Un condensateur quantique pour des électrons à la demande

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Uncondensateur quantique
pour desélectronsàlademande
Article proposé par:
GwendalFève,[e-mail]
Jean-Marc Berroir,[e-mail]
ChristianGlattli,[e-mail]
BernardPlaçais,[e-mail]
LaboratoirePierreAigrain, UMR 8551, CNRS/ENS Paris/UPMC/Univ.Paris 7/Collège de France, Paris
La dualité onde-corpuscule desélectronsaffecte profondémentlespropriétésde transport desnano-circuits.Ces
effets peuventmaintenantêtre étudiésdansle régime haute fréquence pertinentpour lesapplicationsfutures
en nano-électronique. Un processus aprioriaussisimple que la charge d’uncondensateur doitêtre
profondément reconsidéréàlalumière de laphysique ondulatoire. L’aspectcorpusculaire peut,quantàlui,être
misàprofitpour réaliser une source d’électrons uniquesqui permetd’envisager une optique quantique
électronique.
amécanique quantique est indispensable pour
comprendrecertainespropriétésfondamentales
des solidescristallins.Ainsi,lesinterférencesentre
lesondesélectroniquesdiffuséesparlesatomesducristal
sontàl’origine de laformation desbandesd’énergie des
métaux et semi-conducteurs usuels.Enrevanche,lespro-
priétésde transport de cesmatériaux, comme leur con-
ductivité électrique,sontbien décritesaupremierordre
pardesmodèlesclassiques:lescollisionsélastiquesou
inélastiques subiesparlesélectronsbrouillent sanscesse
laphase de leur fonction d’onde etempêchent toute mani-
festation de leur caractère ondulatoire. Plus précisément,
deux échellesde longueur caractérisentle transport élec-
tronique dansles solides:
–le libre parcours moyen représente ladistance
moyenne parcourue par un électron entre deux collisions.
C’est lui qui gouverne larésistance électrique des systè-
mesclassiques:plus il est long,plus larésistance est
faible ;
–lalongueur de cohérence de phase est ladistance
moyenne parcourue par un électron sansque laphase de
safonction d’onde soitaltérée. Comme lalongueur de
cohérencetemporelle en optique,elle conditionne l’obser-
vation d’interférences.Comme en optique,la cohérence
est limitée parlalargeur de ladistribution en énergie des
particules(photonsen optique,électronsdansles solides).
Aladifférence de l’optique,elle est aussi limitée parles
interactionsdesélectronsavecl’environnementqui indui-
sentdesphénomènesde décohérence.
Lorsque lataille d’un dispositif est inférieureaulibre
parcours moyen etàlalongueur de cohérence de phase,
lesélectrons s’y propagent sans subirde collisionsetla
phase de leur fonction d’onde est bien définie. On est
alors dans unrégime de transport ditbalistiquecohérent,
oùlesélectrons se déplacentlibrement, comme despho-
tonsdansle vide. Cerégime est le plus propiceàl’observa-
tion ducaractère ondulatoire desélectrons.
Depuislesannées1980,lamaîtrise des techniques
d’élaboration desmatériaux associée aux progrèsdes
micro puisnanotechnologiesapermisl’observation
directe d’effets quantiquesdanslespropriétésde trans-
port.Parmi l’ensemble des systèmesétudiés,lesgazbidi-
mensionnelsd’électronsde trèshaute mobilité obtenus
dansdeshétérojonctionsde semi-conducteurs GaAlAs/
GaAsont suscitéun grand intérêtcarilspermettent
l’observation du régime de transport balistiquecohérent
pour desdispositifsde taille microniqueaux températu-
rescryogéniques.Parailleurs,en appliquant un fort
champ magnétique perpendiculairementauplan d’élec-
trons,on peut atteindre le régime d’effetHall quantique,
danslequel lesélectrons se déplacent sur descanaux uni-
dimensionnelsle long desbordsdugazd’électronsdans
unsensimposé parle champ magnétique etavecunspin
bien déterminé. On peut alors réaliserdes situationsana-
loguesàlapropagation de photonsdansdesfibresopti-
ques.C’est parexemple avec cetype de conducteurs qu’on
apu récemment réaliserdesinterféromètresélectro-
niquesde type MachZehnderouFabry-Pérot tout àfait
analoguesà ceux de l’optique.
