Amplification

Systèmes Electroniques
TD2-3
Amplification
Prérequis : Le quadripôle : principe de représentation, utilisation. Impédances d’entrée et impédances de
sortie. AOP : fonctionnement linéaire, AO idéal et réel.
Introduction
L’amplificateur d’instrumentation
Si, dans la plupart des cas, le modèle parfait de
l’amplificateur opérationnel suffit pour la mise en
équation au 1er ordre, il existe des limitations
physiques qu’il faut parfois prendre en compte
selon l’application considérée.
Nous nous proposons d’étudier deux cas
particuliers : le slew rate (imperfection dynamique)
et la réjection de mode commun (imperfection
statique).
La tension de mesure issue d’un capteur est une
tension différentielle entre deux points de mesure :
Vd =V1 -V2 (cf. figure 3).
Vd
capteur
Vd
V1
V2
V1
V2
Vmc
Le slew rate
Le slew rate indique la vitesse maximale de
variation de la tension de sortie. C’est donc un
paramètre critique pour les applications à haut
débit.
La limitation de slew rate est due à deux
paramètres: le courant maximal de sortie et la
capacité de charge présente en sortie. En effet, le
schéma de la figure 1, montre que pour une valeur
de C fixée et un courant Is limité à Ismax, la pente
dVs /dt ne peut dépasser SR=Ismax/C.
Pour caractériser le slew rate d’un amplificateur
opérationnel, on utilise le montage suiveur
représenté figure 2.
Is
Vs
C
Fig.1
-
Ve
&
+
Fig.2 : montage suiveur
1. Donner l’allure de la tension de sortie Vs pour
une tension d’entrée Ve sinusoïdale :
Ve= Vmax sin(ωt)
1.1 À quelles conditions Vs est-elle parfaitement
identique à Ve.
1.2 Donner l’allure de la tension Vs dans le cas
où Vmax.ω << Slew Rate.
_
TD2-3
Fig.3 : définition des tensions différentielle et
de mode commun
On définit la tension de mode commun Vmc comme
étant la tension commune à V1 et V2 qui ne contient
pas d’information. Dans certains cas, elle peut être
très supérieure à la tension différentielle Vd .
Les deux tensions V1 et V2 peuvent s’écrire:
V1 =Vmc+Vd /2 et V2 =Vmc-Vd/2.
Soit un amplificateur dont la tension de sortie Vs
dépend de deux tensions V1 et V2 , la tension de
sortie de cet amplificateur vaut Vs0 quand V1 =V10 et
V2 =V20 , cet état correspond à l’état stationnaire ou
encore état de repos.
La tension de sortie s’exprime par la relation
suivante :
Vs = A1 .V1 + A2 .V2
Pour mesurer A1 , il suffit de faire V2 =0 et de
mesurer Vs /V1 . On procède de même pour A2
(V1 =0).
La relation précédente devient :
Vs = ½ (A1 -A2)Vd + ½ (A1 +A2 )Vmc
On définit généralement le gain différentiel
Ad =½(A1 -A2 ) et le gain en mode commun
Amc=½(A1 +A2) :
Vs = Ad Vd + AmcVmc
1. Nous commencerons par l’étude d’un
amplificateur d’instrumentation à deux étages
représenté figure 4.
1.1
En considérant les amplificateurs
opérationnels comme idéaux, exprimer la
2002-2003
tension de sortie Vs en fonction des deux tensions
V1 et V2 . Donner l’expression du gain différentiel
et du gain de mode commun.
R1
figure 4 comme réel, recalculer la nouvelle
expression de Vs .
R1(1-X)
R2
R2(1+X)
A R1
R2
-
-
&
+
R1 (1+X)
-
&
&
-
A
+
+
V2
R2 (1-X)
&
+
Vmc
V1
Fig. 5
Fig. 4
1.5 Conclure sur les raisons de l’apparition d’un
mode commun sur un montage d’amplificateur
d’instrumentation à deux étages.
1.2 Que peut-on dire de l’impédance d’entrée de
ce montage ?
1.3
La valeur des résistances est connue avec
une précision x. En tenant compte de cette
incertitude des résistances (fig. 5), calculer la
nouvelle expression du gain commun (prendre
V1=V2=Vmc).
1.4 Considérons maintenant un A.O. réel présentant
des imperfections de mode commun.
En considérant seulement le deuxième
amplificateur opérationnel du montage de la
L’inconvénient principal d’un tel montage réside
dans l’impossibilité de régler directement le gain.
Étudions
maintenant
un
amplificateur
d’instrumentation à 3 étages.
Dans le schéma de la figure 7, on suppose, dans un
premier temps, l’A.O. idéal.
Exprimer Vs en fonction de V1 et V2 .
Quel est l’intérêt de la résistance Rg ?
V1
+
&
R
-
Rg
R
-
2R
R
2R
&
Vs
+
-
R
&
+
V2
Fig . 7
TD2-3
2002-2003
Conception de filtres
Pré-requis : Gabarits fréquentiels des filtres (fc, fstop , attenuation hors bande, ondulation) ; Fonctions
d'approximation de la fonction de transfert (Butterworth, Chebyshev) ; Normalisation des paramètres ;
Ampli-op idéal
1. Position du problème
coupure f0 , la fréquence d'arrêt fs et
l'attenuation hors bande, A, en dB.
Un signal vocal occupe la bande spectrale
20Hz-3.4kHz. Un tel signal a été transmis
sur une longue distance en format
numérique 8 bits. Il est restitué dans le
domaine audio par un convertisseur
numérique-analogique. Le signal ainsi
restitué est parasité par des harmoniques
dues à l'échantillonnage du signal à
12.5kHz : la fréquence la plus basse nondésirée est mesurée à 9.1kHz avec une
attenuation de –7.65dB par rapport au
signal désiré. Les harmoniques sont bien
dans la bande de signaux audibles (jusqu'à
20kHz). Il s'agit donc de filtrer ce signal
avant de l'envoyer vers des enceintes. Un
synoptique du système est présenté cidessous.
c) La réponse en fréquence H(ω) d'un
filtre Butterworth peut être exprimée
comme suit :
1
H (ω ) =
2n


