Cours trotech S1

COURS
ELECTROMAGNETISME
Semestre 1
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 1 sur 62
Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE
DANS LE VIDE
I – HISTORIQUE
La pierre d’aimant découverte dans l’antiquité dans une région d’Asie Mineure
appelée Magnésie a la propriété naturelle d’attirer le fer.
Ce minerais de fer Fe2O3 s’est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques
sont le magnétisme.
Au XIème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants
flottants) pour s’orienter.
La première étude sur les aimants date de 1269. Elle est due à Pierre de Maricourt
qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d’une pierre
aimantée sphérique. S’apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions
privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par
analogie avec les lignes de longitude de la terre.
En 1600 William Gilbert émet l’idée que la terre est un gigantesque aimant.
En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu’un courant produit un
effet magnétique.
II – SPECTRE MAGNETIQUE D’UN AIMANT
1°/ EXPERIENCE
2°/ LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE
La notion de Champ s’impose alors.
En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ
magnétique.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 2 sur 62
N
B
On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement
un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le
temps (de la minute à plusieurs millions d’années selon les causes) et s’inverse.
3°/ LIGNES DE CHAMP
Sous l’action du champ d’induction magnétique les grains de limaille se transforment
en petites boussoles qui s’orientent parallèlement à B. S’alignant les uns derrière les
autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique :
B
dM
M
Produit vectoriel :
4°/ LES POLES
2 régions privilégiées d’où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le
spectre. Ce sont les pôles.
Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des
extrémités du barreau aimanté.
Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles.
Le monopôle magnétique n’existe pas.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 3 sur 62
III – CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES
CHARGES EN MOUVEMENT
Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre
parcouru par un courant qu’un courant électrique produit un effet magnétique.
1°/ CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI
I
B
M
Son expression est :
B champ d’induction magnétique en Tesla
créé par un fil rectiligne infini en un point
M
µ 0 perméabilité du vide = 4π 10 –9 SI
I courant traversant le circuit en A
r distance du point considéré au centre O
2°/ LOI DE BIOT ET SAVART
Cette loi donne l’expression générale du champ magnétique dB créé par un fil
élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I.
R
θ
Idl
dB
M
dB doit être en 1/r2 puisque
l’intégration ramène au cas du fil infini
dont l’expression de B est en 1/R.
r
On a
dB champ d’induction magnétique en
Tesla créé par un fil élémentaire en un
point M
µ 0 perméabilité du vide = 4π 10 –9
I courant traversant le circuit en A
r distance du point considéré au fil
élémentaire
Cette loi permet par intégration de calculer le champ d’induction magnétique créé par
n’importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 4 sur 62
3°/ BOBINE CIRCULAIRE PLATE
I
Les sens des vecteur B dessinés
sur les lignes de champ sont
donnés par la règle du tire
bouchon.
Au centre de la bobine on a :
B = µ 0 I / (2R)
Pour une bobine comportant N spires, on a
N nombre de spires
R rayon de la bobine
4°/ SOLENOIDE
a) Spectre du solénoïde
Les lignes de champ sont parallèles à l’axe du solénoïde.
Elles s’orientent selon la règle du tire bouchon
Le champ peut être considéré comme uniforme à l’intérieur du solénoïde
b) Force magnétomotrice
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 5 sur 62
c) Faces de l’électroaimant
I
I
B
d) Champ magnétique sur l’axe du solénoïde
M
α1
α2
B : Champ magn en M (Tesla)
N : Nombre de spires
L : longueur du solénoïde en m
Ainsi à l’extrémité d’un très long solénoïde :
Ainsi au centre d’un très long solénoïde :
En tout point à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long :
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 6 sur 62
Chapitre 2 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE
DANS UN MILIEU FERROMAGNETIQUE
I – AIMANTATION INDUITE
1°/ 1ère expérience
I=0
I≅0
I≅0
2°/ 2ème expérience
Les matériaux ayant de telles propriétés sont dits ferromagnétiques : alliages à base
de fer, cobalt, nickel.
Les matériaux ferromagnétiques perdent leurs propriétés à température élevée.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 7 sur 62
II – COURBE DE PREMIERE AIMANTATION
On relève la courbe B en fonction de
NI / l (noté H)
B
NI / l
III – EXCITATION MAGNETIQUE
Pour la zone linéaire, on peut écrire : B
= µr µ0 NI / l
Cette relation correspond au cas du solénoïde.
On généralise cette relation entre B et ce qui créé le champ magnétique en
introduisant le vecteur excitation magnétique H.
Ainsi on a :
B = µr µ0 H
B en Tesla (T) et H en A m-1
µr : perméabilité relative du milieu
fer doux : µr = 1600
Acier au silicium : µr = 20000 => obtention de champ
magn intense à partir d’une excitation faible
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 8 sur 62
IV – HYSTERESIS MAGNETIQUE
On reprend le dispositif du § II : Après avoir dans un premier temps augmenté I, on le
diminue dans un second temps.
On constate alors que la courbe d’aimantation se dédouble :
Lorsque i varie entre –Imax et + Imax, on voit apparaître une courbe fermée appelée
cycle d’hystérésis.
B
Champ magnétique rémanent
qui subsiste alors que I = 0
H
Excitation coercitive : celle qu’il
faut appliquer pour annuler B
Lorsque l’amplitude Imax des variations de I varie, le sommet du cycle se déplace sur
la courbe de 1ère aimantation.
B
H
Un milieu ferromagnétique subissant des cycles répétés s’échauffe.
L’énergie calorifique dégagée est proportionnelle à l’aire du cycle, à la fréquence et
au volume du matériaux.
Ce phénomène engendre des pertes de puissance appelées pertes par hystérésis.
La puissance perdue par hystérésis par unité de volume est ph = k f Bmax2
Ainsi à 50 Hz, pour un acier doux dont la constante k = 100, la puissance perdue par
hystérésis dans un champ magnétique variable d’amplitude 1 Tesla sera de 5000
W/m3.
Les matériaux ferromagnétiques à cycle étroit sont ferromagnétiquement doux.
Ceux à cycle large (forte aimantation rémanente) sont ferromagnétiquement durs.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 9 sur 62
V- THEOREME D’AMPERE
1°/ CIRCULATION D’UN VECTEUR
a) Sur un élément dl de longueur d’un contour
On considère un vecteur A.
L’élément de longueur considéré étant petit, on considère que ce vecteur est
constant (direction, sens et intensité).
Par définition la circulation élémentaire dC du vecteur A sur l’élément de
longueur dl est :
A
dC =
dl
Rappel de Maths : Produit scalaire .
On a donc dC =
A
θ
A cos θ
b) Sur un arc
A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait
la somme intégrale.
