CH10 – OG2 : Systèmes Optiques – Miroirs et Lentilles – 1/1 1/14 Premières Définitions Définition s : Système Optique : Ensemble de surfaces réfractantes (dioptres) et réfléchissantes (catadioptres) permettant permettant l’observation indirecte d’un objet, en formant une image. Système Optique Objet Génère l’information lumineuse Objectif du chapitre : Définitions : Remarque : Ex : Miroir Télescope Microscope L’œil / La loupe Lunette / Lentille Syst Reproduction de l’objet lumineux par le système optique Etude des systèm systèmes es optiques les plus courants (Miroirs, Lentilles et Associations) Point Objet : Intersection de rayons lumineux arrivant dans le système optique Peut émettre directement sa propre lumière (Objet physique réel) A Image Point Image : Intersection de rayons lumineux sortant du système optique Ou n’être que l’intersection de rayons (Par exemple l’image d’un système précédent – Sans réalité physique) Syst 1 A Syst 2 Forcément généré par un système optique… Syst A’ Un objet (ou une image) est dit étendu, si il (elle) est constitué(e) de plusieurs points I Le Miroir P lan Miroir plan I.1 = (CH10 – OG2 OG2 – 2/14) 14) Surface Plane réfléchissante Construction de l’image ( Voir TP) On applique les lois de Snell-Descartes : Rayons émergents r i r = -i On cherche l’intersection des rayons émergents Ils se croisent AVANT la face de sortie du miroir Les rayons semblent provenir de A’, symétrique de A par rapport au plan du miroir. I.2 Image = Croisement des Rayons émergents Rayons incidents A H A’ Objet Réel Notion d e réel et de virtuel Image Virtuelle 2 TYPES d’IMAGES IMAGE VIRTUELLE IMAGE REELLE Le croisement des rayons se fait AVANT la face de sortie du système Le croisement des rayons se fait APRES la face de sortie du système Syst A’ Syst Oeil Oeil A’ L’image semble provenir de derrière la face de sortie du système, l’endroit d’où elle semble provenir n’a pas de réalité matérielle Remarque : Seul l’œil ou un autre système optique peut voir l’image (on peut l’observer, la photographier, mais pas l’afficher directement sur un écran) Ecran pour la visualiser L’endroit où l’image se forme est bien réel, bien matérialisable. Si on place la main ou un écran sur A’, on voit l’image apparaître. Remarque : L’œil peut aussi voir directement l’image s’il est placé APRES à au moins 25cm De la même manière pour un objet : 2 TYPES d’OBJETS OBJET REEL OBJET VIRTUEL Intersection des rayons AVANT la face d’entrée du système Intersection des rayons APRES la face d’entrée du système A Syst Syst A Cas de tous les objets concrets I.3 Ne peut être que l’image réelle d’un syst optique S1 précédent S1 S2 A Relation de Conjugaison Relation donnant la position de l’image A’ en fonction de celle de l’objet A. On dit que A et A’ sont conjugués par le système optique. Ici, A’ est le symétrique de A par rapport au plan du miroir : A Système Optique A’ HA = −HA′ (avec H projeté ortho de A) II S ystème optique optiq ue centré (CH10 – OG2 OG2 – 3/14) 14) Exemples : II.1 Définition Autres exemples : Déf : Un système optique est dit centré s’il présente un axe de symétrie de révolution. (Système invariant par rotation autour de cet axe) Cet axe est appelée l’AXE OPTIQUE du système Miroirs Paraboliques Lentille Miroir Sphérique Remarque : L’axe optique est perpendiculaire à toutes les surfaces réfractantes ou réfléchissantes du système Conséquence : Un rayon arrivant suivant l’axe optique d’un système centré n’est pas dévié par