Lespropriétésà basse fréquence desconducteurs
balistiquesontété largementexploréeset sontmainte-
nantbien connues.L’étude ducourantélectrique provo-
qué par une excitation de tension continueainsi quecelle
L

Uncondensateur quantique pour desélectronsàlademande
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de sesfluctuationsà basse fréquence, associéesaucarac-
tère granulaire de la charge électrique (bruitde grenaille)
ontpermis une compréhension fine desmécanismesdu
transport quantique. Ellesontégalementmisen lumière
le rôle primordial de lastatistique fermionique desélec-
tronsquirend lesconducteurs balistiquesnaturellement
non-bruyants.C’est làune différence essentielle avecle
transport balistique de photons.
Ilreste en revanche beaucoupà apprendre du régime
hautesfréquencesdesconducteurs balistiquesqui n’aété
que peuexploréaumoinsexpérimentalement.Depuis une
dizaine d’années,le groupe de physique mésoscopique du
LaboratoirePierreAigrain de l’Ecole Normale Supérieure
explorecerégime avecun double questionnement:
–Quels sontleseffets de la cohérence desfonctions
d’onde électroniques sur le comportementdesconduc-
teurs balistiquesaux tempscourts ?Il est fondamental de
répondreà cette question si l’on veut envisager une nano-
électroniquecohérenterapide,qu’elle soitbasée sur des
composants conventionnelsaux dimensionsde plus en
plus réduitesou sur desconducteurs moléculairescomme
parexemple lesnanotubesde carbone. Danscetarticle,on
montrera ainsi qu’un problème aussisimple quecelui du
tempsde charge d’uncondensateur faitapparaître des
comportements surprenants dèslors que la cohérence des
fonctionsd’onde électroniquesest maintenuesur au
moins une de sesarmatures.
–Peut-on manipulerdesélectrons uniquesdansdes
conducteurs balistiques sur des tempscourts par rapport
au tempsde cohérence ? On pourraitainsiréaliseravec
desélectrons uniquesdesexpériences similairesà celles
de l’optique quantique etexplorerde nouvelles routes
pour le traitementquantique de l’information. On présen-
teraiciune première étape quiconsiste en laréalisation,à
l’aide d’uncondensateur quantique,d’une source d’élec-
trons uniquescontrôlée àl’échelle du tempsde cohérence,
analogueaux sourcesde photons uniquesde l’optique.
Uncondensateur quantique
Quel est le tempsde charge d’unconden-
sateur quantique ? Cette question,en appa-
rencesimple,étudiée théoriquementdans
lesannées1990,n’avaitpasjusqu’alors été
abordée expérimentalement.
A cette fin,nous avons réalisé laversion
quantique ducircuitRC desmanuelsd’élec-
trocinétique,dont une vue d’artiste est pré-
sentée sur lafigure1 .La premièrearmature
ducondensateur est constituée d’une petite
portion (ouîlot) d’un gazbidimensionnel
d’électronsdontlataille caractéristiquesub-
micronique est inférieureàlalongueur de
cohérence électroniqueaux trèsbasses tem-
pératures,de l’ordre de ladizaine de milli-
Kelvin. Une électrode métallique est dépo-
sée en regard de l’îlotàune centaine de
nanomètresdugazd’électronsformantainsi ladeuxième
armature d’uncondensateur de capacité de l’ordre du
femto-Farad.