N
N
N
M
C=
A
dC =
M
A . dl
M
dl
Remarque : Si le contour est fermé, l’intégrale est notée :
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 10 sur 62
2°/ COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR
On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants
I2
I1
I3
n
On entoure ces conducteurs par un
contour fermé orienté s’appuyant sur une
surface hachurée.
Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la
surface est orienté selon la règle du tire
bouchon.
3°/ THEOREME D’AMPERE
H . dl
=
ΣI
4°/ EXEMPLE
Cas d’un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide.
Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple.
On a d’après le théorème d’Ampère :
I
=
Or H est constant le long du contour, d’où :
r
dl
H
D’où le champ d’induction magnétique :
B = µ0 H =
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 11 sur 62
Chapitre 3 : ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR DES
PARTICULES CHARGEES EN MOUVEMENT
I – FORCE DE LORENTZ
1°/ MISE EN EVIDENCE
Trajectoire de l’e- si B = 0
v
B
Trajectoire de l’e- si B non nul
On considère un canon à électron.
Le faisceau d’électrons est accéléré et atteint la vitesse v.
On applique un champ magnétique uniforme à l’aide d’électro-aimants dans la zône
délimitée.
Quand B=0, l’écran fluorescent montre le spot (pont d’impact des e-) en O.
Quand B non nul, le pont d’impact se déplace en O’.
2°/ INTERPRETATION
Les électrons sont déviés par l’action du champ magnétique.
Les électrons sont soumis à une force appelée force de Lorentz.
3°/ FORCE DE LORENTZ
Force subie par une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ
magnétique B :
F=qv B
Cette force est perpendiculaire à v et B
Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :
pouce : qv
index : B
majeur : F
Son intensité est :
F = |q| v B sin(q v, B)
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 12 sur 62
qv
B
F
Comme sin(-x) = sin(x), on peut
écrire sin(v,B) dans la formule.
II – FORCE DE LAPLACE
Considérons un petit morceau de conducteur de longueur dl parcouru par un courant
électrique I. Ce conducteur est placé dans un champ magnétique uniforme.
e-
i
B
v
S
dFe
Chaque électron en mouvement dans le conducteur subit une force de Lorentz :
dFe- = qe v
B
Si n est le nombre d’électrons par unité de volume, la force totale agissant sur
l’élément de conducteur de section S est :
dF = n S dl qe v
B
Si l’électron se déplace sur la longueur dl pendant une durée dt, on a v = dl/dt
dF = n S dl qe (dl / dt)
=
dq / dt dl B
B
dF = i dl
d’où l’expression de la force de Laplace élémentaire :
B
Cette force est perpendiculaire à la direction du conducteur et au champ magnétique
Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :
pouce : dl
index : B
majeur : F
dl
B
F
Son intensité est :
dF = i dl B sin(dl, B)
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 13 sur 62
III – CADRE MOBILE
1°/ FORCES DE LAPLACE
Un cadre rectangulaire mobile autour d’un
axe de rotation est parcouru par un courant I
et placé dans un champ magnétique.
F3
B
I
I
F1
B
B
I
I
F2
F4
B
2°/ MOMENT DU COUPLE
l2
Vue de dessus :
F1
θ
I
O
M
θ
n
M’
I
θ
B
B
F1
l1
I
B
B
Surface du cadre :
S = l1 l2
I
F2
F2
Le moment du couple est :
Forces de Laplace :
Avec N spires :
3°/ MOMENT MAGNETIQUE
Le moment magnétique est définit par :
M=NISn
M en A m2
C en N m
On peut donc écrire :
C=M
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 14 sur 62
B
B en T
IV – FLUX MAGNETIQUE
Dans un champ magnétique uniforme, le flux du champ magnétique à travers une surface
dépend de la projection de la surface perpendiculairement aux lignes de champ.
dS
dS
θ
n
Flux maximum
n
n
dS
Flux plus petit
Flux nul
La surface apparente est définie par : dS cos θ
Le vecteur surface est : dS = dS n
Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est définit par :
B en T
dS en m2
dϕ en Weber Wb
Propriété du Flux magnétique :
Le flux magnétique est conservatif : il garde la
même valeur à travers toutes les sections d’un
même circuit magnétique.
Si S diminue, B augmente
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 15 sur 62
Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE
I – LES PHENOMENES
S
B
B
B
N
fem
fem
fem
ROTATION
TRANSLATION
fem
Attention : une force électromotrice n’est pas une force mécanique en Newton, mais
une tension en Volts.
II – LA LOI DE FARADAY
Selon les cas nous avons :
-
une variation de champ d’induction magnétique
un balayage de surface donc un flux coupé
une variation de surface du conducteur
Variation de flux : ( Φ = B . S )
Fem induite : e = - d Φ / dt
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 16 sur 62
III – LOI DE LENZ
1°/ ENONCE
2°/ EXEMPLES
S
Bi
B
B
B
N
fem
i
fem
fem
fem
B
3°/ POURQUOI ?
Si la loi de Lenz était contraire,
- Bi renforcerait B => augmentation du flux => e augmente => Bi augmente
etc …
- La force de Laplace induite renforce l’action extérieure => accélération
augmentation énergie cinétique
Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l’énergie.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 17 sur 62
IV – APPLICATIONS
1°/ MACHINE A COURANT CONTINU
Fonctionnement en moteur :
Une spire mobile autour d’un axe, parcourue
par un courant est placée dans un champ
magnétique. Il apparaît un couple de forces de
Laplace provoquant la rotation de la spire (a).
Il est nécessaire que le courant s’inverse dans
les conducteurs après passage de l’axe de
symétrie pour que le sens de rotation ne
s’inverse pas !
Le flux à travers la spire varie donc il apparaît
à ses bornes un fem induite qui s’oppose à la
circulation du courant I (force contre
électromotrice).
Fonctionnement en génératrice :
On fait tourner une spire autour d’un axe dans
un champ magnétique. Le flux à travers cette
spire variant, il apparaît à ses bornes une fem
induite (engendrant la circulation d’un courant
induit lorsque le circuit est fermé). La fem
s’oppose à la variation de flux : le courant
induit provoque l’apparition d’un couple de
forces de Laplace résistant.
2°/ MACHINE A COURANT ALTERNATIF
Génératrice : Alternateur
Un électroaimant tourne à l’intérieur d’une
spire. La spire est donc soumise à un champ
magnétique
variable
de
façon
quasi
sinusoïdal. Elle subit donc une variation de flux
engendrant une fem induite également quasi
sinusoïdale.