celui-ci Vocabulaire : Deux directions caractéristiques Direction “Transversale” Direction “Axiale” II.2 Stigmatisme Principe : Pour qu’une image soit nette, il faut que la lumière provenant d’un point objet A ne se concentre qu’en U N U N IQ U E PO I NT I MA G E A ’ S Y ST E M E ST IG MA T IQ U E : A’ Syst Tous les rayons se croisent en un seul point, la lumière est concentrée, l’image est nette Définition : Remarque : S Y ST E M E NO N S TI GMA T IQ U E : Zone Image Syst Tous les rayons ne se croisent pas en un seul point, mais en une zone image, l’image est floue Un système est dit S T I G MA T IQ U E si il fait converger tous les rayons émergents d’un point objet A vers un unique point image A’. Le stigmatisme est une condition essentielle pour avoir un bon système optique Mais LE SEUL SYSTEME RIGOUREUSEMENT STIGMATIQUE est le MIROIR PLAN… STIGMATISME APPROCHE : Pour les autres, on doit se satisfaire en général d’un stigmatisme approché En effet, pour obtenir une bonne image, il suffit que la zone image (région où se croisent les rayons émergents depuis un point objet A) soit inférieure à la taille d’une cellule de l’œil, ou à la taille d’un pixel (pour un capteur numérique). Illustration sur Capteur numérique 5*5 = 25 pixels Zone Image A’ Stigmatisme Approché Satisfaisant Image nette Syst Système NON Stigmatique, ou Astigmate Image floue II.3 Aplanétisme Pour que l’observation d’objets étendus soit possible, il faut que cette propriété de stigmatisme se conserve dans tout le plan transverse (par exemple sur toute la surface d’une photo…) Déf : Un système est dit A P L AN E T I Q U E si le stigmatisme pour tout couple (A, A’) de l’axe optique se conserve pour tout couple (B, B’) dans les plan transversaux. Autrement dit : B Syst A’ A B’ Plan Objet L’image de tout plan transverse est également un plan transverse Plan Image (CH10 – OG2 OG2 – 4/14) 14) Page laissée intentionnellement blanche III Lentilles Sphériques Minces (CH10 – OG2 OG2 – 5/14) 14) III.1 Présentation et Modélisation Déf : Lentille Sphérique = portion de MHTI comprise entre deux surfaces sphériques présentant un axe de révolution commun. S1 e ≪ D Lentille Sphérique Mince, si e ≪ R1 e ≪ R 2 Cas particulier : R1 R2 S2 e D Courbure Modélisation : O O = Centre optique de la lentille (Les sommets S1 et S2 sont quasiment confondus) Plan Tangent Types de lentilles : CONVERGENTES DIVERGENTES Bi-concave Bi-convexe Plan Convexe Ménisque Convergent Modélisation Exemple de lentilles courantes : Plan Concave Ménisque Divergent Loupes Verres de lunettes, lentilles de contact … Modélisation III.2 Condition s de Gauss Le seul système optique parfaitement stigmatique est le miroir plan. La lentille est donc non stigmatique. Mais il suffit d’avoir un stigmatisme approché pour obtenir des images nettes. Avec les lentilles minces, il faut limiter les conditions d’utilisation pour conserver un stigmatisme approché Conditions de Gauss : On se limite aux Rayons PARAXIAUX Proches de l’axe optique Faiblement inclinés D a ns l es c on di ti o ns de G aus s, un e l en ti lle m i nc e p rés e nt e u n s t i g m a ti s me a p pr oc hé e t u n a pla n ét i s me a p pr o c h é Conséquences mathématiques : Lentille mince : e << R1, e << R2 e << d La lentille peut-être supposée plane, réduite à son plan tangent, O = S1 = S2 Tous les calculs se font dans des triangles rectangles (voir pages suivantes) sin α ≈ α En général, on prend α < 10° (selon la précision voulue) : cos α ≈ 1 tan α ≈ sin α ≈ α Rayons faiblement inclinés, (CH10 – OG2 OG2 – 6/14) 14) III.3 Foyers – Distance Focale a) Foyers Foyers Images Images Définition : F O Y E R IM AG E ( P RI N C I P AL ) = Image d’un objet placé à l’infini sur l’axe optique Syst Centré Focal A∞ sur l’axe Illustration : Remarque : Il suffit en fait de définir le foyer image : Foyer Image Objet à l’infini sur l’axe Foyer Image F’ F’ F’ Bi-convexe Peu importe la nature de la lentille, le comportement est toujours le même Lentille convergente Foyer REEL B∞ F O Y E RS I MA G ES ( S EC O N D AI R E S) = PL A N FO C AL I MA G E = Images d’objets placés à l’infini en dehors de l’axe optique. Plan Focal Image F’ Syst B’ Foyers secondaires b) Foyers Foyers Objets Objets Définition : F O Y E R O BJ E T (P R I NC IP AL ) = Point dont l’image est à l’infini sur l’axe optique Syst Centré Focal Foyer Objet F Illustration : A’∞ sur l’axe Il suffit en fait de définir le foyer objet : Image à l’infini sur l’axe F F Foyer Objet Par symétrie (et retour inverse de la lumière) : F et F’ symétriques par rapport à O (Le fait de dire image ou objet vient juste de l’orientation choisie pour l’axe optique) C ∞’ Plan Focal Objet F O Y E RS O B J ET S (S EC O N D A I R ES ) = PL A N F O C AL O B J ET = Points dont les images sont à l’infini hors de l’axe optique. F Foyers secondaires C Syst c) Distances Focales Déf : Distance focale objet = Distance focale image = Déf : f = OF < 0 f ′ = OF ′ > 0 Vergence V d’une lentille mince Lentille convergente : Lentille divergente : V = V>0 V<0 ⇒ f = −f ′ 1 1 =− f′ f (S’exprime en mètre) qui s’exprime en dioptrie (δ avec 1δ = 1m-1) F d) Modélisation complète de la lentille Il suffit de donner la position du centre, de l’axe et de l’un des foyers… O F’ (CH10 – OG2 OG2 – 7/14) 14) III.4 Construction des Images Atte ntion : TOUJOURS SE PLACER DANS LES CONDITIONS DE GAUSS Trois rayons fondamentaux (convergente et divergente) : 1. 2. 3. Rayon passant par le centre optique Rayon passant par le foyer objet F Rayon arrivant parallèle à l’axe optique N’est pas dévié Ressort parallèle à l’axe optique Ressort en passant par le foyer image F’ Exemples de construction : a) Lentille convergente – AB avant le foyer B b) Lentille divergente – AB avant le foyer 3 B 1 F A F’ O 2 3 A’ 2 A J d B’ Image REELLE RENVERSEE, inversée A’ F’ B’ O 1 F Image VIRTUELLE, non inversée Voir EXOS EXOS TECHNIQUES, Série 5 … III.5 Grandissement Définition : L’une des caractéristiques principales d’un système optique est son grandissement, c'est-à-dire le rapport entre les tailles de l’image et de l’objet. On définit le GRANDISSEMENT GRANDISSEMENT TRANSVERSAL : γ = A ′B ′ AB (pour des objets transversaux) Attention : Il s’agit de mesures algébriques, qui peuvent donc être négatives Un grandissement négatif signifie que l’image est renversée par rapport à l’objet Exemple : Reprenons les constructions précédentes B O A F’ A’ F J d B’ f<0 L A C L E : A p pli q ue r l e th é o rè m e d e T hal ès dan s l es b o ns t ri riaa ng le s r ec t an g l e s Ici, on choisit les triangles rectangles ABF et OJF. Le théorème de Thalès donne Ainsi, le grandissement est : γ = Et la seconde construction : B A F’ A’ d A ′B ′ OJ f f = = = − < 0 d d AB AB On calcule le grandissement dans les triangles OAB et OA’B’ : J B’ OJ f = <0 d AB F O γ = A ′B ′ O J f = = >0 +d f AB AB f>0 Le calcul est adapter selon la position des objets/images, le type de la lentille, et selon les distances fournies (CH10 – OG2 