Eléments de magnétisme 2

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9
4 Circuits magnétiques
4.1 Notion de Réluctance
Un circuit magnétique (CM) est un parcours fermé en
matériau de très grande perméabilité qui canalise le
champ magnétique.
Dans le cas idéal, le champ est entièrement confiné
dans le circuit qui constitue alors un tube de champ.
Le flux tout le long du circuit est alors constant.
La magnétisation peut être obtenue par un aimant ou
par une bobine de N spires parcourue par un courant
I.
Un cas simple de CM est celui d’un anneau homogène
de section rectangulaire. Les lignes de champ sont
des cercles concentriques.
Afin de déterminer le flux
ϕ au travers d’une section
du CM, appliquons le
théorème d’Ampère le long
du cercle C de rayon r. Le
long de ce parcours le
champ est tangentiel,
l’angle entre le champ et
l’élément de parcours est
toujours nul. De plus, H ne
dépendant que de la
distance au centre, il est
donc constant le long de C.
Ainsi
∫
C
dlH. = H
∫
C
dl
∫
C
dlH. = H. 2 π r = H. l
Ce parcours enlace les N spires donc :
H. l = N. i ce qui permet d’écrire H =
l
Ni
En supposant le matériau non saturé, B s’obtient par
B = µ H = µ
0
µ
r
H.
Le champ dépend de r, il est un peu plus fort à la
corde qu’à l’extérieur. Pour le calcul du flux, il
faudrait donc faire une intégrale. Cependant on peut
trouver une ligne de champ pour laquelle le champ est
égal à la « moyenne ». Cette ligne de champ est
appelée « fibre moyenne » (voit TD).
Cet artifice permet d’accéder simplement au flux
par : ϕ = B
moy
.S
soit encore ϕ = µ H
moy
.S = µ
moy
Ni
l
S
Notes personnelles
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ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
1
=
ϕ
2
=
ϕ
3
N
i
H
C
fibre moyenne

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∫
C
dlH. =
∫
B
A
dlH 11 . +
∫
C
B
dlH 22 . +
∫
A
C
dlH 33 .
∫
C
dlH. = H
1
l
1
+ H
2
l
2
+ H
3
l
3
= N. i = ε avec
H
1
=
11 µl
ϕ
H
2
=
22 µl
ϕ
H
3
=
33 µl
ϕ
Ainsi :
1
1
1 S
.
µ
1l
ϕ +
2
2
2 S
.
µ
1l
ϕ +
3
3
3 S
.
µ
1l
ϕ = ε
ℜ
1
ϕ + ℜ
2
ϕ +ℜ
3
ϕ = ε = ℜ
eq
ε
ce qui donne ℜ
eq
= ℜ
1
+ ℜ
2
+ℜ
3
On peut généraliser en disant que la réluctance de n
tronçons successifs formant un circuit magnétique
est égale à la somme des réluctances de chaque
tronçon pris séparément. Ce qui est analogue à la loi
d’addition des résistances pour les circuits
électriques.
Tronçons bifurqués (en dérivation)
Si on entoure la bifurcation par une surface fermée,
le flux total au travers de cette surface est nul
(conservation du flux)
Le flux entrant est donc égal à la somme des flux
sortants ϕ
1
= ϕ
2
+ ϕ
3
cette loi est l ‘équivalent de la loi des nœuds pour les
circuits électriques.
Entre les points A et B la différence de potentiel
magnétique ε
AB
vaut :
ε
AB
= R
2
ϕ
2
en passant à droite ou
ε
AB
= R
3
ϕ
3
en passant par la gauche.
En notant ε la force magnétomotrice de la bobine ε =
N i le flux au travers du CM s’obtient par :
ϕ = µ
moy
S
l
ε
En posant µ
moy
S
l
=
ℜ
1
soit encore
ℜ
ℜℜ
ℜ =
Sµ
1
moy l
ℜ est la réluctance du circuit
magnétique, elle se mesure en ampère-tour par
weber [A.tr/Wb]
cela donne : ϕ
ϕϕ
ϕ =
ℜ
1
ε
εε
ε
Cette équation porte le nom de loi d’Hopkinson
Elle est à rapprocher de la célèbre loi d’ohm :
i =
R
1
e où i est le courant, R la résistance et e la
force électromotrice.
Nous voyons qu’il y a une certaine similitude entre les
circuits électriques et les circuits magnétiques. Cela
est mis à profit en faisant une analogie entre les
problèmes :
La réluctance est donc au CM ce qu’est la résistance
aux circuits électrique. De même, les circuits
magnétiques canalisent le flux alors que les
conducteurs canalisent le courant électrique.
4.2 Circuits magnétiques composites
Tronçons successifs (en série)
La perméabilité de chaque tronçon est très grande, il
n’y a donc aucune ligne de champ qui sort du CM. Le
flux est donc constant le long du circuit. ϕ = cte → ϕ
= B
1
S
1
= B
2
S
2
= B
3
S
3
ϕ = µ
1
H
1
S
1
= µ
2
H
2
S
2
= µ
3
H
3
S
3
l
2
µ
2
S
2
l
3
µ
3
S
3
ϕ
3
ϕ
2
ϕ
1
R
1
R
2
R
3
ε
ϕ
1
⇔
⇔ ⇔
⇔
ϕ
2
ϕ
3
A
B
Circuit magnétique Circuit électrique
Réluctance
Résistance
ℜ
=
Sµ
1
moy l
R =
Sσ
1
moy l
ε
= Ni Force magnéto-motrice e Force électromotrice
Courant
i
Flux
ϕ
l
1
µ
1
S
1
l
2
µ
2
S
2
l
3
µ
3
S
3
A
B
C
R
1
R
3
R
2
ε
ϕ
⇔
⇔⇔
⇔