3°/ TRANSFORMATEUR
Le champ magnétique variable de façon
sinusoïdal créé par le bobinage primaire est
canalisé par le circuit magnétique. La bobine
secondaire est soumise à un champ
magnétique variable et subit donc une
variation de flux également sinusoïdale. Il
apparaît donc à ses bornes une fem induite
sinusoïdale.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 18 sur 62
4°/ COURANTS DE FOUCAULT
Un volume métallique V est soit :
- mobile dans un champ magnétique
constant
- fixe dans un champ magnétique variable.
Le volume peut être considéré comme
constitué d’un grand nombre de petites
boucles de courant C. Ces boucles sont
soumises à des variations de flux et donc sont
parcourues par des courant induits dits
courants de Foucault.
Freinage par
courant de
Foucault
Principe du moteur
asynchrone
Une portion d’un disque en rotation est
plongée dans un champ magnétique. Le
segment PQ de la boucle de courant coupe le
flux donc est le siège d’une fem induite
s’opposant à la rotation : le courant induit de
Foucault crée une force de Laplace résistante.
Le disque freine.
Un aimant tourne devant un disque. Les
courants de Foucault induits tendent à créer
des forces de Laplace s’opposant à la
variation de flux : le disque va suivre la rotation
de l’aimant avec un certain décalage angulaire
(glissement).
Les courants de Foucault provoquent par effet
joule un échauffement des pièces métallique
dans lesquelles ils circulent, engendrant ainsi
des pertes de puissance (pertes fer). Pour
limiter l’intensité de ces courant, on augmente
la résistance électrique des pièces métalliques
en les feuilletant (tôles vernies empilées) et en
utilisant de l’acier au Silicium dont la résistivité
est plus élevée.
Plaque de cuisson à induction : La plaque crée
un champ magnétique variable. Les courant
de Foucault circulant dans le fond de la
casserole provoquent l’échauffement de celleci. La casserole doit évidemment être
métallique et de faible résistivité.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 19 sur 62
Chapitre 5 – PHENOMENE D’AUTOINDUCTION
I – FLUX PROPRE
Soit un circuit électrique constitué d’une boucle parcourue par un courant i.
Il en résulte un champ magnétique B créé par cette spire.
B
Lignes de champ créé
par la spire
i
Surface s’appuyant sur le
contour de la spire
B
Définition du flux propre :
II –
AUTOINDUCTION
1°/ RAPPEL DU PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE
On a vu au chapitre précédent que le phénomène d’induction électromagnétique est :
L’apparition d’une fem induite aux bornes d’un circuit subissant une variation de flux
à travers sa surface. Cette fem s’oppose par ses effets à la cause qui lui donne
naissance.
2°/ AUTOINDUCTION
B extérieur
variable
i
B
fem induite
Induction électromagnétique
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 20 sur 62
Créé par le
circuit
considéré
Source de tension
extérieure
Auto-induction : si i varie !!!
3°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant
Initialement, K est ouvert, donc i = 0 .
B
Quand on ferme l’interrupteur K :
e<0
+
K
-
Comment se manifeste ce phénomène ?
On retient que dans un circuit inductif, le courant s’établit progressivement
Remarque :
i(t)
t
e(t)
t
Etablissement du courant dans un circuit inductif
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 21 sur 62
4°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant
Initialement, K est fermé, donc i = Imax .
B
Quand on ouvre l’interrupteur K :
e >> 0
+ K
Comment se manifeste ce phénomène ?
On retient qu’il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif
i(t)
t
e(t)
Danger !!
t
Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 22 sur 62
Le remède : La diode de roue libre
On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem
induite lors de la coupure du courant :
B
K
+
-
III – INDUCTANCE PROPRE D’UNE BOBINE
1°/ DEFINITION
Soit une bobine sans noyau, de longueur l de section S comprenant N spires.
Flux propre à travers une spire : ϕs =
B est créé par i : B =
Flux propre à travers une spire : ϕs =
Flux propre à travers l’ensemble de la bobine : ϕ =
Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la
bobine.
Noté L, il s’exprime en Henry (H) et
L = µ0N2 S/ l
2°/ INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE
Fem induite aux bornes d’une spire : e = - dϕs /dt
Fem totale induite aux bornes de la bobine :
3°/ MODELE EQUIVALENT D’UNE BOBINE
e = - L di/dt
i
i
uL
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 23 sur 62
r
uL
IV – BOBINE EN REGIME SINUSOIDAL
1°/ FEM INDUITE, FORMULE DE BOUCHEROT
Une bobine (N spires, section S) est reliée à
un générateur de tension sinusoïdal.
Le courant et donc le flux magnétique sont
donc sinusoïdaux :
I = Im sin ωt et φ = φm sin ωt
~
La fem induite autoinduite est donc :
e = - N dφ/dt =
La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux.
φ
B
E
La valeur efficace de le fem autoinduite est :
Formule de Boucherot :
2°/ MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL
a) Modèle série
i
I
i
r
u
r
u
e = - L di/dt
jLω
U
Modèle
Série
Régime
quelconque
« Bonne » bobine :
r faible par rapport à
donc Q >> 1
Régime
Sinusoïdal
Lω
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 24 sur 62
b) Modèle parallèle
Régime Sinusoïdal
i
I
I
r
u
U
jLω
rp
Modèle
Série
C’est la
bobine »
Donc
et
jLpω
U
Modèle
Parallèle
même « Bonne
donc Q >> 1
rp >> Lpω
rp >> r
Q = rp / Lp ω facteur
de qualité (modèle //)
c) Relations entre les deux modèles (voir TD électricité)
Il s’agit d’une seule et même bobine représentée différemment.
On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des
deux modèles.
1 / ( r + jLω
ω ) = [ 1/rp + 1 / jLp ω ]
En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette
équation, on obtient les relations entre les deux modèles :
rp = r ( 1 + Q2 )
Lp = L ( 1 + (1/Q2) )
Q = Lω / r = rp / (Lpω)
Si Q >> 1 « bonne bobine »
Lp = L
rp = Q2 r
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 25 sur 62
V – ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
1°/ Puissance instantanée
On sait que : u = ri + L di/dt
La puissance instantanée est :
p(t)
=
r i2
+
L i di/dt
L i (di/dt) dt
=
r i2 dt
u(t) i(t)
=
2°/ Energie mise en jeux pendant dt
dW
r i2 dt
=
+
+
L i di
dWe : énergie électromagnétique
3°/ Energie totale pour une variation du courant de 0 à I
I
We
=
L i di
0
Quand I augmente :
Cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour
vaincre l’opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz).
Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine.
D’où son nom d’énergie électromagnétique localisée dans tout l’espace où
existe le champ magnétique.