OG2 – 8/14) 14) III.6 Relations de Conjugaison Rappel : Relation de conjugaison = équation reliant les positions de l’image et de l’objet a) Relation de Conjugaison avec Origine au Centre OA , OA′ (On souhaite relier et f ou f ′) La clé : On exprime le grandissement γ avec THALES dans les bons triangles rectangles 3 théorèmes théorèmes de Thalès Possibles Possibles (mais 2 suffisent) B B I F’ O d B’ d Peut aussi être utilisée, mais donne un calcul plus long γ = f<0 I O A’ J A ′B ′ O A ′ = AB OA J d B’ f<0 γ = F’ A’ F A F A J F’ O A’ F A B I B’ f<0 ′ ′ FA ′ ′ A ′B ′ A ′B ′ F A = = = −f ′ ′ AB OI FO On regroupe et on élimine ce qui nous dérange : γ = ′ ′ FO ′ + OA ′ −f ′ + OA ' OA′ F A = = = = −f ′ −f ′ −f ′ OA 1 OA′ On passe de l’autre coté : Ainsi : 1− OA + OA ' OA′ = =γ f ′ OA 1 =1 f ′ 1 R e la ti on de c on j ug ai s on au s om m e t : OA ′ − 1 OA = 1 f ′ U T IL I T E : O b te ni r di r e ct e me n t l es c oo rd onn é es de l’i mag e à p ar ti r de c ell e d e l’ ob j e t Remarque : La relation de conjugaison est la même pour les 2 types de lentilles (seul le signe de f’ change) b) Relation de Conjugaison avec Origine au Foyer On peut préférer relier les positions des objets et images en les définissant depuis le foyer On cherche alors à relier FA , FA ′ , et f ou f ′ Le choix des triangles est différent : B B I O F’ O A’ F A J f<0 A’ B’ f<0 A ′B ′ O J FO f ′ = = = AB AB FA FA ⇒γ = On regroupe : J d B’ F’ F A d γ = I γ = ′ ′ FA ′ ′ A ′B ′ A ′B ′ F A = = = −f ′ ′ AB OI FO ′ ′ FA f′ = − f ′ FA F ' A ′ ⋅ F A = − f ′2 (moins utilisée que l’autre au sommet) (CH10 – OG2 OG2 – 9/14) 14) IV Défauts des systèmes optiques Aberrations géométriques et chromatiques IV.1 Rappel des Notions impo rtantes : Stigmatisme : Tous les rayons issus d’un point objet convergent en un unique point image Aplanétisme : Si le système est stigmatique pour un couple de points (A, A’), alors il l’est pour tout couple (B,B’) dans les plans transversaux. L’image d’un plan transversal est un plan transversal Conditions de Gauss : Travail avec des rayons PARAXIAUX Pourquoi ? IV.2 Proches de l’axe optique Faiblement inclinés Dans les conditions de Gauss, les lentilles peuvent être considérées stigmatiques et aplanétiques. Aberrations géométriques : Pourquoi travailler avec des rayons proches de l’axe optique ? Le stigmatisme (et l’aplanétisme) n’est pas du tout vérifié pour les rayons éloignés de l’axe optique… Pourquoi travailler avec des rayons peu inclinés ? Le stigmatisme n’est pas du tout vérifié pour les rayons très inclinés… L’aplanétisme non plus, puisque les rayons issus de l’infini ne focalisent plus dans le plan focal. Comment conserver un stigmatisme satisfaisant ? Placer un diaphragme Elimine les rayons non paraxiaux Diminue la luminosité de l’image Travailler avec lentilles non sphériques… IV.3 Aberrations chromatiques (liées à la couleur de la lumière) L’indice d’un verre dépend en général de la longueur d’onde d’après la loi de Cauchy Lumière blanche Violet Rouge On a λrouge > λviolet n (λ ) = A + B λ0 2 ⇒ nrouge < nviolet Donc le rouge est moins dévié que le violet L’image L’image Rouge se forme après l’image Violette Concrètement, l’image d’une longueur d’onde peut être nette, alors que les autres couleurs sont floues (CH10 – OG2 OG2 – 10/ 10/14) 14) Page laissée intentionnellement blanche V Instruments d’Optique (CH10 – OG2 OG2 – 11/ 11/14) 14) V.1 Objet situé à l’infini Principe : A RL Lorsque les rayons provenant d’un objet viennent