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Si l’on veut remplacer les deux tronçons bifurqués
par un seul tronçon équivalent il faudra que ε
AB
= R
eq
ϕ
1
ce qui donne :
ϕ
1
=
eq
AB ε
ℜ
ϕ
2
= 2
AB ε
ℜ
ϕ
3
= 3
AB ε
ℜ
ϕ
1
= ϕ
2
+ ϕ
3 →
eq
AB ε
ℜ
= 2
AB ε
ℜ
+ 3
AB ε
ℜ
soit
eq
1
ℜ
= 2
1
ℜ
+ 3
1
ℜ
Expression que l’on peut généraliser à n tronçons
bifurqués. Là encore, on trouve une analogie avec les
circuits électriques.
4.3 Inductance de la bobine :
Si on s’intéresse à la bobine qui crée la force
magnéto-motrice, nous pouvons écrire :
ε = R ϕ = N i
si la réluctance du circuit magnétique est notée R. et
ϕ le flux au travers du CM.
Ce qui donne : ϕ =
ℜ
Ni
Le flux total au travers des N spires de la bobine
vaudra Φ = Nϕ
Le flux total est proportionnel au courant Φ = L i
Le coefficient de proportionnalité étant l’inductance
de la bobine.
L i =
ℜi
N
2
ce qui donne : L =
ℜ
N
2
En rajoutant à une bobine un circuit magnétique de
très faible réluctance on augmente considérablement
son inductance.
Attention cependant, au-delà d’une certaine valeur,
le matériau magnétique se sature :
L’expression précédente n’est vraie que pour
i < I
sat
=
L
Φ sat
=
LSN.B
sat.
Au-delà de I
sat
le flux de la bobine n’augmente plus,
elle n’oppose donc plus de force électromotrice
induite aux variations de courant ce qui fait que son
inductance est nulle ;
Notes personnelles
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B
H
B
sat
L
ϕ
R