Quand I diminue :
Cette énergie est restituée au reste du circuit :
-
étincelle lors d’une coupure brutale
échauffement de la résistance lors d’une coupure moins
brusque
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 26 sur 62
Chapitre 6 – COURANTS MONOPHASES
I – RAPPELS
Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal.
I
U
Z
1°/ Caractéristiques des signaux
Expressions instantanées : i(t) = Im sin (ωt + ϕ1)
u(t) = Um sin (ωt + ϕ2)
Valeurs maximales ou amplitudes : Um et Im
Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) :
U = Um / 2 et
I = Im / 2 (Quand ambiguïté on note Ueff et Ieff )
Phases à l’origine : ϕ1 pour i(t) et ϕ2 pour u(t)
Déphasage de u par rapport à i : ϕu/i = ϕ2 - ϕ1
Pulsation : ω (en rad.s-1)
Fréquence (en Hz): f = ω / 2π
Période (en s) : T = 1/f
2°/ Représentation de Fresnell et représentation complexe
Prenons l’exemple de u(t) = Um sin (ωt + ϕ2)
Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et
ϕ2. On peut ainsi représenter ce signal à l’aide d’un vecteur : le vecteur de Fresnell.
Ueff
ϕ2
Référence de phase
On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de
Fresnell : Le nombre complexe est noté U
Sous sa forme trigonométrique :
U = ( Val efficace ; Phase à l’origine )
U = (Ueff ; ϕ2 )
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 27 sur 62
3°/ Loi d’Ohm
En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation
entre U et I pour le dipôle s’écrit :
U=Z I
Z est l’impédance complexe : Z = U / I
Module : | Z | = Ueff / Ieff
Argument : arg(Z) = ϕu/I
4°/ Résistance Réactance
Z peut se mettre sous la forme algébrique :
Ré(Z) est une résistance (en Ω)
Z=R+jX
et Im(Z) est une réactance (en Ω)
Y = 1/Z est l’admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω-1).
1/X est une suceptance (Siemens ou Ω-1 )
5°/ Exemples de Dipôles
Résistance pure : |Z| = R ϕu/i = 0 => Z = R purement réelle
U
I
Inductance parfaite : |Z| = Lω ϕu/i = π/2 => Z = jLω purement imaginaire
U
I
Condensateur parfait : |Z| = 1/Cω ϕu/i = -π/2 => Z = -j/Cω = 1/jCω Im pur
I
U
U
Dipôle Inductif : Z = R + jX avec X = L ω > 0
|Z| = √(R2 + X2 )
ϕu/i = tan-1(X/R) > 0
Dipôle Capacitif : Z = R + jX avec X = -1/ Cω < 0
|Z| = √(R2 + X2 )
ϕu/i = tan-1(X/R) < 0
ϕu/i
I
RI
I
RI
ϕu/i
U
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 28 sur 62
XI
XI
II – PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL
1°/ PUISSANCE INSTANTANEE
Par définition :
avec i(t) = Im sin ωt
u(t) = Um sin (ωt + ϕu/i)
Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A
P UISSANCE INSTANTANEE
2,5
2
1,5
1
Bobine
ϕ = 90°
0,5
0
-0,5 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
i
u
p
P
-1
-1,5
-2
-2,5
t(s)
P UISSANCE INSTANTANEE
p(t) > 0
Dipôle consommateur d’énergie
2,5
2
1,5
1
Inductif
ϕ = 60°
0,5
0
-0,5 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
i
u
p
P
-1
-1,5
-2
p(t) < 0
Dipôle « restitueur » d’énergie
-2,5
t(s)
P UISSANCE INSTANTANEE
4
3
2
Résistif
ϕ = 0°
1
0
0
0,01
0,02
0,03
-1
-2
-3
t(s)
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 29 sur 62
0,04
0,05
i
u
p
P
P UISSANCE INSTANTANEE
2,5
2
1,5
1
Capacitif
ϕ = -60°
0,5
0
-0,5 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
i
u
p
P
-1
-1,5
-2
-2,5
t(s)
P UISSANCE INSTANTANEE
2,5
2
1,5
1
Condensateur
ϕ = -90°
0,5
0
-0,5 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
i
u
p
P
-1
-1,5
-2
-2,5
t(s)
2°/ PUISSANCE MOYENNE OU PUISSANCE ACTIVE
P = (2/T) ∫ 0T/2 p(t) dt =
S’exprime en
Watt
Bobine parfaite : P = 0
Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle.
Résistif : P > 0
Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle.
Condensateur : P = 0
En conclusion :
Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X :
Un dipôle passif ne peut pas présenter une puissance active P < 0 car il est
forcément en moyenne consommateur d’énergie.
Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l’énergie au reste du
circuit, il est ou se comporte comme un générateur. C’est par exemple le cas des
dipôles actifs (transistor, ampli op) qui peuvent fonctionner en générateur.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 30 sur 62
III – LE WATTMETRE
Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur.
1°/ LE SYMBOLE
i
W
u
2°/ CONSTITUTION
Calibres d’intensité
Calibres tension
Le wattmètre comporte deux circuits distincts :
Un circuit « gros fil » parcouru par le courant, branché en
série avec le récepteur, comme un ampèremètre.
Un circuit « fil fin », circuit tension, branché en parallèle
sur le récepteur, comme un voltmètre.
Chacun de ces circuits est protégé par un fusible.
3°/ MESURE
On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité.
L’appareil mesurant la puissance active P = Ueff Ieff cosφ, pour Ueff et Ieff donnés, la
déviation de l’aiguille dépend de cosφ.
L’aiguille dévie à pleine échelle quand : Ueff mesurée = Ucal la tension du calibre
Ieff mesurée = Ical le courant du calibre
et cosφ = 1
Cela correspond à une puissance active de
UcalIcal
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 31 sur 62
Si l’aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de Ntot graduations au total, la
mesure réalisée est : P mesuré = N Ucal Ical / Ntot
Exemple : Calibres 240 V et 5 A
soit 240*5 = 1200 W pleine échelle
Le nombre total de graduations est de 120.
Soit 1200/120 = 10 W / graduation
L’aiguille dévie de 40 graduations,
donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W
Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres
sélectionnés, la déviation de l’aiguille reste faible si cosφ est faible.
On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs …
… cela détériore l’appareil !
III – BRANCHEMENT DU WATTMETRE
Montage courte dérivation
Montage longue dérivation
i
i
W
W
Montage courte dérivation
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 32 sur 62
Procédure de mesure :
-
Placer un ampèremètre en série avec le circuit « gros fil »
Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin
Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés
Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre
coûte environ 10 euros pièce
-
Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées.
Si l’aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de
branchement du circuit fil fin.