La résistance quicouple le condensateur au réservoir
de chargesformé du reste dugazd’électronsest une bar-
rièretunnel de transmission variable, appelée contact
ponctuel. Untel dispositif,représentéfigure2a ,est consti-
tué de 2grillesmétalliquesen regard qui définissent,par
effetélectrostatique,une constriction dugazd’électrons
lorsqu’elles sontpolariséesnégativementpar rapport au
gaz.La tension de polarisation V Gcontrôle le nombre de
canaux électroniques transmisàtravers la constriction,
comme lalargeur d’un guide d’onde électromagnétique
contrôle le nombre de modesquis’y propagent.Onsait
depuisLandauerqu’à chaquecanaltransmisest associé
un quantum de conductancee2 /h etque larésistance
RCPQ ducontactponctuel est une mesure de latransmis-
sion desondesélectroniques.Lorsquetous lescanaux
sontcomplètement réfléchis,R CPQ est infinie. En ouvrant
progressivementla constriction,on atteintR CPQ =h/e 2
lorsque le premiercanal est complètement transmis.
Entreces2situations,le contactponctuel secomporte
comme une barrièretunnel de transmission ajustable D
(0≤D≤1) etlarésistance est donnée parlaformule de
Landauer:RCPQ =h/De 2 .Danscetarticle,on se limiteraà
cerégime en considérant uncontactponctuel àuncanal
de conduction.
Pour étudierlarelaxation de charge ducondensateur à
travers le contactponctuel,on appliqueune différence de
potentiel V exc (t) entre l’armature métallique ducondensa-
teur etle réservoirqui provoqueuntransfert de charge du
réservoir vers l’îlot.Pour une excitation harmonique de
pulsation,lamesure de l’amplitude ducourantélectrique
circulantdansle circuitetcelle de son déphasage par rap-
port àl’excitation permettentde déterminer, comme dans
uncircuitRC classique,la charge transférée vers l’îlotetle
tempscaractéristique de cetransfert.Une telle mesure
Figure 1 – Vue d’artiste d’uncircuitRC quantique. Le gazélectronique,localiséàenviron 100 nm
de lasurface de l’échantillon,est représenté en bleu,lesgrillesdéposéesen surface etle réservoir
sonten jaune. Les tensionsde polarisations sontindiquées.

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Uncondensateur quantique pour desélectronsàlademande
fournitl’impédancecomplexe ducircuitZ( ω )=R+1/jC ω
oùRest larésistance de relaxation de charge ducircuitet
Csa capacité. Letempscaractéristique du transfert de
charge est donné parτ=RC.
Pour un dispositif décritparlesloislocalesde l’électro-
cinétiqueclassique,larésistanceRetla capacitéCpour-
raientêtre déterminéesindépendammentet séparément.
Comme on l’avu ci-dessus,larésistance d’uncontact
ponctuel isolé est donnée parlaformule de Landauer
R CPQ =h/De 2 .De manièresurprenante,lamesure de la
résistance de relaxation de charge ducircuitRC quantique
fournit unrésultatbien différent:dansle casgénéral,R
ne dépend pasdirectementde latransmission Dmaisdu
tempsmoyen de résidence desélectronsdansla capacité.
De manière encore plus surprenante,dans une géométrie
àuncanal de conduction, comme celle que nous considé-
ronsici, R est constante,indépendante de latransmission
etégale audemi-quantum de résistance h/2e 2=12,9k Ω.
De même Cdiffère fortementde ce que donnerait une
mesure ducondensateur isolé. Comme on le verra ci-des-
sous, ces2effets sontdesmanifestationsdirectesdu
caractère ondulatoire desfonctionsd’onde électroniques.
La non-localité induit une violation desloisclassiques
d’addition desimpédances.
