésiques périodiques.
Cette dégénérescence est elle même reliée à une famille de symétries
quantiques particulières, appellées correspondances de Hecke. Ces symétries
supplémentaires, relativement cachées, font que ces hamiltoniens quantiques
Luo et Sarnak ([4s]) ont démontré que GOE n'est
ne sont pas génériques
!
effectivement
si
pas
satisfaite dans les
Lorsque F= SL 2 (Z), H /Y
on définit, pour tout réseau
d'indice
et avec
de
n
À
:
z, les
est
z,
cas
arithmétiques.
des
l'espace
Y n (z)
R2R
2
euclidien
et
comme l'ensemble des sous-réseaux
T n ip(z)
= Y, z 'eY
ce sont les opérateurs de Hecke
opérateurs
réseaux de
n
(z)^
z^ commutent entre eux
!
lorsqu'il n'y a pas symétrie par inversion
du temps (champs magnétiques). Montgomery a remarqué en 1973 que ces
statistiques s'appliquent parfaitement aux zéros de la fonction £ de Riemann,
ce qui est cohérent avec l'approche proposée par Connes dans [22], voir aussi
Les statistiques GUE sont utilisées
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