IV – PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE
1°/ PUISSANCE APPARENTE
Définition
Ce n’est pas une puissance reçue par le dipôle, c’est pourquoi on ne l’exprime
pas en Watt.
On remarque que P = S cos ϕu/i
S est donc la puissance active maximale
que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕu/i était nul.
La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA
en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est
fabriquée la machine.
Par exemple : Transfo de 250 kVA. C’est une caractéristique de construction,
la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu’il alimente !
2°/ PUISSANCE REACTIVE
Définition
On a ainsi : S = (P2 + Q2)
tan ϕu/i = Q/P
cos ϕu/i = P/S
Bobine parfaite : Q > 0
Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle.
Résistif : Q = 0
Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle.
Condensateur : Q < 0
En conclusion :
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 33 sur 62
Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X :
Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme
de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l’inductance.
Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la
puissance réactive.
V – THEOREME DE BOUCHEROT
VI – FACTEUR DE PUISSANCE
1°/ DEFINITION
U
I
Z
Z = R + jX
cos ϕu/i est appelé facteur de puissance du récepteur.
On remarque que cos ϕu/i diminue quand ϕu/i augmente,
c’est à dire quand la réactance augmente par rapport à
la résistance.
2°/ IMPORTANCE DU FACTEUR DE PUISSANCE
Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages
des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕu/i
diminue.
Cela coûte cher à la société de distribution de l’électricité qui ne facture à
priori que la puissance active consommée.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 34 sur 62
Pertes joules en ligne : Elles
augmentent quand cosϕu/i diminue.
I
U
Z récepteur inductif
Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle
sur l’installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau
et permettent d’augmenter le cosϕu/i.
3°/ CALCUL DE LA CAPACITE
Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P.
L’intensité du courant qu’il absorbe est I.
On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d’augmenter le
facteur de puissance. Soit cos ϕ’ le nouveau facteur de puissance désiré et I’ le
nouveau courant absorbé qui en découle.
On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de
Boucherot :
Charge R, L
C seul
Charge R, L + C en //
Puissances réactives
Q = UI sin ϕ = P tanϕ
Qc = - U2 Cω
Q’ = UI’sinϕ’
Puissances actives
P
Pc = 0
P’ = UI’cosϕ’
On a : U I’ sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2
et
: UI’cosϕ’ = UIcosϕ => I’ = I cosϕ/cosϕ’
donc : U(I cosϕ/cosϕ’) sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2
P tanϕ’ = P tanϕ - Cω U2 C = P (tanϕ - tanϕ’) / ( ω U2)
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 35 sur 62
Chapitre 7 – INDUCTANCE MUTUELLE
I - DEFINITION
Considérons deux circuits filiformes indéformables :
1
2
M est l’inductance mutuelle des deux circuits.
Contrairement à l’inductance propre, M dépend de l’orientation :
1
1
2
2
II - FLUX
Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕp + ϕext
Donc :
ϕ1 =
ϕp1
+
ϕ2->1
= L1 i1
+
M i2
et
ϕ2 =
ϕp2
+
ϕ1->2
= L2 i2 +
M i1
III - FEM INDUITES
e1 = - L1 di1/dt
- M di2/ dt
e2 = - L2 di2/dt
Couplage magnétique
IV - LOI D’OHM GENERALISEE
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 36 sur 62
- M di1/ dt
Chapitre 9 – LE TRANSFORMATEUR
I – INTRODUCTION
1°/ ROLE DU TRANSFORMATEUR
2°/ CONSTITUTION
Récepteur
Générateur
Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués
pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques.
Le circuit magnétique est constitué d’un empilement de tôles isolées entre elles
(feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault.
Le dispositif est placé dans l’air ou dans un bain d’huile pour en assurer le
refroidissement.
3°/ SYMBOLE
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 37 sur 62
4°/ PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT
Tension
primaire U1
sinusoïdale
5°/ BORNES HOMOLOGUES
I1
I1
I2
U2
U1
U2
U1
I2
I1 donne l’orientation de ϕ.
ϕ donne l’orientation de I2.
La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le
courant
Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des
flux de même sens.
II – MODELISATION DU TRANSFORMATEUR
1°/ LE SCHEMA EQUIVALENT
I1
U1
r1
Tranfo parfait
l1
Rf
L1p
e1
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 38 sur 62
I2
e2
r2
l2
U2
2°/ SIGNIFICATION DES ELEMENTS
a) Résistances
R1 et r2 sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles
provoquent l’échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule :
pj = r1 I12 + r2 I22
b) Répartition des flux
Bobinage primaire seul :
La fmm N1 i1 crée un flux ϕ’1 qui
se divise en ϕf1 et ϕ1
I1
ϕ’1
U1
ϕf1
ϕ’1 =
ϕ1
Bobinage secondaire seul :
La fmm N2 i2 crée un flux ϕ’2 qui
se divise en ϕf2 et ϕ2
I2
ϕ’2
ϕ’2 =
U2
Ce flux …………. au flux ϕ1 car
il est créé par le courant induit i2
ϕf2
ϕ2
Flux résultants en charge :
Avec les deux bobinages :
ϕ=
I1
U1
ϕf1
I2
ϕr2
ϕr1
U2
ϕf2
ϕ
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 39 sur 62
ϕ r1 =
ϕ r2 =
Ce qui donne :
ϕ r1 =
ϕ r2 =
c) Inductances de fuites
Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites :
l1 = N1 ϕf1 / I1
l2 = N2 ϕf2 / I2
d) Inductance principale
Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique.
Elle est définie par :
L1p = N1 ϕ / I1
e) Modélisation des pertes fer
Les pertes fer sont modélisées par la résistance Rf.
A cause d’elles, le courant I1 n’est pas déphasé de 90 ° par rapport à la fem
induite dans l’enroulement primaire.
I1 = I 1a + I 1r
I1a
E1
Courant actif
Courant réacitf magnétisant
I1r
I1
Pertes fer : E1 I1a = Rf I1a 2 => Rf = E1 / I1a
Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de
la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz).
Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U1 . En effet la
courbe ϕ (i) n’est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique.
3°/ EQUATIONS ELECTRIQUES
Grandeurs instantanées
Fem induites :
Notation efficace complexe
e1 =
e2 =
Rapport de transformation : m = e2 / e1 =
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 40 sur 62
III – TRANSFORMATEUR A VIDE
1°/ EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE
On a alors I2 = 0.
Les équations électriques deviennent :
Puissance absorbée : P1v très petite .
En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera I1v .
I1v << I1 n nominal : utilisation normale.
On a alors U1 ≅ E1v (en valeur efficace)
2°/ RAPPORT DE TRANSFORMATION
Par suite le rapport de transformation devient :
Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder
aux fem induites.