de très loin, ils sont quasiment parallèles. Prenons l’exemple des rayons provenant de la lune (Rayon RL ≈ 1700km) vus de la Terre (à une distance d ≈ 384000km) par un télescope de rayon r = 1m. Lune Lune Sur Terre B r Syst Syst r d d C β B A r −7 −9 = 1, 5.10 ° ≈ 10 rad ≈ 0° d Ainsi : β ≈ arctan Syst B On peut supposer que les rayons arrivent parallèles C Définition : Un objet est dit placé à l’infini l’infini si les rayons qu’il émet sont tous parallèles Une image est dite placée à l’infini si les rayons qui la forment sont tous parallèles Remarque : Puisque les rayons sont parallèles jusqu’à l’infini, la taille de l’objet/image est infinie. Un objet à l’infini ne peut plus être caractérisé par sa taille (son diamètre ou son rayon). Comment caractériser un objet à l’infini ? Par son rayon angulaire apparent α Ou son diamètre angulaire apparent 2α α Oeil Exemple de la Lune : Rayon angulaire apparent (entre 2 rayons provenant de A et de B : α ≈ tan (α ) = Diamètre angulaire (entre 2 rayons provenant de A et C diamétralement opposés) : d ≈ 0.28° RL 2α ≈ 0.57° Si on place un autre instrument après : Utilité ? Pas de réglage nécessaire de la position car la lumière est la même partout… Si on place un ŒIL après l’instrument : Pas de fatigue oculaire car pas besoin d’accommoder (L’œil au repos regarde à l’infini) Syst 1 F’ Syst 2 Déplacement possible V.2 Système centré focal ou afocal ? a) Système centré focal Foyer Objet F’ : Point dont l’image est à l’infini sur l’axe optique Foyer Foyer Objet REEL : F Syst Foyer Image F’ : Image d’un objet placé à l’infini sur l’axe optique Foyer Objet VIRTUEL : Syst Foyer Image REEL : A F Déf : SYSTEME FOCAL Qui possède des foyers Syst F’ Foyer Image VIRTUEL : A Syst F’ (fait converger ou diverger des faisceaux parallèles) (CH10 – OG2 OG2 – 12/ 12/14) 14) b) Système centré afocal afocal Déf: SYSTEME SYSTEME AFOCAL Qui ne possède pas de foyers (ils sont rejetés à l’infini) l’infini) Il transforme un faisceau parallèle en un autre faisceau parallèle A∞ Syst Afocal α A∞ α' Syst Afocal Un système afocal sera caractérisé par son GROSSISSEMENT ANGULAIRE : V.3 Notions sur l’oeil Description : Pupille : joue le rôle d’un diaphragme (réglage de la quantité de lumière) Œil Normal : α′ α Rétine = Capteur composé des - Cônes : vision des couleurs si la lumière est suffisante - Bâtonnets : Vision en noir et blanc sous faible intensité Iris : muscle entourant la pupille, recouvert de la cornée qui protège l’oeil Cristallin : joue le rôle d’une lentille déformable (distance focale variable selon l’accommodation) G = Nerf Optique = Liaison électrique avec le cerveau Humeur vitrée = Substance transparente (95% d’eau) qui remplit la cavité oculaire L’œil normal est dit ŒIL EMMETROPE AU REPOS = sans accommoder : La rétine se trouve sur le foyer image du cristallin L’œil voit donc net les objets à l’infini = Il s’agit du Punctum Remotum (PR = l’infini) EN ACCOMMODANT (déformation du cristallin par les muscles ciliaires) : La distance focale du cristallin diminue pour que l’image se forme encore sur la rétine Le PUNCTUM PROXIMUM est le point le plus proche sur lequel l’œil peut accommoder De manière commerciale, on accepte la valeur PP ≈ 25cm. Ainsi, l’œil peut voir de manière nette entre le PP et le PR 0 PP ≈ 25cm PR = +∞ Défauts de l’œil : La Myopie : Cristallin trop convergent, l’image se forme trop proche, avant la rétine Correction avec lentilles divergentes 0 PP PR PP et PR se rapprochent