Chapitre 1 Optique TSI 2015

Chapitre 1 Optique TSI 2015-2016
Exercice 1 : Démonstration de la loi de Snell-Descartes
Animation complémentaire :
http://web.cortial.net/bibliohtml/aupas_j.html
On considère un dioptre plan séparant deux milieux
d’indice optique différent et homogène noté
respectivement ݊
ଵ
et ݊
ଶ
. La réfraction de lumière
traduit une déviation du rayon lumineux par rapport à sa
direction initiale. On utilisera les notations du schéma
ci-dessous pour repérer les différents points en
repérage cartésien (ݔ,ݕ) :
1) Exprimer le chemin optique (ܣܤ) en fonction
entre autre de ݔ.
Il suffit d’utiliser Pythagore et la définition du chemin
optique :
(ܣܤ)=݊
ଵ
ටݕ
஺
ଶ
+ݔ
ଶ
+݊
ଶ
ටݕ
஻
ଶ
+(ݔ
஻
−ݔ)
ଶ
2) A l’aide du principe de Fermat postulant que le
chemin optique emprunté par la lumière est
localement le plus court, retrouver la 2
e
loi de
Snell-Descartes.
D’après Fermat, le chemin (ܣܤ) vérifie
ௗ(஺஻)
ௗ௫
=0 :
Soit :
ௗ
ௗ௫
ቀ(݊
ଵ
ඥݕ
஺
ଶ
+ݔ
ଶ
+݊
ଶ
ඥݕ
஻
ଶ
+(ݔ
஻
−ݔ)
ଶ
ቁ=
௡
భ
௫
൫௬
ಲ
మ
ା௫
మ
൯
భ/మ
−
௡
మ
(௫
ಳ
ି௫)
൫௬
ಳ
మ
ା(௫
ಳ
ି௫)
మ
൯
భ/మ
Et :
௡
భ
௫
൫௬
ಲ
మ
ା௫
మ
൯
భ/మ
=
௡
మ
(௫
ಳ
ି௫)
൫௬
ಳ
మ
ା(௫
ಳ
ି௫)
మ
൯
భ/మ
Avec : sin݅
ଵ
=
௫
൫௬
ಲ
మ
ା௫
మ
൯
భ/మ
et sin݅
ଶ
=
(௫
ಳ
ି௫)
൫௬
ಳ
మ
ା(௫
ಳ
ି௫)
మ
൯
భ/మ
D’où : ݊
ଵ
ݏ݅݊݅
ଵ
=݊
ଶ
ݏ݅݊݅
ଶ
On pourra compléter cette description avec le livre
« toute la physique sur un timbre poste » de BOQUEHO
p325.
Exercice 2 : Démonstration de la loi de Snell-Descartes
(2
e
version)
On considère un dioptre plan séparant deux milieux
d’indice optique différent et homogène noté
respectivement ݊
ଵ
et ݊
ଶ
. Un pinceau de lumière parallèle
arrive sous une incidence ݅
ଵ
. Le rayon (1) arrive en ܣ à
l’instant ݐ et la rayon (2) arrive en ܤ à ݐ+∆ݐ.
Retrouver la 2
e
loi de Snell-Descartes avec le principe
d’Huygens postulant que chaque point atteint par la
lumière se comporte comme source secondaire d’ondes
sphériques.
Si on suppose que chaque point rencontré par la lumière
se comporte comme une source secondaire émettant
des ondelettes sphérique alors :
On peut alors exprimer AB de deux manières :
ܿ
ଶ
∆ݐ
ݏ݅݊݅
ଶ
=ܿ
ଵ
∆ݐ
ݏ݅݊݅
ଵ
On retrouve alors : ݊
ଵ
ݏ݅݊݅
ଵ
=݊
ଶ
ݏ݅݊݅
ଶ
݊
ଵ
݊
ଶ
ݔ
ݕ
ܣ
ݕ
஺
݅
ଵ
݅
ଶ
ݔ
ܤ
ݔ
஻
ݕ
஻
ܱ
݊
ଵ
݊
ଶ
ݔ
ܣ
݅
ଵ
ܤ
1
2

Chapitre 1 Optique TSI 2015-2016
Exercice 3 : Lame à face parallèle Animation complémentaire :
http://web.cortial.net/bibliohtml/dblper_j.html
Une lame à face parallèle de verre d’indice ݊ et
d’épaisseur ݁ est placée dans le vide et délimite deux
espaces noté 1 et 2.