Une capacité d’origine quantique
L’association ducontactponctuel etde l’îlotest appe-
lée boîte quantique,représentée schématiquement
figure2b .Ce dispositif est l’analogue d’une cavitéFabry-
Pérotoptique pour lesélectrons.La nature
ondulatoire du transport électronique
entraîne une quantification desniveaux
d’énergie de la boîtetout àfait similaireaux
résonancesd’une cavité optique:dansce
cadre,on saitqu’un photon incidentne peut
êtretransféré dansla cavité quesi laphase
accumulée lors d’unaller-retour est un mul-
tiple entierde 2π .Cettecondition de réso-
nance est satisfaite pour certaines valeurs
discrètesde l’énergie duphoton incident,
multiplesentiers de h.c/l oùl est lalongueur
de la cavité etcla célérité de lalumière. Il en
vade même pour lesondesélectroniquesen
remplaçantcparlavitesse desélectrons
v≈10 5 m·s–1.Pour une longueur de cavité
de l’ordre dumicron,l’écart Δentre
2niveaux d’énergie de la boîte est de l’ordre
de quelquesKelvin. Cettereprésentation des
états de la boîte en terme de niveaux d’éner-
gie bien résolus n’est valable que lorsque la
transmission Dducontactponctuel est fai-
ble (c’est-à-dire lorsque l’îlotest trèspeu
couplé au réservoirde charge). LorsqueD
augmente,l’énergie desniveaux est moins
bien définie avecun élargissementD Δ , ana-
logueàl’élargissementdes résonancesd’un
interféromètre optiqueFabry-Pérotassocié à
une diminution de laréflectivité desmiroirs.Pour carac-
térisercette évolution,on utilise lanotion de densité
d’états ρ (ε ) (ounombre d’états par unité d’énergie) qui,
comme le montre lafigure2c ,passecontinûmentd’une
distribution de picsbien définisàune valeur uniforme
1/ ΔlorsqueDpassede0à1.
Aladensité d’états ρ ( ε ) est associée une capacité d’ori-
gine quantique dontlasource est le principe d’exclusion de
Pauli qui fixe les règlesde remplissage desniveaux d’éner-
gie. Atempérature nulle,tous lesniveaux d’énergie de la
boîtesituésaudessous de l’énergie de Fermi sontoccupés.
Si le potentiel électrochimique (c’est-à-dire l’énergie de
Fermi) de l’îlot varie d’une quantité infinitésimale dU,
dN=ρ ( ε F )dUniveaux d’énergie seremplissententraînant
ainsiune variation de la charge de l’îlotdQ=eρ ( ε F )dU, oùe
est la charge électronique. Ilenrésulteune capacité quanti-
que (différentielle) C Q=e 2ρ ( ε F ),de l’ordre dufemto-Farad
dansnosexpériences.Celle-cis’ajoute en série àla capacité
électrostatiqueusuelle définie parlagéométrie desélectro-
desducondensateur de sorte que laplus petite descapacités
domine. Pour uncircuitclassique,ladensité d’états est très
grande etjoueunrôle marginal. La capacitétotale s’iden-
tifie alors avecla capacité géométrique. Dans unsystème
mésoscopique,ladensité d’états peut devenir suffisam-
mentfaible etle terme de capacité quantique dominant.
La capacité quantique est au senslittéral la capacité de
la boîteàvoir sa charge varier.Lorsqu’un niveaud’énergie
de la boîte est résonantàl’énergie de Fermi (c’est-à-dire
quand ρ (ε F ) est maximum),l’occupation de ce niveaupeut
varierpar transfert tunnel vers le réservoir,entraînant une
Figure2–(a)Contactponctuel séparantdeux partiesd’un gazélectronique (bleu),reliéesàdes
réservoirs (gris). Letrait rouge représenteuncanal de bordunidimensionnel dontlatransmis-
sion Dpeut êtreajustée àl’aide de grilles(jaune). Lesensde propagation est imposé parle champ
magnétiqueB. (b)Boîte quantique formée d’uncontactponctuel contrôlantle couplage entreun
îlotet unréservoir. (c)Niveaux d’énergie (axevertical etpointillés) etdensité d’états (axe horizon-
tal,distribution grisée) d’une boîte pour deux transmissionsD 1etD 2( >D 1 ) ducontactponctuel.
Onareprésenté2niveaux de la boîteséparésd’une énergie Δ .La largeur despicsde densité
d’états est D Δ .Le niveaude Fermi (tirets bleus) indique le remplissage électronique. Dansle réser-
voiron auncontinuum de niveaux remplis(bleu).