Hypermétropie : Cristallin trop peu convergent, l’image se forme derrière la rétine Correction avec lentilles convergentes 0 PP PP et PR s’éloignent PR Astigmatie : Présence d’aberrations géométriques – Cornée et cristallin non sphérique Correction avec des verres non sphériques Presbytie : Défaut d’accommodation des muscles qui perdent en efficacité (avec l’âge en général) Le PP s’éloigne et le seul point visible devient le PR Correction avec verres à double foyer ou progressif PP PR 0 (CH10 – OG2 OG2 – 13/ 13/14) 14) V.4 Quelques exemples d’instruments a) Collimateur Un collimateur est simplement une lentille convergente + un objet ponctuel sur son foyer objet Objectif : Envoyer une source ponctuelle non directive à l’infini (voir TP) Remarque : Méthode d’autocollimation Méthode permettant de déterminer la position du foyer On place un miroir en sortie du collimateur Si la source est bien placée sur le foyer, alors elle coïncide avec sa propre image réfléchie dans le miroir (très utile en TP) b) Lunette astronomique Il s’agit d’un SYSTEME AFOCAL ayant pour objectif d’agrandir un objet à l’infini (voir TP) Objectif (Lentille côté objet) Oculaire (Lentille côté œil) α α' Etoile à l’infini ou objet très lointain Image intermédiaire sur le plan focal de l’objectif + Superposition d’un réticule La lunette sera caractérisée par son grossissement angulaire G = Image renvoyée à l’infini agrandie pour l’œil (Les plans focaux de l’objectif et de l’oculaire sont confondus) α′ α Exemples : Lunette de Galilée : (simplifiée) Objectif Convergente c) Microscope Oculaire Convergent Objectif (Lentille côté objet) Lunette de Képler : (simplifiée) Objectif Convergente Oculaire Divergent Oculaire (Lentille côté œil) B α' A Objet très proche et de petite taille Image intermédiaire agrandie + Superposition d’un réticule Image renvoyée à l’infini agrandie pour l’œil (Image intermédiaire dans le plan focal de l’oculaire) V.4 Quelques exemples d’instruments - SUITE (CH10 – OG2 OG2 – 14/ 14/14) 14) d) Grossissement commercial d’une loupe Une loupe est tout simplement une lentille convergente. Lorsque l’objet est placé entre le sommet de la lentille et son foyer objet, L’image est agrandie, virtuelle, et à l’endroit. J B’ B F’ F A’ O A d Image agrandie, virtuelle, à l’endroit Oeil Objet à agrandir Pour mesurer le grossissement, on doit comparer deux angles : G = D iam ètre angu laire m axim al de l'im age à trav ers la lou pe D iam ètre angu laire de l'o bjet à l'oeil nu au P P (25cm ) Représentons ces deux situations : Cas sans loupe Au PP Cas limite au foyer Au PR B B Oeil A=F F’ α = Arctan (AB / f ’ ) ≈ AB / f ’ Ainsi : G = PP f′ Oeil α’ α A=F α’ = Arctan (AB / PP ) ≈ AB / PP Par exemple si on donne un grossissement G = 5 pour une loupe, il s’agit en fait d’une lentille de distance focale f ′ = PP = 25cm = 5cm G 4 e) Spectrogoniomètre (utilisé en TP) Le spectrogoniomètre est un instrument permettant de mesurer précisément des angles, à l’aide d’un collimateur et d’une lunette de visée à l’infini. Les rayons peuvent être déviés par des prismes, des miroirs ou des réseaux (2ème année). La description complète du spectrogoniomètre est détaillée dans le TP5 d’Optique Bien penser aux réglages : Réglage de la lunette - Distance réticule-objectif (réticule direct) - Distance réticule-objectif par autocollimation Réglage du collimateur - Distance fente-lentille par autocollimation - Alignement de la source et de la lunette Source Collimateur Lunette Oeil