Par réflexion multiple sur les dioptres, un rayon
incident monochromatique (émis en un point ܵ) incliné
par rapport à la normale donne lieu à une infinité de
rayons émergents dans l’espace 2 (et réfléchis dans
l’espace 1). On note ݎ l’angle que font les rayons avec la
normale à l’intérieur de la lame.
1) Dessiner les parcours des deux premiers
rayons émergents dans l’espace 2.
2) Exprimer, en fonction de ݊,݁ et ݎ la
différence de chemin optique ߜ (appelé aussi
différence de marche) entre deux rayons
émergents successifs en fonction des
données. On suppose que les rayons se
rejoignent en ܯ (point à ‘infini) à l’aide d’une
lentille de projection.
Il convient de repérer les chemins optiques communs
aux deux rayons (la difficulté étant liée à des chemins
optiques infinis !).
Pour le premier rayon, le chemin optique :
(ܵܯ)
ଵ
=(ܣܤ)+(ܤܧ)+(ܧܯ)
Pour le deuxième rayon, le chemin optique :
(ܵܯ)
ଶ
=(ܣܤ)+(ܤܥ)+(ܥܦ)+(ܦܯ)
La différence de chemin optique est
:
(
ܵܯ
)
ଶ
−
(
ܵܯ
)
ଵ
=
(
ܤܥ
)
+
(
ܥܦ
)
−
(
ܤܧ
)
Donc : (ܤܥ)=(ܥܦ)=
௡௘
௖௢௦௥
Et : (ܤܧ)=ܤܦݏ݅݊݅ avec :ܤܦ=2݁ݐܽ݊ݎ
(
ܵܯ
)
ଶ
−
(
ܵܯ
)
ଵ
=
2݊݁
ܿ݋ݏݎ
−
2
݁
݊ݏ݅݊
ଶ
ݎ
ܿ݋ݏݎ
(
ܵܯ
)
ଶ
−
(
ܵܯ
)
ଵ
=
2
݊݁ܿ݋ݏݎ
Exercice 4 : Défaut de surface
Une lame de verre parfaitement transparente, à faces
parallèles, d’indice de réfraction ݊ et de faible
épaisseur ݁
଴
, comporte un petit défaut de surface
localisé en ܯ, où l’épaisseur totale devient ݁. Cette lame
est éclairée par une onde lumineuse incidente plane
(donc par un faisceau de lumière parallèle) de longueur
d’onde ߣ
଴
dans le vide.
1) Comment réaliser un pinceau de lumière
parallèle ?
2) Déterminer la différence de chemin optique
(appelé aussi différence de marche) créé par
l’irrégularité entre le rayon 1 et le rayon 2.
3) ߑ
଴
représente une surface d’onde avant
traversée de la lame, dessiner l’allure d’une
surface d’onde ߑ après la traversée de la
lame. Le théorème de Malus est-il mis en
défaut ?
Un pinceau de lumière parallèle peut être obtenu à l’aide
d’une source ponctuelle placé e dans le plan focal d’une
lentille convergente.
La différence de chemin optique est donné par ݊(݁−
݁
଴
)−(݁−݁
଴
)=(݁−݁
଴
)(݊−1)
Le théorème de Malus implique que la direction d’un
rayon lumineux est perpendiculaire à toute surface
d’onde en revanche toute surface perpendiculaire à un
rayon n’est pas nécessairement une surface d’onde !
݊
݁
1
2
ܣ
ܥ
ܤ
ܦ
ܧ
ܦ
′
ߑ
ܵ
݅

Chapitre 1 Optique TSI 2015-2016
Exercice 5 : Cavité résonante Fabry-Perot
On considère une cavité constituée de deux miroirs
parfaits (coefficient de réflexion en amplitude ݎ=−1),
plans et parallèles baignant dans un milieu assimilé à du
vide :
Une vibration lumineuse est générée continument dans
cette enceinte par une source ponctuelle
monochromatique non représentée mais placée en O.