Uncondensateur quantique pour desélectronsàlademande
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variation de la charge de la boîte. Ona alors un maximum
de la capacité. Aucontraire,dans une situation hors réso-
nance (i.e. ρ (ε F )≈0),la charge de la boîte est un nombre
entierd’électronsetne peut varier,on ditqu’elle est quan-
tifiée. La capacité de l’îlotest alors nulle. Notonsque la
capacité quantique, comme ladensité d’états,est aussi
fonction de latransmission ducontactponctuel. La capa-
cité de l’îlotne peut doncêtre définie indépendamment
du reste ducircuit.Cecireflète le caractère non-local des
états électroniques.
La figure3présente lesmesuresdesparties réelle et
imaginaire de l’impédance de deux circuits RC quanti-
ques typiquesdanslagamme duGHz, correspondantau
tempsattendude relaxation de charge.
Le dispositif de mesure est décritdansl’ encadré .Les
résultats sontprésentésen fonction de latension V G
appliquée sur lagrille qui permetle contrôle de latrans-
mission Ddesondesélectroniquesàtravers le contact
ponctuel quantique (CPQ). Aux tensionsde grille lesplus
négatives,lesondesélectroniques sont totalement réflé-
chiesparla barrière (D=0) etl’îlotest isolé du réservoir
tandisqu’on atteint une transmission unité pour le pre-
miercanal de conduction danslagamme supérieure de
tensionsgrille.
Parcouplage électrostatique,VGpermetégalementde
décalerl’énergie desniveaux électroniquesde la boîte par
rapport auniveaude Fermi du réservoir.
On observesur lafigure3de fortesoscillationsde la
partie imaginaire de l’impédance,quis’élargissentet
s’estompentlorsque latransmission augmente. Ces
oscillations sontassociéesaudéfilementdespicsde den-
sité d’états de la boîte en face duniveaude Fermi du réser-
voir.Danscecas,la capacité fournit une détermination
directe de ladensité d’états etpermetdoncde réaliserla
spectroscopie de l’îlot.
Une résistance de relaxation
de charge quantifiée etconstante
Onconstate également sur lafigure3que
larésistance de relaxation de charge (partie
réelle de l’impédance) est constante,égale au
demi-quantumderésistance h/2e 2 ,sur une
large gamme de tension grille V Gdansle
domaine desfortes transmissions.Elle est en
particulierindépendante de latransmission
Dducontactponctuel contrairementàsa
résistanceusuelle donnée parlaformule de
LandauerR CPQ =h/De 2 .Pour comprendre
cerésultat, considérons un paquetd’onde
électroniqueàl’énergie de Fermi qui entre
dansla boîte etyséjourne untempsτ Savant
d’en ressortir.La mécanique ondulatoire per-
metde déterminerτ Sde manière exactement
analogueaucalcul du tempsde séjour d’un
photon dans un interféromètreFabry-Pérot.
τ Sest reliée àladensité d’états de la boîte
auniveaude Fermi parτ S=h ρ ( ε F ). On
comprend alors que le tempsde relaxation de charge τqui
correspond simplementàl’entrée ouàlasortie d’une
charge de la boîte est donné par:τ=τ S /2.La capacité quan-
tique étantégale àe 2 ρ ( ε F ),on déduitR=h/2e 2 .Cerésultat
est une nouvelle preuve ducaractère purementondulatoire
du transport électronique dansla boîte. Là encore,on peut
voir une manifestation de lanon-localité puisque larésis-
tance de relaxation de charge diffère de larésistanceusuelle
ducontactponctuel.
Commentleseffets quantiques s’estompent
aveclatempérature
La figure3montre égalementque pour lesfaibles
transmissions(valeurs lesplus négativesde V G ),larésis-
tance de relaxation de charge cesse d’êtreconstante et
diverge quand on s’approche d’une transmission nulle.
Comme on l’expliqueci-dessous, cette divergence marque
une transition vers uncomportementclassique ducircuit.