ω
1+ 

 ω0 
où n représente l'ordre du filtre.
a) Nous avons vu dans le TD précédent
(oscilloscope numérique) que le
rapport signal à bruit (SNR : signal to
noise ratio) d'un signal analogique
ayant passé par une conversion dans le
domaine numérique peut s'exprimer en
fonction du nombre de bits N.
L'expression est :
SNR = 6.02N + 1.76 dB
2. Réalisation
A partir d'étages de premier ou second
ordre, des filtres d'ordre élevé peuvent être
Déterminer la valeur minimale de n
pour le gabarit trouvé en (b).
d) Ecrire la fonction normalisée du
filtre.
e) Normaliser cette fonction à f0 pour
l'application.
Y4
Vi
Y1
Y3
-
Y2
Afin de définir l'atténuation du filtre,
nous admettons que l'amplitude des
fréquences non-désirées après filtrage
ne doit pas dépasser la moitié du bruit
de
quantification.
Quelle
est
l'atténuation minimale hors bande du
filtre ?
Y5
Vo
+
Fig. 2 : Réseau MFB (multiple feedback)
"double échelle" générique
réalisés. Un étage générique qui permet de
réaliser des fonctions de second ordre est
représenté ci-dessous. NB : Y = admittance
b) Dessiner le gabarit du filtre requis, en
faisant apparaître la fréquence de
TD2-3
2002-2003
a) A priori, est-ce que vous pensez que
l'admittance Y5 figurera dans la
fonction de transfert de ce circuit ?
b) En supposant l'amplificateur idéal,
exprimer Vo en fonction de Vi.
c) Chaque composant passif peut être
remplacé par un élément de type
résistif ou capacitif pour réaliser une
fonction de type passe-bas, passe-haut
ou passe-bande. L'expression générale
pour une fonction passe-bas de second
ordre peut s'écrire de la façon suivante:
H0
H ( s) = 2
s
1
+
s +1
2
ω p ω pQ
où H0 est le gain en bande passante, ωp
est la pulsation propre du filtre et Q est
le facteur de qualité des pôles.
Identifier les types d'éléments pour
réaliser la fonction passe-bas, et
réécrire la fonction trouvée dans 2(b)
en remplaçant les admittances par les
valeurs symboliques des composants.
d) Choisir des valeurs numériques des
éléments d'un des étages de second
ordre pour réaliser une partie de la
fonction de transfert. Prendre R1 =5kΩ
et C2 =15nF pour définir les autres
valeurs. Pensez-vous qu'il est possible
de minimiser l'écart entre les valeurs
des composants de même type
(résistances et capacités) ? Quel en
serait l'intérêt ?
Fig. 4 : Réponses temporelles des
systèmes normalisés de second ordre,
pour ζ variant
Polynômes normalisés du filtre
Butterworth :
B1 (s) = s + 1
B2 (s) = s2 + 1.414s + 1
B3 (s) = (s + 1)(s2 + s + 1)
B4 (s) = (s2 + 0.765s + 1)(s2 + 1.848s + 1)
B5 (s) = (s + 1)(s2 + 0.618s + 1)
(s2 + 1.618s + 1)
B6 (s) = (s2 + 0.518s + 1)
(s2 + 1.414s + 1)(s2 + 1.932s + 1)
B7 (s) = (s + 1)(s2 + 0.445s + 1)
(s2 + 1.247s + 1)(s2 + 1.802s + 1)
B8 (s) = (s2 + 0.390s + 1)
(s2 + 1.111s + 1)(s2 + 1.663s + 1)
(s2 + 1.962s + 1)
e) Pour les étages de second ordre,
déterminer les réponses en temps à un
échelon, en vous servant des abaques
donnés ci-dessous (il est à noter que
dans cette figure, ζ=1/2Q).
Vi / V
1
t/s
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Fig. 3 : Fonction "echelon"
2002-2003