Cette onde émise est, à la côte ݔ et à l’instant ݐ décrite
par ܽ
௜
=ܽ
଴
݁ݔ݌൫݆(߱ݐ−݇ݔ)൯.
1) Exprimer la vibration lumineuse ܽ
ଵ
qui, à
l’instant ݐ, se localise en ݔ après une réflexion
en ݔ=ܮ et une réflexion et ݔ=0
2) Donner l’expression de la vibration totale se
dirigeant suivant ܱݔ
ା
sous la forme d’une
suite géométrique de ܰ termes dont on
précisera la raison.
3) Calculer l’éclairement et montrer qu’il peut se
mettre sous la forme ℰ(ܯ)=ℰ
଴
ቆ
ୱ୧୬ (
ಿഝ
మ
)
௦௜௡
ഝ
మ
ቇ
ଶ
4) L’analyse de la lumière se dirigeant suivant
ܱݔ
ା
montre qu’il existe des fréquences ݂
௡
pour lesquelles l’éclairement est maximal.
Expliquer.
5) En chariotant l’un des deux miroirs de 5µ݉ on
observe 20 états d’éclairement qui se suivent.
Montrer que l’on peut obtenir la longueur
d’onde du rayonnement associé.
Rappels :
Formule permettant de calculer la somme ܵ des N
premiers termes d’une suite géométrique de raison ݍ :
S = premier terme ×
ଵି௤
ಿ
ଵି௤
Donc après deux réflexions :
ܽ
ଵ
=ܽ
଴
݁
௝(ఠ௧ି௞(௫ାଶ௅)ାଶగ)
=ܽ
଴
݁
௝൫ఠ௧ି௞(௫ାଶ௅)൯
ܽ
ଵ
=݁
௝(ఠ௧)
×ܽ
଴
݁
ି௝൫௞(௫ାଶ௅)൯
=ܽ
଴
݁
௝(ఠ௧ି௞௫)
×݁
ି௝థ
Avec ݁
ି௝థ
=݁
ି௝(ଶ௞௅)
Pour les ondes se propageant suivant ܱݔ
ା
:
ܽ(ݔ,ݐ)= ܽ
0
݁
݆
(
߱ݐ
)
൫1+݁
ି௝థ
+݁
ିଶ௝థ
+⋯+݁
ି(ேିଵ)௝థ
൯
ܽ(ݔ,ݐ)=
ܽ
0
݁
݆
(
߱ݐ
)
ቆ1−݁
ିே௝థ
1−݁
ି௝థ
ቇ= ݁
݆
(
߱ݐ−݇ݔ
)
×ܽ
0
1−݁
ିேథ
1−݁
ିథ
Avec une amplitude complexe donnée par : ܽ(ݔ)= ܽ
0
݁
−݆݇ݔ
ଵି௘
షೀഝ
ଵି௘
షೕഝ
Soit un éclairement donné par :
ℰ(ܯ)=ܭܽ
଴ଶ
ቆ
1−݁
−݆ܰ߶
1−݁
−݆߶
ቇቆ
1−݁
݆ܰ߶
1−݁
݆߶
ቇ
ℰ(ܯ)=ܭܽ
଴ଶ
ቆ
2−2cos
(
ܰ߶
)
2−2cos
(
߶
)ቇ
ℰ(ܯ)=ܭܽ
଴ଶ
ቌ
ݏ݅݊
2
ቀ
ܰ߶
2
ቁ
ݏ݅݊
2
ቀ
ܰ߶
2
ቁቍ
ℰ(ܯ)=ℰ
଴
ቌsinቀܰ߶
2ቁ
ݏ݅݊߶
2ቍ
ଶ
Avec ߶=
ఠଶ௅
௖
=2݇ܮ et ℰ
଴
=ܭܧ
଴ଶ
Le dénominateur présente des valeurs nulle pour
݇
௡
ܮ=݊ߨ soit ݂
௡
=
௡௖
ଶ௅
Ainsi une position ܮ d’éclairement maximal est :
ܮ=
௣
ଶ
ߣ avec ݌∈ℕ
∗
Donc ∆ܮ=
∆௣
ଶ
ߣ soit ߣ=500݊݉