Nous n’avonspour l’instantpas tenucompte de ladistri-
bution énergétique desélectronsémisparle réservoir.La
largeur de cette distribution est donnée parl’agitation
thermiquekB T, oùkBest la constante de Boltzmann.
Cette distribution en énergie définitla cohérencetempo-
relle du réservoircomme dansle casdes sourcesoptiques.
Letempsde cohérence h/k B Test de l’ordre de lananose-
conde pour des températuresde quelquesdizainesde
milli-Kelvin. Letempsd’unaller-retour dansla cavité est
égalàh/Δ ,oùΔest l’écart entre niveaux de la boîte. S’il est
plus grand que le tempsde cohérence,leseffets d’interfé-
rencesélectroniquesdisparaissent totalement.La densité
d’états dansla boîtes’identifie alors àsavaleur moyenne
1/ Δ .Letempsde relaxation de charge peut alors être
obtenuen sommantnon plus lesamplitudesmaislespro-
babilitésde faire 1,2,… ouNtours dansla cavité. On
obtientainsiτ≈h/D Δet une résistance de relaxation de
Figure3–Parties réelle, R (AetC) etimaginaire,1/C ω(BetD) de l’impédance de deux circuits
RC, E1 etE3,différantparlataille de l’îlot,en fonction de latension desgrillesdescontacts ponc-
tuels.Lesincertitudesexpérimentales sur lamesure de Rsont représentéespardes traits hachurés.

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Uncondensateur quantique pour desélectronsàlademande
charge R≈h/De 2asymptotiquementdonnée parlafor-
mule de Landauer.Comme attendu,laperte de cohérence
contribueàrendre le circuitclassique etàgommerles
effets de non-localité.
Dansnosexpériences,l’élargissement thermique de la
source est plus petitque l’écart entre niveaux Δ .Pour les
faibles transmissions,il est néanmoinsplus grand que la
largeur desniveaux D Δetleseffets ondulatoirescommen-
centàs’estomper.C’est l’origine de ladivergence de la
résistance observée aux faibles transmissions.
Nosobservationsexpérimentalesmontrentque les
effets ondulatoiresmodifientprofondément un processus
aussisimple que la charge d’uncondensateur.Une future
nano-électroniquecohérente et rapide se devrade prendre
en comptecetype d’effets.
Une source d’électrons uniques
cohérente etcontrôlée àl’echelle
sub-nanoseconde
La quantification de la charge de la boîte discutée dans
lasection précédente peut être miseàprofitpour réaliser,
avecle même dispositif,une source d’électrons uniques
analogueaux sourcesde photons uniquesde l’optique.
Principe de Pauli eteffet tunnel
àl’œuvre
Partantd’une situation hors résonance oùle niveaude
Fermi du réservoirest exactement situé entre2picsde la
densité d’états de la boîte,il faut fournirau système une
Mesuresd’impédanceaux giga-hertz etmilli-kelvin
Encadré
Figure – Dispositif expérimental. La puce électronique étudiée (a) est insérée dans uncircuitRF coplanaire (b)thermaliséàla chambre de mélange
d’unréfrigérateur àdilution (c). Les signaux GHz sontémispar un générateur RF (voir schémaélectrique d). La large ouverture fréquentielle expose les
électronsau rayonnement thermiqueambiant(300 K) dontil est nécessaire de se protéger soigneusement.Les signaux de sonde sontdoncfortement
atténuésaux différents étagesdu réfrigérateur (d). Lecourant traversantle circuitest mesurésur une charge de 50Ωadaptée aux ligneshyper-
fréquences.Les tensionsainsi générées,de l’ordre de la centaine de pico-volts,nécessitent une électroniqueRF ultra basbruitdontl’élémentessentiel
est unamplificateur cryogénique (e). Lescomposantesen phase ethors phase ducourant sontmesuréespardétection homodyne (f et schémaélectrique
d) avecune précision de phase inférieureaudegré. Lesmesuresdansle domaine temporel sont réaliséesen remplaçantladétection homodyne par une
carte d’acquisition etmoyennage rapide.