3°/ PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE
P1V = U1 I1v cos ϕ1v =
pertes joules a vide
+
+
pertes fer
Q1V = U1 I1v sin ϕ1v =
pertes magnétiques (fuites)
Approximation : P1v ≅ pertes fer et
+
+ puissance magnétisante
Q1v ≅ puissance magnétisante.
IV – COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE
1°/ FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE
A vide I2= 0
Le flux canalisé par le circuit magnétique
est dû uniquement à la fmm
ϕv =
En charge :
I2 ≅ 0
Le flux canalisé par le circuit magnétique
est dû aux fmm
ϕ=
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 41 sur 62
avec
ϕ2
qui
s’oppose à ϕ1
On peut écrire les lois d’Hopkinson en faisant apparaître la réluctance R du circuit
magnétique :
N1 i1v = R ϕ1v
N1 i1 + N2 i2 = R ϕ
Le flux en charge est légèrement plus faible qu’à vide, mais on néglige cette petite
différence :
N1 i1 + N2 i2 = R ϕ Ζ R ϕ1v = N1 i1v
Ainsi on peut écrire :
N1 i1 + N2 i2 = N1 i1v
En notation complexe :
N1 I1 + N2 I2 = N1 I1v
C’est l’équation des
ampères-tours
V – HYPOTHESE DE KAPP
1°/ HYPOTHESE DE KAPP
On néglige le courant primaire à vide : I1v << I1 => On néglige les pertes fer.
2°/ EQUATION DES AMPERES TOURS
En notation complexe : N1 I1 + N2 I2 = 0
m = N2 / N1 ≅ - U2v / U1 = - I1 / I 2
3°/ SCHEMA EQUIVALENT
I1
r1
Tranfo parfait
l1
U1
e1
Equations électriques :
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 42 sur 62
I2
e2
r2
l2
U2
4°/ EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE
On a vu que :
I 1 = - m I2
;
U 2v = - m U1 et E 2 = m E1
- E2 = - U2 - r2 I2 - j l2 ω I2
D’où :
L ‘Equation électrique s ‘écrit finalement :
Avec : Rs = r2 + m2 r1 et Xs = ( l2 + m2 l1 ) ω
Le schéma équivalent ramené au secondaire devient :
I1
E1
U1
Rs
I2
U2
U2v
Chute de tension en charge :
B
ϕ2
K
XsI2
U2v
H
ϕ2
U2v
U2
I2
A
RsI2
Xs
U2
I2
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 43 sur 62
ϕ2
5°/ DETERMINATION
EQUIVALENT
EXPERIMENTALE
DES
ELEMENTS
DU
MODELE
a) Détermination de m par essai à vide
m Ζ U2v / U1
(val eff)
Il suffit de mesurer à l’aide d’un voltmètre en AC la valeur
efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension
primaire, puis de calculer le rapport des deux.
La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes
fer : P1v = p fer
b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit
Attention : cet essai est réalisé sous tension primaire réduite !!!
sinon I2CC >> I2nominal => le tranfo fume
I1cc
U1cc réduite
I2cc
E1
Rs
Xs
U2v = - mU1cc
U2 = 0
La puissance absorbée par le transformateur est alors :
P1cc = R1 I1cc2 + p fer cc + R2 I2cc2 = R1 (mI2cc)2 + R2 I2cc2 = (m2 R1 + R2 ) I2cc2
=
Rs I2cc2
Négligeable car sous tension
primaire réduite
Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d’un essai en
court-circuit sous tension réduite :
L’équation électrique du secondaire donne :
On peut donc déduire Xs :
Pythagore donne : Xs =
- mU1cc
Xs I2cc
Rs I2cc
c) Rendement
Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour
fonctionnement normal : η = U2 I2 cos ϕ2 / ( U2 I2 cos ϕ2 + pertes fer + Rs I22 )
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 44 sur 62
un
Chapitre 10 – LE TRIPHASE
I – TENSIONS SIMPLES
Le
tableau
d’arrivée
d’une
alimentation triphasée comporte 4
bornes : 1,2,3 et N.
Les bornes 1,2 et 3 sont reliées
aux fils de phase.
La borne N est reliée au fil neutre.
Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V1 , V2
et V3 entre chaque phase et la masse.
Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants :
On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la
précédente.
Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell :
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 45 sur 62
On peut écrire les relations instantanées suivantes :
On constate qu’à chaque instant : v1 + v2 + v3 = 0 : le système triphasé est dit
équilibré.
II – TENSIONS COMPOSEES
Ce sont les tensions entre deux fils de phase.
Ainsi, à chaque instant : u12 = v1 – v2
D’ou la relation
Le diagramme de Fresnell complet a l’allure suivante :
On
peut
expressions
suivantes :
écrire
les
instantanées
u12 = Um sin (ωt + π/6)
u23 = Um sin (ωt - π/2)
u31 = Um sin (ωt - 7π/6)
On remarque que le système des tensions composées constituent également
un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle.
Réseau EDF :
V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique)
U = 220.√3 = 380 V entre phases (installations industrielles).
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 46 sur 62
III – COUPLAGE ETOILE
1°/ Récepteur symétrique
Chaque phase du récepteur est
soumise à une tension simple.
Le système d’alimentation
triphasé équilibré.
est
Si les trois phases du récepteurs
sont
identiques,
il
est
dit
symétrique.
Le système des courants est alors
un système triphasé équilibré et :
i1 + i2 + i3 = iN = 0
Le diagramme de Fresnell présente l’allure suivante :
Chaque tension simple est déphasée de ϕ
par rapport au courant dans la phase
considérée. Ce déphasage est apporté par
l’impédance Z de la phase.
i1 = Im sin (ωt - ϕ)
i2 = Im sin (ωt -2π/3 - ϕ)
i3 = Im sin (ωt -4π/3 - ϕ)
2°/ Récepteur dissymétrique
Le système d’alimentation est triphasé équilibré.
Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique.
Les déphasages tension-courant
pour chaque phase et les valeurs
efficaces des courants sont différents. Le
système triphasé de courant n’est plus
équilibré.
On a alors :
i1 + i2 + i3 = iN ≅ 0
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 47 sur 62
IV – COUPLAGE TRIANGLE
1°/ Récepteur symétrique
Chaque phase du récepteur est soumise à
une tension simple.
Le système d’alimentation est triphasé
équilibré.
Si les trois phases du récepteurs sont
identiques, il est dit symétrique.
Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans
les phases du récepteur.
On peut écrire : i 1 = j 12 – j 31
i 2 = j 23 – j 12
i 3 = j 31 – j 23
D’où la représentation de Fresnell suivante :
Les courants de ligne i1, i2, i3 constituent
un système triphasé équilibré.
