Espaces de modules et construction d`invariants en - IMJ-PRG

Espaces de modules et construction d’invariants en
g´eom´etrie
Claire Voisin, CNRS et IH´ ES

ii

Table des mati`eres
0 Introduction 3
1 Connexions antiautoduales 7
1.1 G´eom´etries riemannienne et diff´erentielle en dimension 4 . . . . . . . 7
1.1.1 Op´erateur de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Formes autoduales et antiautoduales . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Cask¨ahl´erien .......................... 9
1.2 Connexions antiautoduales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Connexions, courbure, et classes de Chern . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Connexions antiautoduales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Cask¨ahl´erien........................... 16
1.3 Th´eoriedejauge ............................. 17
1.3.1 Fonctionnelle de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Action du groupe de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Connexions r´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Etude de l’espace des connexions antiautoduales 25
2.1 Etudelocale................................ 25
2.1.1 Compl´etion de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Th´eorie de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Ellipticit´e ............................. 30
2.1.4 Op´erateurs de Dirac et th´eor`eme de l’indice . . . . . . . . . 31
2.2 Perturbation de la m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Transversalit´e g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 D´eformation globale de l’espace de modules, cas o`u b+
2>1 . 39
3 Invariants de Donaldson 41
3.1 Topologie et groupe de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Topologie de l’espace A/Gx................... 41
3.1.2 Fibr´es d´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Orientation de l’espace des connexions antiautoduales . . . . 48
3.2 Espace de modules et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Compactification......................... 50
3.2.2 Cas o`u la dimension attendue est 0 . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Cas g´en´eral et construction des invariants . . . . . . . . . . . 53
3.3 Cas k¨ahl´erien ou projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii

TABLE DES MATI ` ERES 1
3.3.1 Fibr´es vectoriels stables et m´etriques d’Hermite-Einstein . . . 55
3.3.2 Compactification......................... 56
3.3.3 Comparaison infinit´esimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 G´eom´etrie symplectique et g´eom´etrie k¨ahl´erienne 61
4.1 G´eom´etrie symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 D´efinition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Le th´eor`eme de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.3 Cascompact ........................... 63
4.2 Structure presque complexe, courbes pseudoholomorphes . . . . . . . 63
4.2.1 Structures presque complexes compatibles . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Courbes pseudoholomorphes, ´etude locale . . . . . . . . . . . 66
4.2.3 In´egalit´e de Wirtinger et cas d’´egalit´e . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Cask¨ahl´erien ............................... 71
4.3.1 Le cˆone des formes de K¨ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Courbes holomorphes et pseudoholomorphes . . . . . . . . . 72
5 Courbes pseudoholomorphes et invariants de Gromov-Witten 73
5.1 Courbes pseudoholomorphes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Espace de d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Transversalit´e g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.3 Compte de dimension, exc`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.4 Orientation ............................ 77
5.2 Compacit´e et non compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 Ph´enom`ene de bulle, exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.2 Th´eor`eme de compacit´e de Gromov . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.3 ´ Evaluation et compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Cohomologie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 Invariants de Gromov-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.2 Produit quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.3 Associativit´e ........................... 84
6 Le point de vue de la g´eom´etrie alg´ebrique 87
6.1 Applications et courbes stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.1 Courbesstables.......................... 88
6.1.2 Th´eor`eme de r´eduction (semi)-stable . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.3 Courbes marqu´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.4 Applications stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Espacesdemodules ........................... 91
6.3 Classe fondamentale virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.1 Exemple de contribution d’exc`es . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.2 Formules d’exc`es de Fulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.3 Application............................ 96

2TABLE DES MATI ` ERES