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Si Φ = cte = Φ
sat
alors
dt
dφ
= 0
Ce phénomène est considéré, la plupart du temps
comme un défaut ; par exemple dans le
transformateur d’impulsions.
Cependant, il y a quelques cas où
on peut le mettre à profit en
réalisant une inductance saturable
(p.e. dans les
régulateurs magnétiques de tension). Le symbole
représentant une telle inductance est surmonté
d’une ligne brisée qui rappelle cette propriété :
Un autre phénomène est également à prendre en
compte, il s’agit des fuites magnétiques :
Certaines lignes de champ se referment dans l’air et
non dans le CM car les spires ne sont pas « collées »
au CM, de plus il est fréquent qu’il y en ait plusieurs
couches.
Ainsi, peut-on considérer le flux total Φ
T
comme la
somme du flux principal Φ
P
et du flux de fuites Φ
F
:
Φ
T
= Φ
P
+ Φ
F
= N ϕ
P
+ Nϕ
F
= L i
L’inductance totale est donc la somme de deux
inductances L =
i
T Φ
=
i
P N ϕ
+
i
TN ϕ
= L
P
+ l
F
avec L
P
=
P
2
ℜ
N
et l
F
=
F
2
ℜ
N
pour lesquelles R
P
et R
F
sont les réluctances principales et de fuites.
Si l’inductance principale risque de se saturer
puisque sa réluctance est due au matériau
magnétique, il n’en est pas de même pour l’inductance
de fuites dont le circuit magnétique se referme dans
l’air.
5 Bobines à noyau de fer
5.1 Conventions de notation
Soit un circuit magnétique de réluctance ℜ sur lequel
sont bobinées n spires.
La bobine est soumise à la tension v délivrée par une
source variable.
La tension provoque un courant i . Le courant crée, au
travers du circuit magnétique, un flux ϕ dont les
variations induisent une f.e.m. e qui suit la loi de
Faraday.
La bobine est orientée suivant la convention
Récepteur.
Le point repère la « borne d’entrée ». : un courant
entrant par la borne repérée crée un flux positif.
La résistance du fil de la bobine, notée r, est
considérée comme négligeable. Ainsi :
v = - e + r.i ≈ - e
Le générateur est une source de
tension parfaite.
Schéma électrique équivalent au
montage.
Le flux total de la bobine est noté φ, il est égal à la
somme du flux de chaque spire. φ = n .ϕ
Il est directement proportionnel au courant i :
φ = Li où L est le coefficient d’auto-induction de la
bobine (inductance L =
ℜ
n
2
)
5.2 Régime permanent sinusoïdal
La source impose une tension de la forme :
v(t) = 2 V
eff
cosωt
Comme v = -e et que e = -
dt
d
Φ
cela donne :
dt
d
Φ
= 2 V
eff
cosωt soit et en régime permanent
sinusoïdal établi : φ =
ω
ωω
ω
2
V
eff
sinωt ce qui donne pour
ϕ une variation de la forme :
Inductance saturable
Flux de fuites
Flux principal
ϕ
P
ϕ
F
ϕ
T
i
e
+
v
r
Circuit magnétique
ℜ
=
Sµ
1
moy l
ϕ
+
i
e
+
v
n spires
Source
G

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ϕ =
n
.
2
ω
ωω
ω
V
eff
sinωt
Le circuit magnétique fonctionne donc à flux
sinusoïdal forcé par la source de tension.
La densité de flux B varie suivant l’équation :
B(t) =
S
ϕ
ϕϕ
ϕ
=
S
.
n
.
2
ω
ωω
ω
V
eff
sinωt
La valeur maximale atteinte par B(t) est :
B
max
=
S
.
n
.
2
ω
ωω
ω
V =
S
.
n
.
f
.
2
2
π
ππ
π
V
eff
Nous pouvons tirer de cette équation une formule
liant la valeur efficace de la tension à la valeur
maximale de la densité de flux :
V
eff
=
2
2
π
ππ
π
.f.n.Bmax.S = 4,44 f.n.Bmax.S
dite « Formule de Boucherot »
Par ailleurs, le courant i se déduit par i = φ/L
i
(t)
=
ω
ωω
ω
L
2
V
eff
sinωt
5.3 Influence de la saturation
La saturation étant un phénomène non linéaire, nous
pouvons établir l’allure du courant absorbé par la
bobine en utilisant la courbe de première
aimantation. Il est alors nécessaire d’établir une
construction graphique donnant i
(t).
à partir de
l’évolution de B(t) qui elle est imposée par la source.
ϕ
ou i
t
0
v
B (T)
ou ϕ
H (A/m)
ou i
saturation
1
ère
aimantation
v
0
t
B
0
v
i
V
max
B
max
=
n.S
V ma
f..π2
x
θ
=
π
/2
Fondamental de i
La bobine fonctionne à flux forcé.
La tension maximale V
max
impose au champ
magnétique d’atteindre la valeur B
max
Dans le coude de saturation, le courant I
max
nécessaire pour atteindre B
max
est bien
supérieur à la valeur qu’il atteindrait si la
magnétisation était linéaire.