Les valeurs efficaces des courants dans
les lignes et dans les phases du
récepteur sont reliées par la relation :
I = J √3
2°/ Récepteur dissymétrique
Les trois phases du récepteur sont différentes.
Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les
phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 48 sur 62
V – PUISSANCES EN TRIPHASE
1°/ Récepteur en étoile
On a : P = 3 P1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/√3) I cos ϕ =>
De même :
P = √3 UI cosϕ
Q = √3 UI sin ϕ
2°/ Récepteur en triangle
On a : P = 3 P1 = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/√3) cos ϕ =>
De même :
P = √3 UI cosϕ
Q = √3 UI sin ϕ
3°/ En conclusion
Dans tous les cas :
P = √3 UI cosϕ
=> S = √3 UI
Q = √3 UI sin ϕ
Avec : U tension entre phase de la ligne
I courant dans la ligne
ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 49 sur 62
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 1
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du
chapitre 1 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.
Exercice 1 – Champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un
courant I.
I
θ1
θ2
R
M
En utilisant la loi de Biot et
Savart, on souhaite exprimer
le champ magnétique créé
au point M situé à la distance
R du fil.
-x
dl
1°/ Exprimer le champ magnétique dB créé par un
élément de longueur dl en fonction de dl et θ.
O
θ
R
r
M
2°/ La position de dl étant repérée par l’abscisse –x,
exprimer dl en fonction de θ.
3°/ En déduire dB en fonction de la seule variable θ. (I
et R interviennent comme constantes du problème).
4°/ En déduire l’expression de B en fonction de θ1 et θ2 .
Exercice 2 – Spire circulaire parcourue par un courant I
dl
I
dl’
α
M
R
1°/ Sur la figure ci-dessus, représenter les vecteurs dB et dB’ créés par les éléments
de longuer dl et dl’ du fil.
2°/ Que peut-on dire du vecteur champ magnétique dB quand l’élément de longueur
décrit la spire ? En déduire la direction du champ magnétique résultant.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 50 sur 62
3°/ Exprimer le champ magnétique élémentaire dB créé par dl et sa projection sur
l’axe de la spire.
4°/ En déduire l’expression du champ magnétique total au point M.
5°/ Exprimer le champ magnétique au centre de la boucle.
Exercice 3 – Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde de rayon R,
comportant N spires uniformément réparties sur une longueur L.
1°/ Exprimer le nombre de spires dN que comporte un élément de longueur dx du
solénoïde.
dx
R
α
P
0
x
2°/ Exprimer le champ magnétique dB créé au point P par les dN spires.
3°/ En déduire l’expression du champ magnétique au point P en fonction de α1 et de
α2 .
α1
α2
P
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 51 sur 62
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 2
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du
chapitre 2 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.
Exercice 1 – Fil conducteur rectiligne infini
Utiliser le théorème d’Ampère pour exprimer le champ magnétique créé par un
conducteur rectiligne infini en un point M situé à une distance R du fil.
Exercice 2 – Bobine torique
On considère un tore en matériaux ferromagnétique sur lequel est enroulé un
bobinage constitué de N spires. Soit R le rayon moyen du tore.
Exprimer le champ magnétique à l’intérieur du tore en appliquant le théorème
d’Ampère.
Exercice 3 – Solénoïde infini
On considère un solénoïde sans noyau, comportant n spires par unité de longueur.
En utilisant le théorème d’Ampère, exprimer le champ magnétique à l’intérieur du
solénoïde.
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 52 sur 62
TD ELECTROTECHNIQUE n° 3
Exercice 1 – Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
On considère une particule de charge q et de masse m est placée dans un champ
magnétique B uniforme et animée d’une vitesse initiale v0.
v0
q
B
1°/ Déterminer les caractéristiques de la force agissant sur cette particule.
2°/ Justifier le type de trajectoire suivie par la particule, on négligera l’action de la
pesanteur. Préciser les caractéristiques de son accélération.
3°/ Exprimer le rayon R de la trajectoire en fonction de m, v, B et q.
4°/ Exprimer la période et la fréquence du mouvement.
5°/ Application numérique : La particule est un proton de vitesse v = 3.107 m/s,
B = 0,05 T, m = 1,6.10-27 kg, q = 1,6.10-19 C
Principe spectrographie de masse
Exercice 2 – Effet Hall
Un morceau parallélépipédique de matière conductrice ou semi-conductrice est
parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique B perpendiculaire à
la vitesse des électrons (voir figure).
1°/ Dessiner puis déterminer les caractéristiques de la force agissant sur les
électrons.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 53 sur 62
B
I
v
B
L
l
2°/ La déviation des électrons sous l’action des forces de Lorentz, fait apparaître une
accumulation de charges sur les faces supérieures et inférieures du parallélépipède.
Dessiner le vecteur champ électrique qui apparaît et la force électrostatique agissant
sur l’électron.
3°/ Expliquer pourquoi en régime permanent, la force résultante est nulle. En déduire
l’expression de la différence de potentiels U apparaissant entre les deux faces en
régime permanent.
4°/ Exprimer le courant électrique I en fonction de la densité volumique n de charges.
5°/ En déduire l’expression de |U| en fonction de I, B, q, n et l.
Exercice 3 – Effet Hall
Une plaquette de cuivre d’épaisseur 3 mm est parcourue par un courant de 12 A et
est placée perpendiculairement à un champ magnétique B.
La tension de Hall mesurée est de 1,5 µV. Sachant que la densité volumique
d’électrons est n = 8,5. 1028 e-/m3, déterminer le module du champ magnétique.
Exercice 4 – Galvanomètre
Un galvanomètre est un appareil permettant de mesurer des courants électriques de
très faible intensité. Il est constitué d’un cadre bobiné, mobile autour d’un axe,
parcouru par le courant électrique à mesurer et placé dans un champ magnétique
extérieur. Un système de ressort engendre un couple de torsion dont le moment est
proportionnel à l’angle de rotation du cadre : C = kα
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 54 sur 62
α
Montrer que quand le cadre est en position d’équilibre, l’angle α dont il a tourné est
proportionnel au courant mesuré I.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 55 sur 62
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 4
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du
chapitre 4 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.
Exercice 1 – Flux magnétique
Calculer la valeur du flux magnétique traversant une surface plane de surface S = 30
cm2 placée dans un champ magnétique uniforme B = 0,2 T.
1°/ Quand cette surface est perpendiculaire aux lignes de champ.
2°/ Quand la perpendiculaire à cette surface fait un angle de 30° avec les lignes de
champ.
Exercice 2 – Cadre mobile
Un cadre carré de 4 cm de côté comporte 125 spires, est placé parallèlement aux
lignes de champ magnétique uniforme B = 0,3 T dans lequel il est plongé. Il est
suspendu à un fil de constante de torsion C.
Parcouru par un courant de 3 A, le cadre tourne de 35°, et est alors en équilibre.
1°/ Calculer le moment du couple électromagnétique
2°/ Calculer la constante de torsion C du fil.
Exercice 3 – Moteur linéaire
Une barre de cuivre est posée perpendiculairement à deux rails horizontaux
conducteurs et parallèles, distants de 5 cm et reliés à un générateur.
L’ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme B = 25 mT, dont la
direction est perpendiculaire aux rails et à la barre.
G
B
1°/ Dessiner sur le schéma le sens du courant I pour que la barre dévie sur la droite.
2°/ Calculer l’intensité de la force agissant sur la barre, sachant que I = 1 A.
3°/ On remplace le générateur par une résistance de 10 Ω, et l’expérimentateur
déplace la barre sur la droite parallèlement à elle même à vitesse v constante : 10
cm en 0,25 s.
a) Calculer la fem induite
b) Préciser le sens du courant induit (justifier)
c) Calculer l’intensité du courant induit.
d) Déterminer la puissance mécanique fournie par l’opérateur pour déplacer
la barre.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 56 sur 62
Exercice 4 – Solénoïde
Un solénoïde de 50 cm de longueur comportant 500 spires est parcouru par un
courant i variable.
On place une petite spire plate de 2,5 cm2 de surface à l’intérieur du solénoïde
perpendiculairement à l’axe du solénoïde.
i
Le courant i a l’allure suivante :
5A
10 µs
t
-5 A
1°/ Expliquer la cause de l’apparition d’une fem aux bornes de la spire
2°/ Dessiner le chronogramme de cette fem, et calculer les valeurs qu’elle prend.
Exercice 5 – Alternateur basique
Une bobine plate de 250 spires, de surface 30 cm2 et de résistance 1,2 Ω, tourne
dans un champ magnétique uniforme B = 0,3 T perpendiculaire à l’axe de rotation, à
une vitesse angulaire ω = 12 rad/s.
On négligera le champ magnétique créé par la bobine.
1°/ Exprimer la fem induite et calculer son amplitude.
2°/ Déterminer le moment qu’il faut appliquer sur l ‘axe pour entretenir la rotation de
la bobine.
Exercice 6 – circuit triangulaire
Un circuit triangulaire se déplace à une vitesse v constante et entre progressivement
dans une zone de champ magnétique uniforme.
B
θ
Exprimer la fem induite en fonction du temps pendant la phase d’entrée dans la zone
de champ magnétique. L’origine des temps t = 0 est l’instant ou le circuit entre juste
dans la zone.
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 57 sur 62
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 6
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels des
chapitres 5 et 6 et les formules accompagnées de leurs conditions
d’application.
Exercice 1 – Circuit magnétique avec entrefer
1°/ Dessiner et justifier le sens de la fmm crée par la
bobine
I
r
2°/ On sait que I = 5 A, N = 50, µr = 1500, S = 10 cm2 et r =
40 cm. Calculer le flux φ à travers une section d’une circuit
magnétique.
N spires
3°/ Un entrefer d’épaisseur 2 mm a été réalisé dans le
circuit magnétique. Calculer le flux φ’ à travers une
section du circuit magnétique.
4°/ Calculer le flux à travers une section de l’entrefer.
5°/ Mêmes questions avec e = 1 cm.
I
e
N spires
Exercice 2 – Association de fmm
N2 spires
I2
I1
2°/ Calculer le flux magnétique sachant que :
µr = 1500, S = 10 cm2 et r = 40 cm.
r
N1 spires
1°/ Dessiner le sens des fmm
N3 spires
I3
N1 = 50 I1 = 1 A
N2 = 20 I2 = 5 A
N3 = 15 I3 = 6 A
Exercice 3 – Circuit magnétique hétérogène
I
µ r1
r
l1 et l2 sont les longueurs moyennes des deux portions
magnétiques constituées de matériaux différents.
N spires
µ r2
Exprimer φ sachant que S = 10 cm2, l1 = 40 cm et l2 = 20 cm.
µr1 = 10000 et µr2 = 1000, I = 5 A, N = 50 spires.
Exercice 4 – Dérivation sur un circuit magnétique
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 58 sur 62
Les deux branches en dérivation ont
même section mais sont constituées
de matériaux différents. µr1 = 10000 et
µr2 = 1
µ r1
µ r2
Comparer les réluctances des deux
circuits magnétiques en dérivation.
Conclusion.
Exercice 5 – Circuit magnétiques en parallèles
I
R
R1
N spires
Exprimer R en fonction de R1 et R2 .
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 59 sur 62
R2
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 7
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du
chapitres 7 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 60 sur 62
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 61 sur 62
IUT BELFORT MONTBELIARD
Dpt Mesures Physiques
TD ELECTROTECHNIQUE n° 8
Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du
chapitres 8 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.
Dans les exercices qui suivent, la ligne triphasée d’alimentation est un système
triphasé de tension triphasé équilibré :
v1 (t) = Vm sin ωt
v2 (t) = Vm sin (ωt - 2π/3)
v3 (t) = Vm sin (ωt + 2π/3)
Exercice 1
La ligne alimente un récepteur triphasé symétrique dont les phases couplées
en étoile ont pour impédance complexe : Z = [ 100 Ω ; 20° ]
1°/ Calculer la valeur efficace du courant dans chaque phase et dans le fil
neutre.
2°/ La phase 2 est coupée accidentellement.
a) Reprendre la question 1°/ en supposant que le centre de l’étoile est
relié au fil neutre.
b) Le neutre est maintenant supprimé. Calculer les valeur efficaces des
courants dans chaque phase, le potentiel V0 au centre de l’étoile et
la tension V10 aux bornes de la phase n°1.
3°/ Conclusion.
Exercice 2
La ligne triphasée alimente un atelier comportant
-
180 lampes de 100 W entre phase et neutre constituant un système
équilibré
1 moteur triphasé M1 fournissant un couple utile de 150 Nm avec un
rendement de 0,9 à une vitesse de 14501 tr/min avec un cosϕ = 0,85.
Un moteur triphasé M2 de puissance mécanique 20 kW de rendement 0,85
et de facteur de puissance cosϕ2 = 0,8.
1°/ Calculer le courant dans la ligne et le facteur de puissance de l’atelier
(méthode de Boucherot).
2°/ On monte en triangle entre fils de phase trois condensateurs C.
Calculer la valeur de C pour que le facteur de puissance soit de 0,95.
Quel est alors le nouveau courant dans la ligne ?
V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 Page 62 sur 62